2022年微分几何第四版习题答案梅向明 .pdf

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1、微分几何主要习题解答13 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页微分几何主要习题解答14 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页微分几何主要习题解答15 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页微分几何主要习题解答16 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页微分几何主要习题解答17 精选学习资料

2、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页微分几何主要习题解答18 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页微分几何主要习题解答19 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页微分几何主要习题解答20 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页微分几何主要习题解答21 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

3、归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页微分几何主要习题解答22 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页微分几何主要习题解答23 1 曲面的概念1. 求正螺面r= uvcos ,u vsin, bv 的坐标曲线 . 解 u- 曲线为r=u0cosv ,u 0sinv ,bv0 =0,0 ， bv0 u 0cosv ,0sin v ,0 ，为曲线的直母线； v- 曲线为r=0uvcos ,0uvsin,bv 为圆柱螺线证明双曲抛物面rau+v, b u-v ,2uv 的坐标曲线就是它的直母线。证 u

4、- 曲线为r= au+0v , bu-0v ,2u0v = a0v , b0v ,0+ ua,b,20v 表示过点 a0v , b0v ,0 以a,b,20v 为方向向量的直线 ; v- 曲线为r= a 0u +v, b 0u-v ,20uv= a0u , b0u,0 +va,-b,20u表示过点 (a0u , b0u,0) 以a,-b,20u 为方向向量的直线。3求球面r=sin,sincos,sincosaaa上任意点的切平面和法线方程。解 r =cos,sinsin,cossinaaa，r =0 ,coscos,sincosaa任意点的切平面方程为00coscossincoscossin

5、sincossinsinsincoscoscosaaaaaazayax即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页微分几何主要习题解答24 法线方程为sinsinsincossincoscoscoscoscosazayax。4求椭圆柱面22221xyab在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线， 此曲面只有一个切平面。解 椭圆柱面22221xyab的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , 0 ,cos,sinbar , 1

6、,0 ,0tr。所以切平面方程为：01000cossinsincosbatzbyax，即 x bcos + y asin a b = 0 此方程与 t 无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。5证明曲面,3uvavur的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。证,0, 123vuaru，,1 ,023uvarv。切平面方程为：33zauvvyux。与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uva23) 。 于是，四面体的体积为：3329|3|3|361auvavuV是常数。 曲面的第一

7、基本形式1. 求双曲抛物面rau+v, b u-v ,2uv 的第一基本形式 . 解,4,2,2,2222vbarEubarvbaruvu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 25 页微分几何主要习题解答25 2222224,4ubarGuvbarrFvvu, I = 2222)4(duvba2222222)4()4(dvubadudvuvba。求正螺面r= uvcos ,u vsin, bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。解,cos,sin,0 ,sin,cosbvuvurvvrvu，12urE，0vurrF，2

8、22burGv，I =2222)(dvbudu，坐标曲线互相垂直。在第一基本形式为I =222sinhudvdu的曲面上，求方程为u = v 的曲线的弧长。解 由条件2ds222sinhudvdu, 沿曲线 u = v有 du=dv ，将其代入2ds得2ds222sinhudvdu=22cosh vdv，ds = coshvdv , 在曲线 u = v 上，从1v 到2v 的弧长为|sinhsinh|cosh|1221vvvdvvv。4设曲面的第一基本形式为I = 2222)(dvaudu，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u v = 0 的交角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，

9、即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1E，0vF，22auG，曲线 u + v = 0 与 u v = 0 的交点为 u = 0, v = 0, 交点处的第一类基本量为1E，0vF，2aG。曲线 u + v = 0的方向为 du = -dv , u v = 0的方向为 u=v , 设两曲线的夹角为，则有cos=22222211aavGuEGdvEduuGdvuEdu。5求曲面 z = axy上坐标曲线 x = x0 ,y =0y 的交角 . 解曲 面 的 向 量表 示 为r=x,y,axy, 坐 标 曲 线 x

