2022年重积分题解 .pdf

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1、习题 111 1用二重积分表示以下曲顶柱体的体积，并用不等式表示曲顶柱体在Oxy平面上的底区域：（1）椭圆抛物面)4(222yxz及平面0z所围成的立体；（2）由半球面224yxz，圆柱面122yx及平面0z所围成的立体解： （）VDdyx)4(222，其中D为椭圆域224yx2；（）VDdyx224，其中D为圆域22yx12利用二重积分的几何意义计算出下列二重积分的值：（1）DyxDd22:,1；（2）DyxDdyx:,)1(1，x0，y0解： （）DdDS；（）Ddyx)1 (ShV31613估计下列积分值的大小：（1）DdyxI)1(，:D0 x1，0y2; （2）DdyxI)94(22

2、，:D22yx4解： （）因为yx1，2DS，所以2I8；（）因为99422yx25，4DS，所以36I1005 比较下列积分值的大小：（1）Ddyx2)(与Ddyx3)(，其中:Dyx1，x0，y0；（2）Ddyx)ln(与Ddyx2)ln(，其中:D3x5，0y1解： （）Ddyx2)(Ddyx3)(；（）Ddyx)ln(Ddyx2)ln(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 2 - 习题 112 1分别按两

3、种不同的次序将二重积分IDdyxf),(化为累次积分其中积分区域D是：(1) 1x2，0y4；(2) 22yxx；(3) 由直线xy，xy2及双曲线2xy所围成的图形在第一象限部分；(4) 1x2，x1y2. 解：（）2140),(dyyxfdx4021),(dxyxfdy；（）1022),(xxxxdyyxfdx22111242111224( , )yydyf x y dx；（）102212),(),(xxxxdyyxfdxdyyxfdx202),(yydxyxfdy222),(yydxyxfdy；（）211),(xxdyyxfdx=12121),(ydxyxfdy+2121),(dxyxf

4、dy2画出积分区域简图，并计算二重积分：(1) Ddyx)(22,|:| xD1| , y1；(2) Ddxyx)(22,xyxyyD22:，；(3) Dxydye，1221:xyyxxD，；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 3 - (4) Ddyx)(22，xD :0，y0，yx1解：（）Ddyx)(22111122)(dyyxdxdxyyxyyyy11113112|21|112)322(dxx38；（）D

5、dxyx)(2220222)(yydxxyxdy202223322121)2(23131dyyyyyyyy=613，（）解法一Dxydye21exxxydyydx积分复杂解法二Dxydye121212121eeyxyxydxydydxydy212112121|e|edydyxxxyxyxxy1212122)ee()ee(dydyyyy24ee，（）Ddyx)(22101022)(xdyyxdx1032)1 (31)1(dxxxx6（5）Dyd2e1002edxdyyydyyy210e110e2121|e212y3设函数),(yxf处处连续 , 证明狄利克雷公式名师资料总结 - - -精品资料欢

6、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 4 - baxadyyxfdx),(=babydxyxfdy),(. 证明：baxadyyxfdx),(Ddyxf),(babydxyxfdy),(. 4交换下列累次积分的次序并保持其积分值不变：(1) 100),(ydxyxfdy；(2) aaxadyyxfdx220),(；(3) 1020),(ydxyxfdy+3130),(ydxyxfdy；(4)2102),(xxdyyxfdx. 解：（）100),(

7、ydxyxfdy101),(xdxyxfdx；（）aaxadyyxfdx220),(ayayadxyxfdy02222),(；（）1020),(ydxyxfdy+3130),(ydxyxfdy2032),(xxdyyxfdx；(4)2102),(xxdyyxfdx410214121),(),(yyydyyxfdydxyxfdy5画出下列积分区域D，并将二重积分IDdyxf),(化为极坐标系下的累次积分：(1) 22:yxDy2; (2) :D2a22yx2b; (3) D由曲线22xRy和直线xy，xy所围成的区域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

