2022年数学物理方程试题1 .pdf

《2022年数学物理方程试题1 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学物理方程试题1 .pdf（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数学物理方程考点一. 分离变量法 ：知识点见课本1618PP1. 已知初边值问题：20000 ,0,000,sin2ttxxxxxltttua uxl tuuxuul（1） 求此问题的 固有函数 （特征函数）与固有值（特征值） ；（2） 求此初边值问题的解。解： （1）令( , )( ) ( )u x tX x T t（1.1 ） ，其中( , )u x t不恒零，将其代入方程得到：2( )( )( ) ( )0X x T ta Xx T t将该式分离变量并令比值为有：2( )( )( )( )TtXxa T tX x则有：2( )( )0Tta T t（ 1.2 ）( )( )0XxX x（

2、1.3 ）由 原 初 边 值 问 题 的 边 界 条 件 知 ：方 程 （ 1.3 ） 满 足 边 界 条 件(0)0,( )0XX l（1.4 ）( )I当0时，方程（ 1.3 ）的通解为12( )xxX xC eC e，由边界条件（1.4 ）知：121200 xxCCCeCe1200CC( )0X x由（1.1 ）知：( , )0u x t，0应舍去；()II当0时，方程（1.3 ）的通解为12( )X xCC x ，由边界条件 （1.4 ）知：1200CC同理0应舍去；()III当0时，则方程的通解为：12X( )cossinxCxCx由边界条件(0)0X知：10C即2( )sinX x

3、Cx又由( )0Xl知：2cos0Cl，令20C，则 cos0l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页即2nln，所以 固有值为2(21),0,1,2nnnl将其代入通解中，得到 固有函数：(21)( )sin,0,1,2nnnXxCxnl（）将固有值n代入方程（ 1.2 ） ，可得到此方程的通解：(21)(21)( )cossin,0,1,22nnnnanaTtAtBtnll则原初边值问题的形式解为：(21)(21)(21)( , )( )( )(cossin)sin,0,1,222nnnnnnananux tXx

4、Ttatbtx nlll则：0(21)(21)(21)( , )(cossin)sin,0,1,222nnnnananu x tatbtx nlll由初始条件00tu，0sin2ttxul知：0na0204( 21 )( 21 )s i ns i n( 21 )2201 , 2lnlnnxxnabdxnalln原初边值问题的解为：2( , )sinsin(21)22laxu x ttnall二. 特殊方程的边界齐次化： 知识点见2122PP2. 已知初边值问题 ：20000 ,0,0,0,0ttxxxx ltttua uxl tuAuBuu将此定解问题的边界齐次化。解：令( , )( , )(

5、 )u x tv x tw x（1） ，则ttttuv ，xxxxuvw ，故原初边值问题等价于22000(0),( )( ),0ttxxxx ltttva va wxvAwvBw lvw x v精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页（I ）将定解问题（ I ）边界齐次化，即令20(0)( )a wxwAw lB3222( )()66xBAlw xxAala将( )w x代入（ I ） ，则可得到边界齐次化后的初边值问题为：232002200(),0660ttxxtttxx lva vxBAlvxAvalavv（II

6、）然后用分离变量法求初边值问题（II ）得到( , )v x t，将其代入（ 1）式即可求出( , )u x t。三. 能量不等式证明解的唯一性：知识点见9495PP3. 证明方程2ttxxtua ucuf 的初边值问题解的唯一性。四、格林函数：6. 写出格林函数公式及满足的条件，并解释其物理意义。解： （1）格林函数公式（三维）为：G （M ，M0）=014MMr g （M ，M0）M其中函数 g 满足的条件为：001|4MMgMgr式中为区域的边界曲面（2） 格林函数的物理意义： 在某个闭合导电曲面内 M0点处放一个单位正电荷，则有它在该导电曲面内一点M处产生的电势为014MMr（不考虑电

