2022年-学年高中数学北师大必修教学案：第一章垂直关系Word版含解析 .pdf

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1、垂直关系61垂直关系的判定第一课时直线与平面垂直的判定预习课本P3637，思考并完成以下问题(1)直线与平面垂直的定义是怎样的？(2)直线与平面垂直的判定定理是什么？新知初探 1直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直点睛 关于直线与平面垂直的定义的理解(1)定义中的 “任何一条直线”这一词语，它与“所有直线 ”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直(2)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直 ” ，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法2直线和平面垂直的判定定理(1)文字语言：如

2、果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(2)图形语言：如图所示 . (3)符号语言： a ，b ，abA，la，lb? l . 点睛 判定定理的条件中， “平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行 )，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 31 页 - - - - - - - - - (

3、1)若直线 l垂直于平面 ， 则 l 与平面 内的直线可能相交， 可能异面，也可能平行 () (2)若 ab，a ，l ，则 lb.() (3)若 ab，b ，则 a .() 答案 ：(1)(2)(3)2若三条直线OA，OB，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于 () A平面 OABB平面 OACC平面 OBCD平面 ABC答案： C 3已知直线l平面 ，则经过 l 且和 垂直的平面 () A有一个B有两个C有无数个D不存在答案： C4一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是() A平行B垂直C相交不垂直D不确定答案： B直线与平面垂直关系的判断典例 下列命题中正确

4、的个数是() 如果直线l 与平面 内的两条直线垂直，则l ；如果直线l 与平面 内的一条直线垂直，则l ；如果直线l 不垂直于 ，则 内没有与l 垂直的直线；如果直线l 不垂直于 ，则 内也可以有无数条直线与l 垂直A0B1 C2 D3 解析 当 内的两条直线平行时，l 与 不一定垂直，故不对；当 l 与 内的一条直线垂直时，不能保证l 与 垂直，故不对；当 l 与 不垂直时， l 可能与 内的无数条直线垂直，故不对；正确故选B. 答案 B 解决此类问题常用的方法(1)依据定义、定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

5、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 31 页 - - - - - - - - - (2)否定命题时只需举一个反例；(3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体 )进行筛选活学活用 如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正五边形的两边能保证该直线与平面垂直的是_(填序号 )解析： 根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直而梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件故填. 答案 ：直线与平面垂直的证明典例 如图所示， R

6、tABC 所在的平面外一点S，SASBSC，点 D 为斜边 AC 的中点求证：直线SD平面 ABC. 证明 SASC，点 D 为斜边 AC 的中点， SDAC. 连接 BD，在 Rt ABC 中，则 ADDCBD， ADS BDS，SDBD. 又 ACBDD，SD平面 ABC. 一题多变 1变条件，变结论在本例中，若ABBC，其他条件不变，求BD 与平面 SAC 的位置关系解： ABBC，点 D 为斜边 AC 的中点，BD AC. 又由典例知SD平面 ABC，SDBD. 于是 BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线，故 BD平面 SAC. 2变条件，变结论将本例改为：已知四棱锥P-ABCD

7、的底面是菱形，且PAPC，PBPD.若 O 是 AC 与 BD 的交点，求证：PO平面 ABCD. 证明： 在PBD 中，PBPD，O 为 BD 的中点，POBD. 在 PAC 中， PAPC，O 为 AC 的中点，POAC，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 31 页 - - - - - - - - - 又 ACBDO，PO平面 ABCD. 证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义(2)线面垂直的判定定理(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一

8、条直线也垂直于这个平面(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面层级一学业水平达标1若直线a平面 ，b ，则 a 与 b的关系是 () Aab，且 a与 b 相交Bab，且 a 与 b 不相交CabDa与 b 不一定垂直解析： 选 C过直线 b 作一个平面 ，使得 c，则 bc.因为直线a平面 ，c ，所以 ac.因为 bc，所以 ab.当 b 与 a 相交时为相交垂直，当b 与 a 不相交时为异面垂直，故选C. 2已知 m 和 n 是两条不同的直线，和 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是 () A ，且 m? Bmn，且 nCm n，且

9、 n? Dmn，且 n解析： 选 BA 中，由 ，且 m? ，知 m ；B 中，由 n ，知 n 垂直于平面内的任意直线，再由mn，知 m 也垂直于内的任意直线，所以m ，符合题意； C、D中， m? 或 m或 m 与 相交，不符合题意，故选B. 3下列四个命题中，正确的是() 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直ABCD解析： 选 D不正确名师资料总结 - - -