10、 = x0的向 量 表 示为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 25 页微分几何主要习题解答26 r= x0,y,ax0y ，其切向量yr=0，1，ax0 ； 坐标曲线 y =0y 的向量表示为r=x , 0y ,ax0y ，其切向量xr =1，0，a0y ，设两曲线 x = x0与 y =0y 的夹角为，则有cos= 20220200211|yaxayxarrrryxyx6. 求 u-曲线和 v- 曲线的正交轨线的方程 . 解 对于 u- 曲线 dv = 0, 设其正交轨线的方向为 u: v , 则有Eduu + F(d

11、u v + dv u)+ G d v v = 0, 将 dv =0 代入并消去 du 得 u- 曲线的正交轨线的微分方程为Eu + F v = 0 . 同理可得 v- 曲线的正交轨线的微分方程为Fu + G v = 0 . 7. 在曲面上一点 , 含 du ,dv 的二次方程 P2du+ 2Q dudv + R2dv，确定两个切方向 du ：dv和u ：v ，证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0. 证明因为 du,dv 不同时为零，假定 dv0， 则所给二次方程可写成为P2)(dvdu+ 2Qdvdu+ R=0 , 设其二根dvdu,vu, 则dvduvu=PR，dvdu+

12、vu=PQ2又根据二方向垂直的条件知 Edvduvu + F(dvdu+vu)+ G = 0 将代入则得 ER - 2FQ + GP = 0 . 8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E2du=G2dv. 证用分别用、 d 表示沿 u曲线，v曲线及其二等分角线的微分符号，即沿 u曲线 u， v，沿 v曲线u，v沿二等分角轨线方向为 du:dv , 根据题设条件 , 又交角公式得222222)()(dsvGvGdvvFdudsuEuFdvvEdu，即GGdvFduEFdvEdu22)()(。展开并化简得E(EG-2F)2du=G(EG-2F)2dv, 而EG-2F0， 消去 EG-2F

13、得坐标曲线的二等分角线的u v V=1 u=-av u=av o 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 25 页微分几何主要习题解答27 微分方程为 E2du=G2dv. 9设曲面的第一基本形式为I = 2222)(dvaudu，求曲面上三条曲线u = av, v =1相交所成的三角形的面积。解 三曲线在平面上的图形如图所示。曲线围城的三角形的面积是S=10220122auaaaudvduaudvduau =21022auadvduau=2duauaua022)1(=aauuaauuaua0222222322|)ln()(3

14、2=)21ln(3222a。10求球面r=sin,sincos,sincosaaa的面积。解 r =cos,sinsin,cossinaaa，r =0 ,coscos,sincosaaE =2r=2a,F= r r = 0 , G = 2r =22cosa . 球面的面积为：S = 22222222024224|sin2cos2cosaadadad. 11.证明螺面r=ucosv,usinv,u+v和旋转曲面r=tcos,tsin,12t (t1, 02) 之间可建立等距映射=arctgu + v , t=12u . 分析 根据等距对应的充分条件 , 要证以上两曲面可建立等距映射 = arct

15、gu + v , t=12u, 可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 25 页微分几何主要习题解答28 有相同的参数 , 然后证明在新的参数下 , 两曲面具有相同的第一基本形式. 证明 螺面的第一基本形式为I=22du+2 dudv+(2u+1)2dv, 旋转曲面的第一基本形式为 I=dtdttt2222)11 ( , 在旋转曲面上作一参数变换 =arctgu + v , t =12u , 则其第一基本形式为 : 2222222)11)(1(1)11(2dvduuudu

16、uuuu=2222222)1(211)11(dvududvduuduuu=22du+2 dudv+(2u+1)2dv= I . 所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 =arctgu + v , t =12u . 3 曲面的第二基本形式1. 计算悬链面r=coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式 , 第二基本形式 . 解ur =sinhucosv,sinhusinv,1,vr =-coshusinv,coshucosv,0 uur=coshucosv,coshusinv,0,uvr=-sinhusinv,sinhucosv,0, vvr =-coshucosv,-coshusin

17、v,0,2urE= cosh2u,vurrF=0,2vrG=cosh2u. 所以 I = cosh2u2du+ cosh2u2dv . n=2FEGrrvu=sinsinh,sincosh,coscoshcosh12vuvuvuu, L=11sinhcosh2u, M=0, N=1sinhcosh2u=1 . 所以 II = -2du+2dv。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页微分几何主要习题解答29 2. 计算抛物面在原点的22212132452xxxxx第一基本形式 , 第二基本形式 . 解 曲面的向量表示为

18、225,22212121xxxxxxr, 0,0 , 125 ,0, 1)0,0(211xxrx, 0, 1 , 022 , 1 , 0)0,0(212xxrx, 5, 0, 011xxr, 2 ,0 ,021xxr ,2, 0, 022xxr, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,I=2221dxdx, II=222121245dxdxdxdx. 3. 证明对于正螺面r=uvcos ,uvsin,bv,-u,v处处有 EN-2FM+GL=0。解,cos,sin,0,sin,cosbvuvurvvrvu，uur=0,0,0, uvr=-uuc

19、osv,cosv,0,vvr=-ucosv,-usinv,0,12urE，0vurrF，222burGv， L= 0, M =22bub , N = 0 .所以有 EN - 2FM + GL= 0 . 4. 求出抛物面)(2122byaxz在(0,0) 点沿方向 (dx:dy) 的法曲率 . 解 0,0 , 1, 0, 1)0,0(axrx,0 , 1 ,0, 1 ,0)0,0(byry,0 ,0arxx, 0 ,0, 0 xyr, 0, 0bryy,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b, 沿方向 dx:dy 的法曲率2222dydxbdyadxkn. 5. 已知平面到单位球面 (S

20、) 的中心距离为d(0d1), 求与(S) 交线的曲率与法曲率 . 解 设平面与(S) 的交线为 (C), 则(C) 的半径为21d, 即(C)的曲率为211dk, 又(C) 的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于21d, 所以(C) 的法曲率为nkk21d=1 . 6. 利用法曲率公式IIIkn, 证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页微分几何主要习题解答30 本量成比例。证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径 R的倒数 1/R。即在

21、球面上，对于任何曲纹坐标(u,v) ，沿任意方向 du:dv RGdvFdudvEduNdvMdudvLduIIIkn1222222或-R1，所以)1(RGNFMEL，即第一、第二类基本量成比例。7求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。证明对于正螺面r=uvcos ,uvsin,bv ，,cos,sin,0,sin,cosbvuvurvvrvu，uur=0,0,0，vvr =-ucosv,-usinv,0， L=2),(FEGrrruuvu=0, N=2),(FEGrrrvvvu=0 . 所以 u 族曲线和 v 族曲线都是渐近线。而u族曲线是直线， v 族曲线是螺旋线。8. 求曲面

22、2xyz的渐近线 . 解 曲面的向量表示为,2xyyxr, 0, 12yrx0 ,0 ,0,2, 1 ,0 xxyrxyr, 22224241,2,41,2 ,0,0,2, 0, 0yxrGxyrrFyrExryryyxxyyxy. 422422412,412, 0yyxxNyyxyML. 渐近线的微分方程为222NdyMdxdyLdx, 即,0242xdyydxdy一族为 dy=0, 即1cy,1c 为常数 . 另一族为 2ydx=-xdy, 即.,ln222为常数或ccyxcyx. 9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 证 在每一条曲线 (C) 的主法线曲面上 , 沿(C) 的

23、切平面是由 (C) 的切向量与 (C)的主法向量所确定的平面, 与曲线 (C) 的密切平面重合 , 所以每一条曲线 (C) 在它的主法线曲面上是渐近线 . 方法二：任取曲线:( )rr s，它的主法线曲面为:( , )( )( )Ss tr sts ，( )( )()(1)sststtt，t，(1)sttt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 25 页微分几何主要习题解答31 在曲线上，t = 0 , st, 曲面的单位法向量2stnEGF，即n，所以曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 10. 证明在曲面 z=f(x)+g(y