7、介常数），将此闭合导电曲面接地，又静电平衡理论，则M0将在该导电曲面上产生负感应精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页电荷，其在 M处的电势 g （M ，M0） ，并且导电面上的电势恒等于0，即有|g=014MMr一. 填空1. 函数（01ln(0)Urr）称为二维拉普拉斯方程0 xxyyuu的基本解。2. 利用调和函数的（p93,极值）原理， 容易证明狄利克雷问题0,( , , )|( , , )ux y zuf x y z解的唯一性。3. 利 用 静 电 源 镜 像 法 容 易 求 得 上 半 空 间0z的 格 林

8、 函 数 为0(,)G M M（011144MMMMrr） ，其中0000(,)Mxyz为上半空间0z的点，1000(,)Mxyz为0M 关于平面0z的对称点。二. 求解问题2,(0,0),(0, )0,( , )0,35( ,0)3sin6sin,22( ,0)0.ttxxxtua uxl tutu l txxu xllu x答(p56 习题二， 1（3）)：用分离变量法 .()特征值和特征函数分别为2(21)(21)() ,( )sin.22nnnnxXxll结果为3355( , )3cossin6 cossin.2222atxatxu x tllll三、 用固有函数法求解2,(0,0,)

9、,(0, )0, ( , )0,(0),( ,0)0,(0).txxua uAxl tAutu l ttu xxl为常数答（p58习题二 10(3) ）: 固有函数系为sinnxl，( 先考律齐次方程，在考虑非其次方程) 结果为22()2223312( 1)1( , )()sin.2n atntlnAAln xu x txlxeaanl五. (10 分) 用积分变换法求解问题2,(,0),( ,0)cos .txxua uxtu xx（已知傅氏逆变换2222141.2xata tFeeat） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页

10、，共 15 页答（p85习题三 9, 类似 p74 例 1） ：2222 ( , )( , ),cos( ).( , )( , ),(,0)( ).( , )( ).atF u x tUtFxdUtaUtdtUUte22222()4411( , )cos *coscos.22xxa ta ta tu x txeedxeatat无限长弦的一般强迫振动定解问题200( , )(,0)( )( )ttxxtttua uf x txR tuxux解.().0()111( , )( , )222xattxa txatx a tu x txatxatdfddaa三维空间的自由振动的波动方程定解问题2222

11、222220001,0( , , )( , , )ttuuuax y zttxyzux y zux y zt在球坐标变换sincossinsin(0,02 ,0)cosxryrrzr21()1()(, )44MMatrSSMMu M tdSdSatrar (r=at) 221()1()(, )44MMatatSSMMu M tdSdSattat无界三维空间自由振动的泊松公式()sincos()sinsin(02 ,0)()cosxxatyyatzzat2() sindSatd d二维空间的自由振动的波动方程定解问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

12、- - -第 5 页，共 15 页222222200,0( , )( , )ttuuuax yttxyuux yx yt222222 2200001(cos ,sin )1(cos ,sin)( , , )22atatxryrxryru x y trdrdrdrdataa tra tr三个格林公式第一格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在 S?SV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：SVVu v dSuvdVu vdV第二格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在 S?SV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：SVu vv udSu vv u dV第三格林公式

13、设 M0，M是 V中的点， v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MMMMMMSVuu MudSu dVrnnrr定理 1：泊松方程洛平问题( , , ),( , , )( , , ),( , , ),(xxyyzzSSSuuuuf x y zx y zVuux y zx y zn连续）连续）的解为：011111()()()()44SVu MMMdSf MdVrnrr调和函数1、 定义： 如果函数 u(x,y,z)满足:(1) 在VS具有二阶连续偏导数； (2) 0u称 u 为 V上的调和函数。2、调和函数的性质。性质 1 设 u(x,