10、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 31 页 - - - - - - - - - 4.如图， l，点 A，C ，点 B ，且 BA ，BC ，那么直线l 与直线AC的关系是 () A异面B平行C垂直D不确定解析： 选 CBA ， l，l ， BAl.同理 BCl.又 BABCB， l平面 ABC.AC平面 ABC， lAC. 5若两直线l1与 l2异面，则过l1且与 l2垂直的平面 () A有且只有一个B可能存在，也可能不存在C有无数多个D一定不存在解析： 选 B当 l1l2时，过l

11、1且与 l2垂直的平面有一个，当l1与 l2不垂直时，过l1且与 l2垂直的平面不存在6 在三棱锥V-ABC 中，当三条侧棱VA， VB， VC 之间满足条件_时，有 VCAB.(注：填上你认为正确的条件即可) 解析： 只要 VC平面 VAB，即有 VCAB；故只要VCVA，VCVB即可答案 ：VCVA，VCVB(答案不唯一，只要能保证VCAB 即可 ) 7如图所示，BCA90，PC平面 ABC，则在 ABC， PAC 的边所在的直线中：(1)与 PC 垂直的直线有_；(2)与 AP 垂直的直线有_解析： (1)因为 PC平面 ABC，AB，AC，BC平面 ABC，所以与PC 垂直的直线有AB

12、，AC， BC. (2)BCA90，即 BCAC，又 BCPC，ACPCC，所以 BC平面 PAC.又 AP平面 PAC，所以 BCAP.答案 ：(1)AB，AC，BC(2)BC8在 ABC 中，ABAC5，BC6，PA平面 ABC，PA8，则 P 到 BC 的距离是_解析： 如图所示，作PDBC 于 D，连接 AD. PA平面 ABC，PABC. 又 PDPAP，CB平面 PAD，AD BC. 在 ACD 中， AC5， CD3， AD4.在 Rt PAD 中，PA8， AD4， PD824245. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

13、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 31 页 - - - - - - - - - 答案 ：4 5 9如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形， PA平面ABCD，APAB2，BC22，E，F 分别是 AD，PC 的中点证明：PC平面 BEF . 证明： 如图，连接PE，EC，在 RtPAE 和 RtCDE 中， PAABCD，AEDE ，PECE，即 PEC 是等腰三角形又 F 是 PC 的中点，EFPC. 又 BPAP2AB22 2BC，F 是 PC 的中点，BFPC. 又 BF EFF，PC平面 BEF. 10如图，正方体ABCD-A

14、1B1C1D1中求证： BD1平面 AB1C. 证明： 连接 BD，则 BDAC. 又 DD1平面 ABCD，AC平面 ABCD，DD1AC. 又 DD1BDD，AC平面 BDD1. BD1平面 BDD1，ACBD1. 同理 B1CBD1. 又 ACB1CC, BD1平面 AB1C. 层级二应试能力达标1直线 l平面 ，直线 m ，则 l 与 m 不可能 () A平行B相交C异面D垂直解析： 选 A直线 l平面 ， l 与 相交又 m ，l 与 m 相交或异面由直线与平面垂直的定义，可知lm. 故 l 与 m 不可能平行名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

15、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 31 页 - - - - - - - - - 2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与 AD1垂直的平面是() A平面 DD1C1CB平面 A1DB1C平面 A1B1C1D1D平面 A1DB答案 ：B 3如图， O 为正方体 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 的中心， 则下列直线中与B1O 垂直的是 () AA1DBAA1CA1D1DA1C1解析： 选 D由题易知， A1C1平面 BB1D1D，又 OB1平面 DD1B1B， A1C1B1O. 4已知两条直线m，n，两个平面 ， ，给出

16、下列四个命题：mn，m ? n ； ，m ，n ? mn；mn，m ? n ； ，mn，m ? n . 其中正确命题的序号是() ABCD解析： 选 C正确；对于，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，也可能异面，因此是错误的；对于，直线n 也可能位于平面内，因此是错误的；对于，由m且 ，得 m ，又 mn，故 n ，因此是正确的5设 l，m，n 为三条不同的直线，为一个平面，给出下列命题：若 l ，则 l 与 相交；若 m ，n ，lm，ln，则 l ；若 l m，mn，l ，则 n ；若 l m，m ， n ，则 ln. 其中正确命题的序号为_解析： 显然正确；对