8、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 5 - (4) D由曲线2xy和直线xy所围成的区域解：（）I0sin0)sin,cos(rdrrrfd；（）I20)sin,cos(bardrrrfd；（）I4340)sin,cos(Rrdrrrfd；(4) I40cossin02)sin,cos(rdrrrfd6、利用极坐标计算二重积分(1) Ddyx)1ln(22，:D22yx2a，x0，y0；(2) Ddxyarctg，:D 122yx4，yx，y0；(3) Ddyx22，:D22yx2a；(4

9、)Dyxd22e，:D2a22yx2b,(ba0) 解：（）Ddyx)1ln(222002)1ln(adrrrd1|)1ln(212023022aadrrrrr)1(2)1ln(40222adrrrraa)1ln()1(4222aaa；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 6 - （）Ddxyarctg4021drrd212402|21|21r643，（）Ddyx22200arrdrd332a(4)Dyxde22

10、20ebarrdrdbarrr| ee2eeee2ababab7计算下列二重积分：(1) Ddyx22,12:xyxyxD，；（2）Ddyx)(22，)0(3:aayayaxyxyD，；(3) Ddxa22，:D22yx2a，x0，y0；(4) DdyxR222，:D22yxRx；() Ddyxyx22，:D22yx1，yx1；(6) Dyxde,:D|yx1解：（）Ddyx2221122ydyxdxxxdxxxx)1(249；（）Ddyx)(22aayaydxyxdy322)(aayxayxdxayx323|31aadyayayy3233)(3131414a；名师资料总结 - - -精品资料

11、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 7 - （）Ddxa22axadyxadx002222dxxaa022)(332a；（）DdyxR222rdrrRdR22cos022drRRrrcos0232222|)(32)21(2233|sin|3131dRR)34(312R(5) Ddyxyx22201cossin12cossinrdrrrrddcossin11 )cos(sin20d) 1cos(sin2022(6) Dyxde01111011e

12、eeexxxxyxyxdydxdydxdxdxxxxxxx01101111eeeeee101201112eeeeedxdxxx1ee习 题 113 在直角坐标系下，将三重积分Vdvzyxf),(化为累次积分，其中V是由平面1zyx，,0z0 x以及0y围成的区域解：Vdvzyxf),(xyDyxdzzyxfd01),(0001),(yxdzzyxfyx其中:xyD由0 x，0y，1yx围成名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - -

13、 - - - 8 - 在直角坐标系下，将三重积分Vdvzyxf),(化为累次积分，其中V是由抛物面22yxz以及平面,0z1y以及2xy围成的区域解：Vdvzyxf),(xyDyxdzzyxfd220),(10222),(xyxdzzyxfyx其中:xyD由1y，2xy围成在直角坐标系下， 计算三重积分Vzdv， 其中V由0 x，0y，1x，1y，0z及2zyx所围成的区域解：VzdvxyDyxzdzd2010102)2(21dyyxdx127其中:xyD由0 x，0y，1x，1y围成在直角坐标系下，计算三重积分Vdvzyx)sin(32，其中V为长方体：0 x2，0y1，0z2解：Vdvzy

14、x)sin(3220102032sin zdzdyydxx325 计算三重积分Vzdv,其中V是由球面222yxRz和平面0z所围成的半球形区域解：VzdvZDRdzdz0dzzRza)(220441R，其中22:yxDZ22zR6计算三重积分Vdvyx22，其中V由圆柱面122yx圆锥面22yxz与坐标平面0z所围成的闭区域解：Vdvyx22xyDyxdzyxd22022，其中:xyD由122yx围成xyDdyx)(22201022rdrrd名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

15、- 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 9 - 习题 114 利用柱坐标计算三重积分Vdvzyx)(222， 其中V由曲面22yxz与平面1z所围成的闭区域解：Vdvzyx)(222xyDyxdzzyxd122222)(，:xyD由122yx围成2010122)(rdzzrrdrd103 计 算 三 重 积 分Vdvyxz22， 其 中V是 由 柱 面xyx222， 平 面,0z1z以及0y围成的区域解：Vdvyxz22xyDdzyxzd1022，:xyD22yxx2，y02cos2010zrdzrdrd20cos20221drrd203cos83121d.982

