2022年平面向量的基本定理及坐标表示 2.pdf

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1、2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（1）（教学设计）23 1 平面向量基本定理；2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 教学目标 一、知识与能力：1 了解平面向量基本定理。2掌握平面向量基本定理，理解平面向量的正交分解及坐标表示；3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法：体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题教学重点： 平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算教学难点： 平面向量基本定理一、复习回顾：1实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向

2、量，记作：a（1）|a|=|a|； （ 2） 0 时a与a方向相同； 0 时a与a方向相反； =0 时a=02运算定律结合律： ( a)=()a；分配律： (+)a=a+a，(a+b)=a+b3. 向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数 ，使b=a. 二、师生互动，新课讲解：思考： 给定平面内任意两个向量e1, e2，请作出向量3e1+2e2、e1-2 e2，平面内的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢？. 在平面内任取一点O，作 OAe1， OBe2， OCa，过点 C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点 M；过点 C 作平行于直线OA

3、的直线，与直线OB 交于点 N. 由向量的线性运算性质可知，存在实数1、2，使得 OM1e1，ON2e2. 由于 OCOMON ，所以 a=1e1+2e2，也就是说任一向量a 都可以表示成1e1+2e2的形式 . 1 平面向量基本定理（1）定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. （2）向量的夹角已知两个非零向量a 和 b，作OA=

4、a，OB=b，则AOB=(0180 )叫做向量a 与 b 的夹角，当 =0 时， a 与 b 同向；当=180 时， a 与 b 反向 . 如果 a 与 b的夹角是90 ，则称 a 与 b垂直，记作a b. 例 1 （课本 P94例 1）已知向量e1、e2，求作向量 -2.5 e1+3e2。解：变式训练1： 如图在基底e1、e2下分解下列向量：解：1222ABee，1233CDee，1232EFee，1263GHee2 平面向量的正交分解及坐标表示（1）正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. （2）向量的坐标表示思考： 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一

5、对有序实数（即它的坐标）表示，对平面直角坐标系内的每一个向量，如何表示呢？在直角坐标系中，分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底，则对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y 使得a=xi+yj，把有序数对 ( x,y) 叫做向量a 的坐标，记作a=( x,y), 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，显然，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). （3）向量与坐标的关系思考： 与 a 相等的向量坐标是什么？向量

6、与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？（多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同）当向量起点被限制在原点时，作OA=a，这时向量 OA的坐标就是点A 的坐标，点A 的坐标也就是向量OA的坐标，二者之间建立的一一对应关系. 例 2（课本 P96例 2） 如图，分别用基底i、j 表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标. 解： a=2i+3j=(2,3), b=-2 i+3j=(-2,3) c=-2 i-3 j=(-2,-3) d=2i-3 j=(2,-3). 变式训练2： 在直角坐标系xOy 中，向量a、b、c 的方向和长度如图所示，分别求他们的坐标. 解：设 a=(a1,a2)，b=(b1,b

7、2)，c=(c1,c2)，则a1=|a|cos45=2222，a2=|a|sin45 =2222; b1=|b|cos120 =13322，b2=|b|sin12033 3322; c1=|c|cos(-30)=342 32，c2=|c|sin(-30)=1422, 因此3 3 32,2 ,2 3,222abc. 例 3：已知 O 是坐标原点，点A在第一象限，|43OA，60 xOA，求向量 OA的坐标 . 解：设点,A x y，则43 cos6023,43sin 606xy即2 3,6A，所以2 3,6OA. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

8、 - -第 3 页，共 4 页变式训练3：如图， e1、 e2为正交基底，分别写出图中向量a、b、c、d 的分解式，并分别求出它们的直角坐标. 解： a=2e1+3e2=(2,3) ，b=-2e1+3e2=(-2,3)，c=-2 e1-3e2=(-2,-3)，d=2e1-3 e2=(2,-3). 三、课堂小结，巩固反思：1 平面向量基本定理；2 平面向量的正交分解；3 平面向量的坐标表示. 四、课时必记：1、平面向量的基本定理：如果e1、 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使得功a=1e1+2e2. 把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平

9、面内所有向量的一组基底. 2、当向量起点被限制在原点时，作 OA=a，这时向量 OA的坐标就是点A 的坐标， 点 A 的坐标也就是向量OA的坐标，二者之间建立的一一对应关系. 五、分层作业：A组：1、设 e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有 a = e1+ e2( 、 R) D.若 e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有 a = e1+ue2( 、uR) 2、已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中 e1、e2不共线，则a+b 与 c =6e1-2e2的关系A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3、已知向量e1、e2不共线，实数x、y 满足 (3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则 x-y 的值等于 ( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 4、已知 a、 b不共线，且c =1a+2b(1，2R)，若 c与 b共线，则1= . 5、已知 10， 20，e1、e2是一组基底，且a =1e1+2e2，则 a 与 e1_，a 与 e2_(填共线或不共线). B组：C组：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页