24、)上曲线族 x=常数, y= 常数构成共轭网 . 证 曲面的向量表示为r=x,y, f(x)+g(y),x=常数,y= 常数是两族坐标曲线。, 0, 1frx, 1 , 0gry.0,0,0,0,0,0,0,xxxyyyrfrrg因为20 xyxyrrMrEGF, 所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数 , y= 常数构成共轭网。11. 确定螺旋面r=uvcos ,uvsin,bv 上的曲率线 . 解,cos,sin,0,sin,cosbvuvurvvrvu，uur=0,0,0，vvr=-ucosv,-usinv,0，uvr=-sinv,cosv,0,12urE，0vurrF，222bur

25、Gv， L=0, M=22bub , N=0, 曲率线的微分方程为 : 00001222222bubbudududvdv, 即dubudv221, 积分得两族曲率线方程 : 222122)ln()ln(cubuvcbuuv和. 12.求双曲面 z=axy 上的曲率线 . 解,1, 0,1,122222222222yaxaaMLxaGyxaFyaEN=0 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页微分几何主要习题解答32 由010112222222222222yaxaaxayxaxadxdxdydy=0 得222222

26、)1()1 (dyxadxya, 积分得两族曲率线为cyaayxaax)1ln()1ln(2222. 13. 求曲面2),(2),(2uvvubvuar上的曲率线的方程 . 解,0,4,4,422222222LubaGuvbaFvbaEM=22FEGab,N=0. 代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是: 积分得,)()(22222222duvbadvuba: cvbavubau)ln()ln(222222 . 14.给出曲面上一曲率线L, 设 L 上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角, 求证 L 是一平面曲线 . 证法一：因 L 是曲率线 , 所以沿 L 有rdndn, 又沿 L

27、有?n=常数, 求微商得正交与而rdndnnn/,0, 所以0n, 即-n=0, 则有=0, 或n=0 . 假设=0, 则 L 是平面曲线；假设n=0 ，L 又是曲面的渐近线，则沿L ，n=0 ，这时 dn=0，n为常向量，而当 L 是渐近线时，=n，所以为常向量，L 是一平面曲线 . 证法二：假设n，则因ndr，所以n，所以 dn，由伏雷精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 25 页微分几何主要习题解答33 内公式知 dn而 L 是曲率线，所以沿 L 有 dn，所以有=0,从而曲线为平面曲线；假设不垂直于n， 则有?n=常

28、数, 求微商得0,nn因为 L是曲率线，所以沿 L 有dndr，所以0n，所以0n，即-n=0 ，假设=0，则问题得证；否则n=0 ，则因0n，有n，dnd-，矛盾。15如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角， 即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。 16 求正螺面的主曲率。解 设正螺面的向量表示为r=uvcos ,uvsin,bv. 解,cos,sin,0,sin,cosbvuvurvvrvu，uur=0,0,0，vvr=-ucosv,-usinv,0，uvr=-sinv,cosv,0,12urE，0vurrF，2

29、22burGv， L= 0, M =22bub , N = 0,代入主曲率公式EG-2F2N-LG-2FM+ENN+ LN-2M= 0 得2N=2222)(aua。所以主曲率为222221,auaaua。17确定抛物面 z=a(22yx) 在0，0点的主曲率 . 解 曲面方程即0,0,2 yyra ，22 , , ()rx y a xy，1,0,2xrax0,1,2yray ，0,0,2 xxra ，0,0,0,xyr0,0,2 yyra。 在 0， 0 点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