16、a计算三重积分Vdvyx)(22，其中V是由曲面222yxz与平面2z所围成的闭区域解：Vdvyx)(22xyDyxdzyxd222222)(，:xyD由422yx围成20202222dzrrdrdr316 将 三 重 积 分Vdvzyxf),(化 为 球 坐 标 系 下 的 累 次 积 分 ， 其 中V由球 面222zyx2a所围成的闭区域解：20002sin)sin,sincos,coscos(adrrrrrfdd利用球坐标计算三重积分Vdvzyx222，其中V由球面zzyx222所围成的闭区域解：Vdvzyx2222020cos02sindrrrdd名师资料总结 - - -精品资料欢迎下

17、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 10 - 204sincos412d10计算三重积分Vdvyx)(22，其中V为中心在原点、半径为R的球体解：Vdvyx)(222000222sinsinRdrrrdd035sin512dR5158R 计 算 三 重 积 分Vzdv，其 中V是 由 曲 面22yxz与 上 半 球 面228yxz所围成的闭区域 （用两种坐标计算）解法一：用球坐标Vzdv204002sincosdrrrdd402204sincoss

18、in|412dr8解法二：用柱坐标VzdvDyxyxzdzd222282022082rrzdzrdrddrrr2202)8(2128习题 115 求由曲面22yxz，坐标平面和平面1yx所围成的立体的体积解：DdyxV)(22，0,0, 1:yxyxD101022)(xdyyxdx61求由曲面222yxz与曲面2226yxz所围成的立体的体积解：DdyxV)26(22Ddyx)2(22，2:22yxD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - -

19、- - - - - - - 11 - Ddyx)336(2220202)36(rdrrd6计算由四个平面0 x，0y，1x，1y所围成的柱体被平面0z及632zyx截的的立体的体积解：DdyxV)326(，10, 10:yxD1010)326(dyyxdx27计算有下列曲面圆锥面22yxz与平面z所围成立体的体积解：DdyxV)1(22，1:22yxD20102)1(rdrrd2计算平面12236zyx在第一卦限部分的面积解：DdAADyxdyxfyxf22),(),(1因为),(yxfzyx2336，所以xxfz3，yyfz230,0,1236:yxyxD故ADyxdyxfyxf22),()

20、,(1Dd1427计算曲面221yxz上部分的面积解：),(yxfz221yx，1:22yxD故ADyxdyxfyxf22),(),(1Ddyx224412010241rdrrd102|)41 (32812r)155(6计算柱面222azx与222ayx所围成立体的表面积名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 12 - 解：先求所围成立体在第一卦限的表面积),(yxfz22xa0, 0,:22yxayxD，故AD

21、yxdyxfyxf22),(),(12Ddxax22212axaadyxaadx002222222所以A21168aA求半径为R的四分之一圆板的重心（面密度为常数）解：DDdydx1，DDdxdy1，0,0,:22yxRyxD2411RdD320031sinRrdrrdydDR320031cosRrdrrdxdDR所以薄片的重心)34,34(RR求由抛物线2xy及直线xy所围成的薄片的重心（面密度为常数）解：DDdydx1，DDdxdy1，xyxxD2, 10:名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

22、 - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 13 - 1021061)(12dxxxdydxdDxx104210151)(212dxxxydydxydDxx103210121)(2dxxxxdydxxdDxx所以薄片的重心)52,21(10抛物线Pxy22及直线Px围成一抛物弓形薄片，面密度1，试求这一弓形关于y轴的转动惯量解：DydxI2PxPxPdyxdx2220dxPxxP02224274p11求一球心与锥面重合的均匀球顶锥体的重心其中球心与锥面的顶点都在原点，球半径为R，锥面的轴为z轴，半顶角等于（02） 11解：vdvV1，222:zyxV2R20002sinRdrrddRr03031)cos(2)cos1 (323Rvxdv20002sincossinRdrrrdd0vydv20002sinsinsinRdrrrdd0vzdv20002sincosRdrrrddRr040241)sin21(224sin41R所以重心坐标为)cos1sin83,0,0(2R，即)cos1 (83,0,0(R. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -