2022年南航矩阵论试卷及答案 .pdf

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1、南京航空航天大学2011级硕士研究生共 5 页第 1 页2011 2012学年第 1 学期 矩阵论 课程考试 A 卷考试日期： 2012 年 1 月 9 日，课程编号： A000003 ，命题教师：阅卷教师：学院专业学号姓名成绩一（20分）设3615125125A。（1） 求 A的特征多项式和 A的全部特征值；（2） 求 A的行列式因子，不变因子，初等因子和最小多项式；（3） 写出 A的 Jordan 标准形J。（1）3IA，3A的特征值1231,0；3（2）A的行列式因子31,；3A的不变因子21,；3A的初等因子2,；2A的最小多项式2;1（3）A的 Jordan 标准形010000000

2、。5名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 共 5 页第 2 页二（20分）（ 1）设211203A，求FAAAA,21；（2）设nmijCaA)(，证明：（i）对 m 阶酉矩阵 U 和 n 阶酉矩阵 V ，有FFUAVA；（ii）若()rankAr，r,21为 A的全部正奇异值， 则22111rmnkijkija。（1）,61A2140,05HAA214A;43A;219FA.2(2)(i) 11221111222()

3、()()()().HHHHFHHHHFUAVtrUAVUAVtr VA U UAVtr VA AVtr VA AVtr A AA5(ii) 因为( )rank Ar，则由奇异值分解定理知，存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得000HUAV，其中12(,)rdiag，从而222221110|00rmnHiijFFiijFUAVAa5名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 共 5 页第 3 页三（20分）设110101101

4、211A，304b.（1） 计算 A 的满秩分解；（2）计算广义逆矩阵 A ；（3）用广义逆矩阵判定线性方程组bAx是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解。（1）10110101011011A；8（2）11()()TTTTACCCB BB25410331572155416（3）因为501011511535511AA bb，所以bAx不相容。2bAx的极小最小二乘解为1912171519xA b。2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 -

5、 - - - - - - - - 共 5 页第 4 页四（20 分）（ 1）设210133032A，判断 A是否是正定或半正定矩阵，并说明理由；（2）设 A是 n 阶 Hermite 正定矩阵， B 是 n 阶 Hermite 矩阵，证明： AB相似于实对角矩阵；（3）设 A， B 均为 n 阶 Hermite 矩阵，并且 ABBA，是 AB 的特征值，证明：存在 A的特征值和 B 的特征值，使得。（1）因为A的顺序主子式12320,50,80，所以A不是正定的。4因为A有一个主子式380或333032，所以A也不是半正定的。4（2）因为A是 n 阶 Hermite 正定矩阵，则存在可逆Her

6、mite 矩阵S，使得2AS，从而AB相似于1HSABSSBSS BS。3又因为B是 Hermite 矩阵， 则HS BS是 Hermite 矩阵。 由 Hermite 矩阵的谱分解HS BS相似于实对角矩阵，再由相似的传递性知，AB相似于实对角矩阵。3（3）因为A，B均为 n 阶 Hermite 矩阵，并且ABBA， 则存在 n 阶酉矩阵U，使得11(,),(,)HHnnUAUdiagUBUdiag。3从而11(,)HnnUABUdiag，即AB相似于对角矩阵11(,)nndiag。因此，如果是AB的特征值，则存在A的特征值和B的特征值，使得。3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

7、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 共 5 页第 5 页五（20 分）设3 R x表示实数域 R 上次数小于 3 的多项式再添上零多项式构成的线性空间。（1） 确定3 R x的维数，并写出3 R x的一组基；（2） 对20123( ) f xaa xa xR x，在3 R x上定义线性变换 T 如下：2011220( )()()()T f xaaaaxaax，求T 在（1）中所取基下的矩阵表示；（3） 求（2）中线性变换 T 的值域)(TR和核( )Ker T，

8、并确定它们的维数；（4） 在3 R x中定义内积131( , )( ) ( ),( ), ( ) f gf x g x dxf x g xR x求3 R x的一组标准正交基。（1）3dim( )3R x， 23 R x的一组基为21231, xx。3（2） 因为2113()1Tx212()1Tx2323()Txx则T在基123，下的矩阵为110011101。6（3）1231312( )(),(),()(,)R Tspan TTTspan， 1dim()2R T， 1123( )()Ker Tspan， 1dim()1Ker T。 1（4）3 R x的一组标准正交基为112； 1232x； 2233 51()32 2x。 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -