2022年导数与函数的单调性、极值、最值. .pdf

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1、精品资料欢迎下载导数与函数的单调性、极值、最值适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域通用课时时长（分钟）60 知识点函数的单调性函数的极值函数的最值教学目标掌握函数的单调性求法，会求函数的函数的极值，会求解最值问题，教学重点会利用导数求解函数的单调性，会求解函数的最值。教学难点熟练掌握函数的单调性、极值、最值的求法，以及分类讨论思想的应用。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 36 页精品资料欢迎下载教学过程一、课堂导入问题：判断函数的单调性有哪些方法？比如判断2xy的单调性，如何进行？因为二次函数的图像我们非常熟悉,可以

2、画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方？如果遇到函数xxy33，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？定义是解决问题的最根本方法，但定义法较繁琐,又不能画出它的图像，那该如何解决呢？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 36 页精品资料欢迎下载二、复习预习函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的

3、单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 36 页精品资料欢迎下载三、知识讲解考点 1 利用导数研究函数的单调性如果在某个区间内，函数yf(x)的导数 f(x)0，则在这个区间上，函数yf(x)是增加的；如果在某个区间内，函数 yf(x)的导数 f(x)0，exa0，exa，xln a. 因此当 a0 时，f(x)的单调增区间为R，当 a0时，f(x)的单调增区间是 ln a，)(2)f(x)exa0 在(2,3)上恒成立 aex在 x(2,3)上恒成立又2x3，e2exe3，只需 a

4、e3.当 ae3时，f(x)exe3在 x(2,3)上，f(x)0，函数 f(x)12x2(a1)xa(1ln x)(1)求曲线 yf(x)在(2，f(2)处与直线 y x1垂直的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 36 页精品资料欢迎下载【规范解答】 (1)由已知，得 x0，f(x)x(a1)ax，yf(x)在(2，f(2)处切线的斜率为 1，所以 f(2)1，即 2(a1)a21， 所以 a0，此时 f(2)220，故所求的切线方程为yx2. (2)f(x)x(a1)axx2 a1

5、xaxx1 xax. 当 0a0，函数 f(x)单调递增；若 x(a,1)，f(x)0，函数 f(x)单调递增此时 xa 是 f(x)的极大值点， x1 是 f(x)的极小值点，函数 f(x)的极大值是 f(a)12a2aln a，极小值是 f(1)12. 当 a1 时，f(x)x12x0，所以函数 f(x)在定义域 (0，)内单调递增，此时f(x)没有极值点，故无极值当 a1时，若 x(0,1)，f(x)0，函数 f(x)单调递增； 若 x(1，a)，f(x)0，函数 f(x)单调递增此时 x1 是 f(x)的极大值点， xa 是 f(x)的极小值点，函数 f(x)的极大值是 f(1)12，

6、极小值是 f(a)12a2aln a. 综上，当 0a1时，f(x)的极大值是 12，极小值是 12a2aln a. 【总结与反思】(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点(2)若函数 yf(x)在区间 (a，b)内有极值，那么 yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 36 页精品资料欢迎下载考点三利用导数求函数的最值例 3 已知函数 f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx. (1)若曲线

7、yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点 (1，c)处具有公共切线，求a，b 的值；(2)当 a3，b9 时，若函数 f(x)g(x)在区间 k,2上的最大值为 28，求 k 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 36 页精品资料欢迎下载【规范解答】(1)f(x)2ax，g(x)3x2b. 因为曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点 (1，c)处具有公共切线，所以 f(1)g(1)且 f(1)g(1)，即 a11b 且 2a3b，解得 a3，b3. (2)记 h(x)f(x)g(x)，当 a3，b9 时，h

8、(x)x33x29x1，所以 h(x)3x26x9. 令 h(x)0，得 x13，x21. h(x)，h(x)在(，2上的变化情况如下表所示：x (，3)3(3,1)1(1,2)2 h(x)00h(x)2843 由表可知当 k3 时，函数 h(x)在区间 k,2上的最大值为 28 ；当3k1，则 f(x)的单调减区间为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 36 页精品资料欢迎下载【答案】(2,2a) 【规范解答】 f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)，由 a1知，当 x0，故 f(x)在区间 (，2)上是增函数

9、；当 2x2a 时，f(x)2a 时，f(x)0，故 f(x)在区间 (2a，)上是增函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 36 页精品资料欢迎下载综上，当 a1 时，f(x)在区间 (，2)和(2a，)上是增函数，在区间 (2,2a)上是减函数(2)已知 a0，函数 f(x)x3ax在1， )上是单调递增函数，则a的取值范围是 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 36 页精品资料欢迎下载【答案】(0,3 【规范解答】f(x)3x2a，f(x)在1

