2022年-高中数学必备知识点高中数学集合教案 .pdf
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1、- 1 - 2019-2020年高中数学必备知识点高中数学集合教案1、 集合的概念和性质 . 2、 集合的元素特征 . 3、 有关数的集合 . 教学难、重点1、 集合. 的概念 . 2、 集合. 元素的三个特征 . 教学过程 复习回顾回顾初中代数中涉及“集合”的提法. 一般地说,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集 . 不等式的解集中涉及到“集合”. 新课讲授实例数组 1 ,3,5,7. 到两定点距离的和等于两定点间距离的点. 满足的全体实数3x-2 x+3. 所有直角三角形 . 高一( 3)班全体男同学 . 所有绝对值等于6 的数的集合 . 所有绝
2、对值小于3 的整数的集合 . 中国足球男队的队员 . 参加 xx 年奥运会的中国代表团成员. 参与中国加入 WTO 谈判的中方成员 . 通过以上实例 . 教师指出:1、定义一般地,某些指定对象集在一起就成为一个集合(集). 集合中每个对象叫做这个集合的元素. 上述集合的元素是什么?例的元素为 1,3,5,7. 例的元素为到两定点距离的和等于两定点间距离的点. 例的元素为满足不等式3x-2 x+3 的实数 x. 例的元素为所有直角三角形. 例的元素为高一( 3)班全体男同学 . 例的元素为 -6,6. 例的元素为 -2,-1 ,0,1,2. 例的元素为中国足球男队的队员. 例的元素为参加xx 年
3、奥运会的中国代表团成员. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 23 页 - - - - - - - - - - 2 - 例的元素为参与WTO 谈判的中方成员 . 请同学们举出三个例子,并指出其元素. 一般地来讲,用大括号表示集合. 例1,3,5,7. 例到两定点距离的和等于两定点间距离的点. 例3x -2 x+3 的实解 . 例直角三角形 . 例高一( 3)班全体男同学 . 例 -6,6. 例 -2,-1,0,1,2. 例中国足球男队的队员 . 例参加 xx
4、年奥运会的中国代表团成员. 例参与中国加入 WTO 谈判的中方成员 . 2、集合元素的三个特征问题及解释A=1,3问 3,5 哪个是 A的元素?A=所有素质好的人 能否表示为集合?A=2,2,4表示是否准确?A=太平洋,大西洋 ,B=大西洋,太平洋 是否表示为同一集合?教师指导例3 是集合 A的元素,5 不是集合 A的元素 . 例由于素质好的人标准不可量化,故 A不能表示为集合 . 例的表示不准确,应表示为A=2,4. 例的 A与 B表示同一集合,因其元素相同 . 由此可知,集合元素具有以下三个特征:确定性集合中的元素必须是确定的,也就是说,对于一个给定的集合,其元素的意义是明确的 . 互异性
5、集合中的元素必须是互异的,也就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的 . 无序性集合中的元素是无先后顺序,也就是说,对于一个给定集合,它的任何两个元素都是可以交换的 . 如上例元素与集合的关系有“属于”及“不属于”(也可表示为)两种. 如 A=2,4,8,16 4A8A32A.请同学们考虑: A=2,4,B=1 ,2,2,3 ,2,4,3,5. A与 B的关系如何?虽然 A本身是一个集合 . 但相对 B来讲, A是 B的一个元素 . 故 AB.3、常见数集的专用符号N :非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合)N*或 N+ :正整数集(非负整数集N内排除 0 的集合)名师资
6、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 23 页 - - - - - - - - - - 3 - Z:整数集(全体整数的集合)Q :有理数集(全体有理数的集合)R :实数集(全体实数的集合)请同学们熟记上述符号及其意义. 课堂练习:课本P5 1、(口答)说出下面集合中的元素. 大于 3 小于 11的偶数 其元素为 4,6,8,10 平方等于 1 的数 其元素为 -1,1 15 的正约数 其元素为 1,3,5,15 2、用符号或填空1N0N - 3N0.5N2N1Z0Z
7、- 3Z0.5Z2Z1Q0Q - 3Q0.5Q2Q1R0R - 3R0.5R2R 课时小结:1、 集合的概念中,“某些指定的对象”,可以是任意的具体确定的事物,例如数、式、点、形、物等 . 2、 集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性,要熟练运用之. 高中数学集合部分知识点一集合知识1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 3. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 4. 集合运算:交、并、补 . 5. 主要性质和运算律(1)包含关系:(2)等价关系:(3)集合的运算律:交换律:结合律 : 分配律 :. 0-