14、y,z) 是区域 V 上的调和函数，则有0SudSn推论 2：拉氏牛曼问题（牛曼问题解不稳定没有得到公式解）0 xxyyzzSuuuuun有解的充分必要条件是：0SdS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页性质2 设u(x,y,z) 是区 域V上的调 和函数， 则有 :0111()4Suu MudSrnnr性质 3 : 设 u(x,y,z)是区域 V 上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的算术平均值，即 : 021()()4RSu Mu M dSR其中 SR是以 M0为球心 ,R 为半径的球面三维空间中狄氏问题格林

15、函数泊松方程狄氏问题为：( , , ),( , , )( , , ),(xxyyzzSSuuuuf x y zx y zVux y z连续）0000(,)()(,)(,)SVG M Muu MG M MudSG M MfdVnn其中：001(,)( , , )4MMG M Mv x y zr如果 G(M,M0) 满足：0(,)0SG M M则可得泊松方程狄氏解定理定理：泊松方程狄氏解为：000(,)()()(,)()SVG M Mu MMdSG M Mf M dVn其中 G(M,M0) 满足：0000(,)(),(,)0SSG M MMMM MVG M M00MM1G(M,M )=4 r推论：

16、拉氏方程狄氏解为：00(,)()()SG M Mu MMdSn一.1. 初始位移为)(x, 初始速度为)(x的无界弦的自由振动可表述为定解问题: ).(),(0,002xuxutxuautttxxtt2. 为使定解问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页0,00002tlxxxxxtuuuuuau（0u 为常数）中的边界条件齐次化 , 而设)(),(),(xwtxvtxu, 则可选)(xwxu03. 方程0 xyu的通解为)()(),(yGxFyxu4只有初始条件而无边界条件的定解问题, 称为柯西问题 . 三. 求解

17、初值问题xuxutxuutttxxttcos,0,4020解：xxxxacos)(,)(,22利用达朗贝尔公式atxatxdaatxatxtxu)(21)()(21),(5 分得)2sin()2sin(414cos41)2()2(21),(222222txtxtxdtxtxtxutxtxtxtx2sincos2142210分四. 用分离变量法解定解问题.0,0|, 00,0,0002tttlxxxxxxttuxuuutlxuau解 先求满足方程和边界条件的解.设解为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页)()(),(t

18、TxXtxu代入方程得)()()()(2tTxXatTxX除以)()(2tTxXa有)()()()(2tTatTxXxX得到两个常微分方程0)()(xXxX0)()(2tTatT由边界条件得0)()(,0)()0(tTlXtTX由0)(tT， 得0)(,0)0(lXX于是固有值问题为0)(, 0)0(, 0)()(lXXxxX解之得一系列固有值,2,1,0,)(2nlnn相应的固有函数为xlnxXncos)(再解方程0)()()(2tTlantT，通解为tlanDtlanCtTnnnsincos)(利用解的叠加原理，可得满足方程和边界条件的级数形式解1cos)sincos(),(nnnxlnt

19、lanDtlanCtxu12 分由初始条件0|0ttu，得0nD，由得,0 xut1c o snnxlnCx其中llxdxlC0021精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页lnnnnldxlnxlC02,2, 1,1) 1()(2cos1将nnDC ,代入),(txu得定解问题解122coscos1)1(22),(nnxlntlannlltxu五. 解非齐次方程的混合问题xutuutxxuutxxxxt0.00, 0,00,0,00解 先确定固有函数)(xXn. 令)()(),(tTxXtxu代入相应的齐次方程和齐次边

20、界条件得固有值问题0)(, 0)0(0)()(XXxXxX固有函数为, 2, 1,sin)(nnxxXn设解为1sin)(),(nnnxtTtxu其中)(tTn是待定函数 .显然),(txu满足边界条件 . 为确定函数)(tTn,先将方程中的 非齐次项展为固有函数级数1sin)(nnnxtfx其中nnxdxxtfnn2)1(sin2)(10再将（1）,(2)代入方程得121( 1)2( )( )sin0nnnnT tn T tnxn比较系数 ,有,2, 1,2)1()()(12nntTntTnnn由初始条件得0sin)0(1nnnxT所以(0)0nT精选学习资料 - - - - - - - -