30、- -第 21 页，共 25 页微分几何主要习题解答34 N=2a . 所以2N-4aN+42a=0 ，两主曲率分别为1 = 2 a , 2= 2 a . 18. 证明在曲面上的给定点处 , 沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证 曲面上的给定点处两主曲率分别为1、2，任给一方向及与其正交的方向+2，则这两方向的法曲率分别为2221sincos)(n，22212221cossin)2(sin)2(cos)2(n，即)(n21)2(n为常数。19. 证明假设曲面两族渐近线交于定角, 则主曲率之比为常数 . 证 由2221sincosn得212tg , 即渐进方向为211arctg,2=-21a

31、rctg. 又-2+1=21为常数 , 所以为1为常数 , 即21为常数 . 20. 求证 正螺面的平均曲率为零 . 证由第 3 题或第 16 题可知 . 21. 求双曲面 z=axy 在点 x=y=0 的平均曲率和高斯曲率 . 证 在点 x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=0)(222FEGNEFMLG, K =22FEGMLN=-2a. 22. 证明极小曲面上的点都是双曲点或平点. 证法一：由 H=221=0 有1=2=0或1=-20 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 25

32、 页微分几何主要习题解答35 假设1=2=0, 则沿任意方向,2221sincos)(n=0 , 即对于任意的 du:dv , 0222222GdvFdudvEduNdvMdudvLduIIIkn, 所以有 L=M=N=0, 对应的点为平点 . 假设1=-20, 则 K=120 , 即 LN-M2 0 ,G 0 ,所以 LN 0 。假设2LNM=0，则 L = M = N = 0 ，曲面上的点是平点，假设2LNM a 0 , b+acos 0, 所以 LN -2M的符号与 cos的符号一致 , 当 02和230 , 曲面上的点为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-223，曲面上的点为双曲点

33、, 即圆环面内侧的点为双曲点；当=2或23时，LN -2M=0，为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。25假设曲面的第一基本形式表示为)(,(222dvduvuI的形式，则称这个曲面的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲面)(,sin)(,cos)(tftgtgr上存在等温网。证旋转曲面)(,sin)(,cos)(tftgtgr的第一基本形式为)(222222ddtgfgtgI，做参数变换dtgfgu2 2 ，v=, 则在新参数下，),)(222dvduutgI为等温网。26两个曲面1S 、2S 交于一条曲线 C ，而且C是1S 的一条曲率线， 则C也是2S 的一条曲率线的充要条件为1S 、

34、2S 沿着 C 相交成固定角。证两个曲面1S 、2S 交于曲线 C ，1n 、2n 分别为1S 、2S 的法向量，则沿交线C ，1n 与2n 成固定角的充要条件为1n 2n =常数，这等价于 d(1n 2n )=0, 即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 25 页微分几何主要习题解答37 d1n 2n +1n d2n =0 , 而C 是1S 的一条曲率线，因此d1n 与C的切向量 dr共线，则与2n正交，即 d1n 2n =0，于是1n d2n =0，又 d2n 2n ，所以1n d2n = d1n2n=0的充要条件为 d

35、2n/ dr，即 C是2S 的曲率线。27证明在曲面 (S) 上的一个双曲点 P处，假设两条渐近线都不是直线， 则它们之中，一条在点P的挠率是K , 另一条在点 P的挠率是 -K ，其中 K是(S) 在P点的高斯曲率。证 曲面在双曲点 P 处，有两条渐近线过点P，沿渐近线有n=，且 II=0 ，于是有 dn=d . 则KIKIHIIIIIdnd222，即,22Kdsd或Kdsd2)(，所以有KK,)(22。28证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是一一对应的。证 设给出的曲面 (S): r=r(u,v) 上的点r(u,v) 与(u,v)D内的点一一对应，其球面像上的点为n=n(u,v),由于)(vuvurrknn, 所以|vuvurrknn= 22|FEGMLN，当曲面 (S) 上没有抛物点时， LN-M20, 则vunn0。说明球面像上的点n(u,v) 与区域 D内的点一一对应， 因此曲面 (S) 上的点与球面像上的点一一对应。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 25 页