8、1 律:求补律: ACUA= ACUA=U CUU= CU=U CUU(CUA)=A 反演律: CU(A B)= (CUA)(CUB)CU(A B)= (CUA)(CUB)6. 有限集的元素个数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 23 页 - - - - - - - - - - 4 - 定义: 有限集 A的元素的个数叫做集合A的基数, 记为 card( A)规定 card( ) =0. 基本公式:(3) card(CUA)= card(U)- card(A)
9、(4)设有限集合 A, card(A)=n,则A 的子集个数为;A 的真子集个数为;A 的非空子集个数为;A 的非空真子集个数为 . (5)设有限集合 A、B、C, card(A)=n ,card(B)=m,m0(0”, 则找“线”在x 轴上方的区间;若不等式是“ b解的讨论;一元二次不等式ax2+box0(a0)解的讨论 . 2. 分式不等式的解法(1)标准化:移项通分化为 0( 或 0) 在上单调递减,在上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是 x=1. 或者,我说在上,也应该马上可以想到m ,n 实际上就是方程的 2 个根5、熟悉命题的几种形式、( )( )( ).可以判断真假的语句叫做命
10、题,逻辑连接词有“或”,“且”和“非”若为真,当且仅当、 均为真pqpq若为真,当且仅当、 至少有一个为真pqpq若为真,当且仅当为假pp命题的四种形式及其相互关系是什么?(互为逆否关系的命题是等价命题。)原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。6、熟悉充要条件的性质(高考经常考)满足条件,满足条件,若;则是的充分非必要条件;若;则是的必要非充分条件;若;则是的充要条件;若;则是的既非充分又非必要条件; 7. 对映射的概念了解吗?映射f :AB,是否注意到 A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)注意映射个数的求法
11、。如集合A中有 m个元素,集合 B中有 n 个元素,则从 A到 B的映射个数有 nm个。如:若,;问:到的映射有个,到的映射有个;到的函数有个,若,则到的一一映射有个。函数的图象与直线交点的个数为个。 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?(定义域、对应法则、值域)相同函数的判断方法:表达式相同;定义域一致 ( 两点必须同时具备 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 23 页 - - - - - - - - - 7 9. 求函数的定义域有哪些常
12、见类型?例:函数的定义域是yxxx432lg(答:,)022334函数定义域求法:分式中的分母不为零;偶次方根下的数(或式)大于或等于零;指数式的底数大于零且不等于一;对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。正切函数kkxRx,2,且余切函数反三角函数的定义域函数 yarcsinx的定义域是 1, 1 ,值域是,函数 yarccosx 的定义域是 1, 1 ,值域是0, ,函数 yarctgx 的定义域是 R ,值域是 . ,函数 yarcctgx的定义域是 R ,值域是(0, ) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数
13、的定义域。10. 如何求复合函数的定义域?如:函数的定义域是,则函数的定f xabbaF(xf xfx( )( )()0义域是 _ 。复合函数定义域的求法:已知的定义域为,求的定义域,可由解出x 的范围,即为的定义域。例若函数的定义域为,则的定义域为。分析:由函数的定义域为可知:;所以中有。解:依题意知:解之,得的定义域为11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。例 求函数 y=的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y=-2x+5,x-1 ,2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但
14、这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 23 页 - - - - - - - - - 8.112.22222222ba y型:直接用不等式性质k+xbxb. y型, 先化简,再用均值不等式xmxnx1例: y1+xx+xxmxnc y型 通常用判别式xmxnxmxnd. y型xn法一:用判别式法二:用换元法,把分母替换掉xx1 (x+1) (x+1) +1 1
15、例: y(x+1)1211x1x1x14、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数 y=值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数 y=,的值域。222110112sin11|sin| | 1,1sin22sin12sin1(1cos )1cos2sincos114sin()1,sin()41sin()114即又由知解不等式,求出,就是要求的答案xxxeyyeyeyyyyyyyyyxyxyyxyy6、函数单调性法通常和导数结合,是最近高考考