21、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页, 0)0(2) 1()()(12nnnnTntTntT得)1 (2)1()(231tnnnentT将)(tTn代入级数 (1)，得定解问题的解 . nxentxuntnnsin)1 ()1(2),(1312六. 用积分变换法解无界杆热传导问题).(0,02xutxuautxxt本题所用公式：taxtaetaeF22224121解 对 x作傅氏变换，记),(tuF),(txu)(F)(x对方程和初始条件关于x 取傅氏变换，有220( )tduaudtu解常微分方程的初值问题，得taetu22)(),(再对),(tu进行傅氏

22、逆变换得),(txuF)(221tae精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页taxetax22421)(detatax224)()(21一、填空题1.说明物理现象初始状态的条件叫（初始条件） ，说明边界上的约束情况的条件叫（边值条件） ，二者统称为（定解条件 . ）. 2.三维 热传导 齐次方程的一般形式是：（） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为（） . 4.边界条件funuS)(是第（三）类边界条件，其中S为边界 . 5.设函数),(txu的傅立叶变换式为),(tU，则方程22222xuatu的傅立叶

23、变换为 （UadtUd2222） . 二、试用分离变量法求以下定解问题1.30 ,0,3,000,30,200322222, 0 xtuxxtxxututtxuuu解 令)()(),(tTxXtxu，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()(2 tTatT，0)()( xXxX，由边界条件得到0)3()0(XX，对的情况讨论，只有当0时才有非零解，令2，得到22223n为特征值，特征函 数3si n)(nBxXnn， 再 解)(tT， 得 到32si n32cos)(;tnDtnCtTnnn， 于 是,3si n)32si n32c o s(),(1xntnDtnCtxunnn再由初始条件得到

24、0,)1(183sin332130nnnDnxdxnxC，所以原定解问题的解为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页,3sin)32cos)1(18(),(11xntnntxunn2.xtxxutuuuutxx2, 0, 00, 40,040223 解 令)()(),(tTxXtxu，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()(tTtT，0)()( xXxX，由边界条件得到0)4()0(XX，对的情况讨论，只有当0时才有非零解，令2，得到22224n为特征值，特征函数4sin)(nBxXnn，再解)(tT，得到16;2

25、2)(tnnneCtT，于是,4sin(),(16122xneCtxutnnn再由初始条件得到140) 1(164sin242nnnxdxnxC，所以原定解问题的解为,4sin) 1(16),(161122xnentxutnnn3/. 20, 0, 8, 00,20,162002022222xtutxxututtxxuuu解 由于边界条件和自由项均与t 无关，令)(),(),(xwtxvtxu， (否则不能这样哟)代入精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。因此212 22222)

26、(16)(416)(4cxcxxwxwxwxvtv，再由边界条件有8)2(,0)0(ww， 于 是0,821cc，xxxw82)(2. 再 求 定 解 问 题20,0),(,000, 20,200322222, 0 xtvxwxtxxvtvttxvvv用分离变量法求以上定解问题的解为,2sincos)1)1(32) 1(16(),(331xntnnntxvnnn故,2sincos)1)1(32) 1(16(28),(3312xntnnnxxtxunnn三 、 用 达 朗 贝 尔 公 式 求 解 下 列 一 维 波 动 方 程 的 初 值 问 题 （ 10分 ）0,2sin0,cos002222

27、2tttuxutxxxuatu解 令)(),(),(xwtxvtxu， 代 入原 方 程 中 ， 将 方 程 齐 次 化 ，因 此xaxwxxwaxxwxvatvc o s1)(0c o s)(c o s)(2 2 22222，再求定解问题,0),(cos12sin0,02022222tttvxxwaxtxvatvv由达朗贝尔公式得到以上问精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页题 的 解 为atxaatxatxaatxataaatxtxvcoscos1cossin0)cos(1)(2sin)cos(1)(2sin21),(222故.cos1coscos1cossin),(22xaatxaatxtxu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页