10、，)上是单调递增函数，f(x)0，a3x2，a3. 又 a0，可知 00，知 ax22ax10 在 R 上恒成立，即 4a24a4a(a1)0，由此并结合 a0，知 0a1. 所以 a 的取值范围为 a|00，由 f(x)0 得 x1e，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 36 页精品资料欢迎下载所以 f(x)在区间 (0，1e)上单调递减，在区间 (1e，)上单调递增所以， x1e是函数 f(x)的极小值点，极大值点不存在(2)g(x)xln xa(x1)，则 g(x)ln x1a，由 g(x)0，得 xea1，所以，在

11、区间 (0，ea1)上，g(x)为递减函数，在区间 (ea1，)上，g(x)为递增函数当 ea11，即 a1 时，在区间 1，e上，g(x)为递增函数，所以 g(x)的最小值为 g(1)0. 当 1ea1e，即 1a2 时，g(x)的最小值为 g(ea1)aea1. 当 ea1e，即 a2 时，在区间 1，e上，g(x)为递减函数，所以 g(x)的最小值为 g(e)aeae. 综上，当 a1 时，g(x)的最小值为 0；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 36 页精品资料欢迎下载当 1a2 时，g(x)的最小值为 aea1

12、；当 a2 时，g(x)的最小值为 aeae. 【巩固】1、已知函数 f(x)(xk)ex. (1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间 0,1上的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 36 页精品资料欢迎下载【规范解答】 (1)由题意知 f(x)(xk1)ex. 令 f(x)0，得 xk1. f(x)与 f(x)的情况如下：x (，k1)k1(k1，) f(x)0f(x)ek1所以， f(x)的单调递减区间是 (，k1)；单调递增区间是 (k1，)(2)当 k10，即 k1 时，f(x)在0,1上单调递增

13、，所以 f(x)在区间 0,1上的最小值为 f(0)k；当 0k11，即 1k2 时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 36 页精品资料欢迎下载f(x)在0，k1)上单调递减，在 (k1,1上单调递增，所以 f(x)在区间 0,1上的最小值为 f(k1)ek1；当 k11，即 k2 时， f(x)在0,1上单调递减，所以 f(x)在区间 0,1上的最小值为 f(1)(1k)e. 综上，当 k1 时，f(x)在0,1上的最小值为 f(0)k；当 1k2时，f(x)在0,1上的最小值为 f(k1)ek1；当 k2 时，f(x

14、)在0,1上的最小值为 f(1)(1k)e. 2 设函数 f(x)12x29ln x 在区间 a1，a1上单调递减，则实数a 的取值范围是 () A1a2 Ba4 Ca2 D00)，当 x9x0 时，有 00 且 a13，解得 10时，因为二次函数yax2(a1)xa 的图像开口向上，而 f(0)a0，所以需 f(1)(a1)e0，即 0a1；当 a1 时，对于任意 x0,1，有 f(x)(x21)ex0，且只在 x1 时 f(x)0，f(x)符合条件；当 a0 时，对于任意 x0,1，f(x)xex0，且只在 x0 时，f(x)0，f(x)符合条件；当 a0，f(x)不符合条件故 a 的取值

15、范围为 0a1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 36 页精品资料欢迎下载(2)因 g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex，当 a0 时，g(x)ex0，g(x)在 x0 处取得最小值 g(0)1，在 x1 处取得最大值 g(1)e. 当 a1 时，对于任意 x0,1有 g(x)2xex0，g(x)在 x0 处取得最大值 g(0)2，在 x1 处取得最小值 g(1)0. 当 0a0. 若1a2a1，即 0a13时， g(x)在0,1上单调递增，g(x)在 x0 处取得最小值 g(0)1a，在 x1 处取

16、得最大值 g(1)(1a)e. 当1a2a1，即13a1 时，g(x)在 x1a2a处取得最大值 g(1a2a)2ae1a2a，在 x0 或 x1 处取得最小值，而g(0)1a，g(1)(1a)e，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 36 页精品资料欢迎下载由 g(0)g(1)1a(1a)e(1e)a1e0，得 ae1e1. 则当13ae1e1时，g(0)g(1)0，g(x)在 x0 处取得最小值 g(0)1a；当e1e1a0，g(x)在 x1 处取得最小值 g(1)(1a)e. 课程小结1、利用导数研究函数的单调性如果在

17、某个区间内，函数yf(x)的导数 f(x)0，则在这个区间上，函数yf(x)是增加的；如果在某个区间内，函数 yf(x)的导数 f(x)0，则在这个区间上，函数yf(x)是减少的2、利用导数求函数的极值:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 36 页精品资料欢迎下载(1)求出导数 f(x)；(2)解方程 f(x)0；(3)对于 f(x)0 的每一个解 x0：若 f(x)在 x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；若 f(x)在 x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；若 f(x)在 x0两侧的符号相同，则x0不是极值点3、利用导数求函数的最值(1)在闭区间 a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)设函数 f(x)在a，b上连续，在 (a，b)内可导，求 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求 f(x)在(a，b)内的极值；将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 36 页