17、，只有当m，n 相交时，才有l ，故错误；对，由lm，mn? ln，由 l ，得 n ，故正确；对，由lm，m ? l ，再由 n? ln，故正确答案： 6如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中， ABC90， M 为线段BB1上的一动点，则直线AM 与直线 BC 的位置关系为 _解析： AA1平面 ABC，BC平面 ABC， BCAA1. ABC90， BCAB. 又 ABAA1A， BC平面 AA1B1B. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 31 页 -

18、- - - - - - - - 又 AM平面 AA1B1B，AM BC. 答案 ：垂直7如图， AB 是圆 O 的直径， PA 垂直于圆 O 所在的平面， M 是圆周上任意一点，ANPM ，垂足为N. 求证： AN平面 PBM . 证明： 设圆 O 所在的平面为 ，PA ，且 BM ，PABM. 又 AB 为O 的直径，点M 为圆周上一点，AM BM.由于直线 PAAMA，BM 平面 PAM，而 AN平面 PAM，BM AN. AN 与 PM，BM 两条相交直线互相垂直故 AN平面 PBM . 8如图，在三棱锥A-BCD 中， ABCD，ADBC. 求证： ACBD. 证明：过 A 作 AG平

19、面 BCD 于 G，连接 BG，则 AGCD. 又 ABCD，AGABA，CD平面 ABG. BG平面 ABG， CDBG. 连接 DG，同理 DGBC，G 是 BCD 的垂心连接 CG，则 CGBD，又 AGBD，AGCGG，BD平面 ACG，又 AC平面 ACG，ACBD. 第二课时平面与平面垂直的判定预习课本P3739，思考并完成以下问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 31 页 - - - - - - - - - (1)二面角的概念是什么？如何求二面

20、角的平面角？(2)平面与平面垂直的概念及判定定理的内容是什么？新知初探 1二面角及其平面角(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面(3)二面角的记法：以直线 AB 为棱，半平面 ，为面的二面角，记作：二面角面 -AB- . (4)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点O 为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱l 的两条射线OA，OB，则这两条射线所成的角AOB 叫作二面角的平面角(5)直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角(6)二面角 的

21、取值范围为0 180. 点睛 (1)当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小为0；(2)二面角的大小为90时，两个平面互相垂直(3)当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小为180. 2两个平面互相垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直3两个平面互相垂直的判定定理(1)文字语言：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直(2)图形语言：如图所示(3)符合语言：aa? . 点睛 对面面垂直的判定定理的理解(1)该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直” (2)定理的关键词是 “过另一面的垂线” ，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线名

22、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 31 页 - - - - - - - - - (3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直? 线面垂直 ? 面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”) (1)若 l ，则过 l 有无数个平面与垂直 () (2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90.() (3)若 ，a ，b ，则 ab.() 答案： (1)(2)(3)2在二面角 -l

23、-的棱 l 上任选一点O，若AOB 是二面角 -l-的平面角， 则必须具有的条件是 () AAOBO，AO ，BOBAOl，BOlCABl，AO ，BODAOl，BOl，且 AO ，BO答案： D 3 如图，在正方体ABCD-ABCD中，二面角 D-AB-D 的大小为 _答案： 45平面与平面垂直的判定典例 如图所示， 在四面体 ABCS 中，已知 BSC90，BSACSA60，又 SASBSC.求证：平面ABC平面 SBC. 证明 法一利用定义证明 因为 BSA CSA60，SASBSC，所以 ASB 和 ASC 是等边三角形，则有 SASBSCABAC，设其值为a，则 ABC 和 SBC

24、为共底边 BC 的等腰三角形取 BC 的中点 D，如图所示，连接 AD，SD，则 ADBC，SDBC，所以 ADS 为二面角A-BC-S的平面角在 RtBSC 中，因为 SBSCa，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 31 页 - - - - - - - - - 所以 SD22a，BDBC222a. 在 RtABD 中，AD22a，在 ADS 中，因为SD2AD2SA2，所以 ADS90，即二面角A-BC-S 为直二面角，故平面ABC平面 SBC. 法二利用

25、判定定理证明 因为 SASBSC，且证明 BSA CSA60，所以 SAABAC，所以点 A 在平面 SBC 上的射影为 SBC 的外心因为 SBC 为直角三角形，所以点 A 在 SBC 上的射影D 为斜边 BC 的中点，所以 AD平面 SBC. 又因为 AD平面 ABC，所以平面ABC平面 SBC. (1)证明平面与平面垂直的方法：利用定义：证明二面角的平面角为直角；利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法