16、的较多的一个内容例求函数 y=(2x10)的值域7、换元法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 23 页 - - - - - - - - - 9 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然
17、,赏心悦目。例:已知点 P(x.y )在圆 x2+y2=1 上,2,(2),2(,20, (1)的取值范围 (2)y-2的取值范围解:(1) 令则是一条过 (-2,0)的直线 . d为圆心到直线的距离 ,R为半径 ) (2)令y-2即也是直线 d dyxxykyk xxR dxbyxbR例求函数 y=+的值域。解:原函数可化简得: y=x-2 +x+8 上式可以看成数轴上点P(x)到定点 A(2),B(-8)间的距离之和。由上图可知:当点P在线段 AB上时,y=x-2 +x+8=AB =10 当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时,y=x-2 +x+8 AB =10 故所求函数的值域为:
18、 10 ,+)例求函数 y=+ 的值域解:原函数可变形为: y=+ 上式可看成 x 轴上的点 P (x,0)到两定点 A (3,2),B (-2 ,-1 )的距离之和,由图可知当点 P为线段与 x 轴的交点时,y=AB = =,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 23 页 - - - - - - - - - 10 故所求函数的值域为 ,+)。例求函数 y= - 的值域解:将函数变形为: y= - 上式可看成定点A (3,2)到点 P (x,0 )的距离与定点
19、B (-2,1)到点 P (x,0)的距离之差。即: y=AP - BP 由图可知: (1)当点 P在 x 轴上且不是直线 AB与 x 轴的交点时,如点P1,则构成ABP 1,根据三角形两边之差小于第三边,有 AP 1- BP 1 AB = = 即:- y(2)当点 P恰好为直线 AB与 x 轴的交点时,有AP -BP = AB = 。综上所述,可知函数的值域为:(- ,- )。注:求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B两点在 x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B在 x 轴的同侧。9 、不等式法利用基本不等式a+b2,a+b+c3(a,b,c),求函数的最值,其题型特征解析式是和
20、式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例:33()13()32x (3-2x)(0 x1.5)xx+3-2x =xx (3-2x) (应用公式abc时,应注意使3者之和变成常数)abc倒数法有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况例求函数 y=的值域332(0)11113333222x =xx (应用公式a+b+c时,注意使者的乘积变成常数)xxxxxxabc名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10
21、 页,共 23 页 - - - - - - - - - 11 2320121112202222012时,时, =00 xyxxxxyyxxxyy多种方法综合运用总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?切记:做题,特别是做大题时,一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂如:,求fxexf xx1( ).f xexxx( )21210 13. 反函数存在的
22、条件是什么?(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗?(反解 x;互换 x、y;注明定义域)如:求函数的反函数f xxxxx( )1002(答:)fxxxxx1110( )在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题:(xx. 全国理 ) 函数的反函数是( B )Ay=x22x+2(x1) By=x22x+2(x1) C y=x22x (x=1. 排除选项 C,D.现在看值域。原函数至于为 y=1,则反函数定义域为x=1, 答案为 B. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -
23、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页,共 23 页 - - - - - - - - - 12 我题目已经做完了,好像没有动笔(除非你拿来写*书)。思路能不能明白呢?14. 反函数的性质有哪些?反函数性质:1、 反函数的定义域是原函数的值域(可扩展为反函数中的x 对应原函数中的 y)2、 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y 对应原函数中的 x)3、 反函数的图像和原函数关于直线=x 对称(难怪点( x,y )和点(y,x)关于直线y=x 对称互为反函数的图象关于直线yx 对称;保存了原来函数的单调性、奇函数性;设的定义域为,值域为,则yf(x)ACaAbC
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