26、，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直活学活用 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD平面 AA1C1C. 证明 ：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面 ABCD ，BD平面 ABCD，AA1BD. 又在正方形ABCD 中， ACBD，又 ACAA1A，BD平面 AA1C1C. 又 BD平面 A1BD，平面 A1BD平面 AA1C1C. 二面角的求法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

27、第 11 页，共 31 页 - - - - - - - - - 典例 如图，三棱锥V-ABC 中，VAVBACBC2，AB23，VC1，试画出二面角V-AB-C 的平面角，并求它的大小解如图，取AB 的中点 D，连 VD，CD. VAVBACBC，VD AB，CDAB. VDC 就是二面角V-AB-C 的平面角在 VAB 中， VAVB2，AB2 3，VD 1.同理 CD1.又 VC1， VCD 为等边三角形 VDC60. 即二面角V-AB-C 的平面角的大小是60. 求二面角的三种方法(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂

28、直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线 (交线 )所成的角，即为二面角的平面角(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法活学活用 如图，已知 Rt ABC，斜边 BC ，点 A? ，AO ，O 为垂足，ABO30， ACO45，求二面角A-BC-O 的大小解： 如图，在平面内，过 O 作 ODBC，垂足为点D，连接AD，设 COa. AO ，BC ，AOBC. 又 AOODO， BC平面 AOD. 而 AD平面 AOD，AD BC， ADO 是二面角A-BC-O 的平面角由 AO ， OB ，OC ，知 AOOB，AOOC. ABO3

29、0， ACO45，COa，AO a，AC2a，AB2a. 在 RtABC 中， BAC90，BCAC2AB26a，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 31 页 - - - - - - - - - ADAB ACBC2a2a6a2 33a. 在 RtAOD 中，sinADOAOADa233a32. ADO60，即二面角A-BC-O 的大小是 60. 线面、面面垂直的综合问题典例 如图， PA O 所在的平面， AB 是O 的直径， C 是 O上一点， AEPB

30、 于 E，AFPC 于 F，求证：(1)平面 AEF 平面 PBC；(2)PB EF. 证明 (1)AB 是 O 的直径， C 在圆上，ACBC.又 PA平面 ABC，BC平面 ABC，PABC.又 ACPAA，BC平面 PAC.又 AF平面 PAC，BCAF.又 AF PC，PCBCC，AF平面 PBC.又 AF平面 AEF ，平面 AEF 平面 PBC. (2)由(1)知 AF平面 PBC， AFPB. 又 AEPB，AEAF A，PB平面 AEF.又 EF平面 AEF ，PBEF . 线线、线面、面面垂直的相互转化解决线线、线面、面面垂直关系要注意三种垂直关系的转化的关系，即线线垂直?

31、线面垂直 ? 面面垂直活学活用 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面是边长为a 的正方形，侧棱PDa，PAPC2a，求证：(1)PD平面 ABCD；(2)平面 PAC平面 PBD . 证明： (1)PDa，DCa，PC2a，PC2PD2DC2. 则 PDDC.同理可证 PDAD. 又 ADDCD，且 AD，DC平面 ABCD，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 31 页 - - - - - - - - - PD平面 ABCD. (2)由(1)知 PD平面 A

32、BCD，又 AC平面 ABCD ， PDAC. 四边形ABCD 是正方形，ACBD. 又 BDPDD，且 PD，BD平面 PBD，AC平面 PBD. 又 AC平面 PAC，平面 PAC平面 PBD. 层级一学业水平达标1设 a，b 是两条不同的直线， ，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A若 ab，a ，则 bB若 ， a ，则 aC若 ， a ，则 aD若 ab，a ，b ，则 解析： 选 DA 错，可能 b ；B 错；C 错，可能a .只有 D 正确2已知直线a，b 与平面 ， ， ，下列能使 成立的条件是() A ， B a，ba，b? Ca ，aDa ，a解析： 选 D由 a

33、 ，知 内必有直线l 与 a 平行而a ， l ， . 3从空间一点P 向二面角 -l-的两个面 ，分别作垂线PE，PF，E，F 为垂足，若 EPF 60，则二面角 -l-的平面角的大小是() A60B120C60或 120D不确定解析： 选 C若点 P 在二面角内，则二面角的平面角为120；若点 P 在二面角外，则二面角的平面角为60. 4如图，四边形ABCD 中， ADBC，ADAB， BCD45， BAD90，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD 平面 BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD 中，下列结论正确的是() 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

34、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 31 页 - - - - - - - - - A平面 ABD平面 ABCB平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDCD平面 ADC 平面 ABC解析： 选 D由已知得 BAAD，CDBD，又平面 ABD平面 BCD ， CD平面 ABD，从而 CDAB，故 AB平面 ADC. 又 AB平面 ABC，平面 ABC平面 ADC. 5.如图，已知PA矩形ABCD 所在的平面，则图中互相垂直的平面有 () A1对B2 对C3对D5 对解析： 选 DDAAB，DAPA， DA平

35、面 PAB.同理 BC平面 PAB，又 AB平面 PAD，DC平面 PAD， 平面 PAD平面 BCD，平面 PAB平面 ABCD，平面 PBC平面 PAB，平面 PAB平面 PAD，平面 PDC平面 PAD，共 5 对6如果规定：xy，yz，则 xz，叫作 x，y，z 关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面 ， ，关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是_解析： 由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性答案： 平行7如图，平面ABC平面 BDC， BACBDC90，且ABACa，则 AD_. 解析： 取 BC 中点 M

36、，则 AMBC，由题意得AM平面 BDC， AMD 为直角三角形，AM MD22a.AD22a2a. 答案： a8如图， ABC 是等腰直角三角形，BAC90， ABAC1，将 ABC 沿斜边BC 上的高 AD 折叠，使平面ABD平面 ACD，则折叠后BC_. 解析： 由题意知， BDAD，由于平面ABD平面 ACD . BD平面 ADC.又 DC平面 ADC， BDDC. 连接 BC，则 BCBD2DC22222221. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共

37、 31 页 - - - - - - - - - 答案 ：1 9 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形， 直线 SC平面 ABCD，E 是SA 的中点，求证：平面EDB 平面 ABCD. 证明： 连接 AC，交 BD 于点 F，连接 EF，EF 是 SAC 的中位线，EFSC. SC平面 ABCD，EF平面 ABCD. 又 EF平面 EDB. 平面 EDB 平面 ABCD . 10如图，四边形ABCD 为菱形， ABC120， E，F 是平面ABCD 同一侧的两点， BE平面 ABCD，DF 平面 ABCD，BE2DF ，AEEC. 求证：平面AEC平面 AFC . 证明： 如图，连接BD，

38、设 BDAC 于点 G，连接 EG，FG ，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设GB1.由 ABC120，可得 AGGC3. 由 BE平面 ABCD，ABBC，可知 AEEC. 又 AEEC，所以 EG3，且 EGAC. 在 RtEBG 中，可得 BE2，故 DF 22. 在 RtFDG 中，可得 FG 62. 在直角梯形BDFE 中，由 BD2，BE2，DF 22，可得 EF 3 22. 从而 EG2FG2EF2，所以 EGFG. 又 ACFGG，所以 EG平面 AFC . 因为 EG平面 AEC，所以平面AEC平面 AFC . 层级二应试能力达标1对于直线m，n 和平面 ， ，能得出 的一个

39、条件是 () Am n，m ，nBmn， m，n名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 31 页 - - - - - - - - - Cm n，n ，mDmn，m ， n解析： 选 Cn ，mn， m ，又 m ，由面面垂直的判定定理，得 . 2空间四边形ABCD 中，若 ADBC，BDAD，那么有 () A平面 ABC平面 ADCB平面 ABC平面 ADBC平面 ABC平面 DBCD平面 ADC平面 DBC解析： 选 D如图， ADBC，ADBD，BCBDB，

40、 AD平面 BCD.又 AD平面 ADC，平面 ADC平面 DBC. 3如果直线l，m 与平面 ， ， 满足： l ，l ，m和m ，那么必有 () A 且 lmB 且 mCm且 lmD 且 解析： 选 AB 错，有可能m 与 相交； C 错，有可能m 与 相交； D 错，有可能与 相交4.如图，在四面体P-ABC 中，ABAC，PBPC，D，E，F 分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是() ABC平面 PDFBDF 平面 PAEC平面 PDF 平面 PAED平面 PDF 平面 ABC解析： 选 D因为 D，F 分别为 AB，AC 的中点，则DF 为 ABC 的中位线，则

41、BCDF ，依据线面平行的判定定理，可知BC平面 PDF ，A 成立又 E 为 BC 的中点，且PBPC，ABAC，则 BCPE，BCAE，依据线面垂直的判定定理，可知BC平面 PAE.因为 BC DF ， 所以 DF平面 PAE， B 成立又 DF平面 PDF ， 则平面 PDF平面 PAE，C 成立要使平面PDF 平面 ABC，已知 AEDF ，则必须有AEPD 或 AEPF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D. 5如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点，当点M 满足 _时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确

42、的条件即可) 解析： 连接 AC，则 ACBD，因为 PA平面 ABCD，BD平面ABCD，所以PA BD.又 ACPAA，所以 BD平面PAC.因为 PC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 31 页 - - - - - - - - - 平面 PAC，所以 BDPC.所以当 DM PC(或 BM PC)时，即有PC平面 MBD .而 PC平面 PCD，所以平面MBD 平面 PCD. 答案 ：DM PC(或 BMPC) 6如图，检查工件的相邻两个面是否垂直时，

43、只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是利用了_解析： 如图所示，因为OAOB，OAOC，OB ，OC ，且OBOCO，根据线面垂直的判定定理，可得OA ，又 OA ，根据面面垂直的判定定理，可得 . 答案 ：面面垂直的判定定理7如图，已知三棱锥P-ABC，ACB90，D 为 AB 的中点， 且 PDB 是正三角形，PAPC. 求证： (1)PA平面 PBC；(2)平面 PAC平面 ABC. 证明： (1)因为 PDB 是正三角形，所以 BPD60，因为 D 是 AB 的中点，所以 ADBDPD. 又 ADP120，所以 D

44、PA30，所以 DPA BPD90，所以 PAPB.又 PAPC，PBPCP，所以 PA平面 PBC. (2)因为 PA平面 PBC，所以 PABC. 因为 ACB90，所以 ACBC.又 PAACA，所以 BC平面 PAC. 因为 BC平面 ABC，所以平面PAC平面 ABC. 8如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB12AD，E 是 AD 的中点，沿BE 将 ABE折起至 ABE 的位置，使ACAD，求证：平面ABE平面 BCDE . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

45、第 18 页，共 31 页 - - - - - - - - - 证明： 如图所示，取CD 的中点 M，BE 的中点 N，连接 AM，AN，MN ，则 MNBC. AB12AD，E 是 AD 的中点，ABAE，即 ABAE. A NBE.ACAD，A MCD. 在四边形BCDE 中， CDMN ，又 MN AMM，CD平面 AMN . 又 AN平面 AMN ，CDAN. DE BC 且 DE12BC， BE 必与 CD 相交A N平面 BCDE . 又 AN平面 ABE，平面 ABE平面 BCDE . 62垂直关系的性质预习课本P3941，思考并完成以下问题(1)线面垂直的性质定理的内容是什么？

46、有什么作用？(2)面面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？(3)应用面面垂直性质定理时应注意什么？新知初探 1直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行(2)图形语言：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 31 页 - - - - - - - - - (3)符号语言：ab? ab. (4)作用：线面垂直? 线线平行；作平行线点睛 剖析直线与平面垂直的性质定理(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什

47、么结论(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直 )(3)定理揭示了空间中“平行 ”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直 ”与“平行 ”关系相互转化的依据2平面和平面垂直的性质定理(1)文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面(2)图形语言：(3)符号语言： laal? a . (4)作用：面面垂直? 线面垂直；作面的垂线点睛 对面面垂直的性质定理的理解(1)定理成立的条件有三个：两个平面互相垂直；直线在其中一个平面内；直线与两平面的交线垂直(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直(3)已

48、知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”) (1)已知直线a 和直线 c，a ，若 ca，则 c .() (2)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面() 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 31 页 - - - - - - - - - (3)如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面 () (4)如果两个平面互相垂直，

49、那么分别在两个平面内的两条直线分别平行或垂直() 答案 ：(1)(2)(3)(4)2已知直线a，b，平面 ，且 a ，下列条件中，能推出ab的是 () AbBbCbDb 与 相交答案： C 3若平面 平面 ，平面 平面 ，则 () A B C与 相交但不垂直D以上都有可能答案： D4若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a 垂直于第二个平面内的一条直线 b，那么 () A直线 a 垂直于第二个平面B直线 b 垂直于第一个平面C直线 a 不一定垂直于第二个平面D过 a 的平面必垂直于过b的平面答案： C直线与平面垂直的性质及应用典例 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 是

50、AB 上一点， N 是 A1C 的中点，MN 平面 A1DC. 求证： MN AD1. 证明 因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1A1D. 又因为 CD平面 ADD1A1，AD1平面 ADD1A1，所以 CDAD1. 因为 A1DCDD，所以 AD1平面 A1DC. 又因为 MN 平面 A1DC，所以 MN AD1. 证明线线平行的五种方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 31 页 - - - - - - -