2022年指数对数及幂函数知识点小结及习题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载指数函数、对数函数及幂函数 .指数与指数函数1.指数运算法则：（1）rsrsa aa； （2）srrsaa；（3）rrraba b ；（4）mnmnaa；（5）1mnnmaa（6）,|,nna naan奇偶2. 指数函数：【基础过关】类型一：指数运算的计算题此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便指数函数0a1 图象表达式xya定义域R值域(0,)过定点(0,1)单调性单调递减单调递增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 1

2、2 页学习必备欢迎下载1、52 6的平方根是 _ 2、 已知2na，16mna，则m的值为( ) A3 B4 C3a D6a3、 化简221()2babaabbba的结果是( ) A、aab B、aba C 、baaD、2bbaa4、已知0.001a，求：41333223338(12)24aa bbaaabb=_ 5、已知13xx，求 （1）1122xx=_ （2）3322xx=_ 6、若2 2yyxx，其中1,0 xy，则yyxx_ 类型二：指数函数的定义域、表达式指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数的图像及性质函数)(xfay的定义域与)(xf的

3、定义域相同1、若集合 A=113xx y,B=21,x sxAB则_ 2、如果函数( )yf x的定义域是1,2, 那么函数1(2)xyf的定义域是 _ 3、下列函数式中，满足f(x+1)=12f(x) 的是( ) A、112xB、14xC、2xD、2x4、若6234411 2aaa，则实数a的取值范围是( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载A、2aB、12aC、12aD、任意实数类型三：复合函数1 形如02cabaxx的方程，换元法求解2 函数)(xfay的定义域与)(xf的定义域相同3 先确

4、定)(xf的值域，再根据指数函数的值域，单调性，可确定)( xfay的值域涉及复合函数的单调性问题，应弄清函数是由那些基本函数符合得到的，求出复合函数的定义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间，注意“同增异减”（1）外函数是二次函数，内函数是指数函数1、求函数2 391xxy的值域2、当10 x时，函数223 4xxy的最大值是 _，最小值是 _ 3、已知x-3,2，求 f(x)=11142xx的最大值是 _，最小值是 _ （2）外函数是指数函数，内函数是二次函数1、函数 y=(13)2281xx (-31x) 的值域是 _，单调递增区间是_ 2、已知函数y=(13)22

5、5xx，求其单调区间_及值域 _ 类型四：奇偶性的判定利用奇偶性的定义，注意计算过程中将根式化为分式指数幂后通分1、函数xxaaxf2)1()(是( ) A 、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数2、已知函数f(x)=1(1)1xxaaa(1) 判断函数的奇偶性；(2) 求该函数的值域；(3) 证明 f(x) 是 R上的增函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载3、设 aR,f(x)= 22()21xxaaxR，试确定a 的值，使f(x) 为奇函数类型五：分类讨论思想在指数函数中的应用

6、1、已知0a，且1a，解不等式265xxaa2、已知 f(x)=2231xxa,g(x)=225xxa (a 0 且 a1), 确定 x 的取值范围 ,1x使得 f(x)g(x). .对数与对数函数1、对数的运算：1、互化：NbNaablog2、恒等：NaNalog3、换底：abbccalogloglog推论 1 abbalog1log推论 2 logloglogababcc推论 3 loglogmnaanbbm)0(m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载4、NMMNaaalogloglogl o g

7、l o gl o gaaaMMNN5、MnManaloglog2对数函数：【基础过关】类型一：对数的基本运算此类习题应牢记对数函数的基本运算法则，注意1 常用对数：将以10 为底的对数叫常用对数，记为Nlg2 自然对数：以e=2.71828 为底的对数叫自然对数，记为Nln3 零和负数没有对数，且1log,01logaaa1、(1)、9lg2lg008. 0lg3181.0lg212(2)、20lg5lg2lg2 (3)、)2log2(log)5log5(log3log3log25593842、已知2logxa,3log xb,6log xc求xabclog的值对数函数0a1 图象表达式log

8、ayx定义域(0,)值域R过定点(1，0) 单调性单调递减单调递增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载类型二：指数，对数的混合运算指数函数)1,0(aaayx与对数函数)1,0(logaaxya的图象与性质x=1x=1y=1y=1在(0,+)内是减函数在(0,+)内是增函数在(- ,+)内是减函数在(- ,+)内是增函数0 x1 时,y1时， y0.0 x0;x1时， y0.x0 时,0y0 时， y1.x1;x0 时， 0y10a10a1ay=logaxy=ax函数11OOOO1axy1axy1ax

9、y1axy1、若log 2,log3,aamn则32mna_ 2、若1a且 01b，则不等式log (3)1bxa的解集为 _ 3、已知35,abA且112ab，则 A 的值是 _ 4、已知32a，那么33log 82log6用 a表示是 ( )A、2aB、52aC、23(1)aaD、23aa【能力提升】类型三：对数函数的定义域与解析式注意复合函数的定义域的求法，形如)(xgfy的复合函数可分解为基本初等函数)(),(xguufy，分别确定这两个函数的定义域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载1、函

10、数121log (2)yx的定义域是 _ 2、已知235(log ()22xfx，则(0)f=_ 3、已知62()logfxx，那么(8)f=_ 类型四：对数函数的值域注意复合函数的值域的求法，形如)(xgfy的复合函数可分解为基本初等函数)(),(xguufy，分别确定这两个函数的定义域和值域。1. 函数212log (617)yxx的值域是 _ 2. 设1a，函数( )logaf xx在区间 ,2 aa上的最大值与最小值之差为12，则a=_ 3. 函数( )log (1)xaf xax在0,1上最大值和最小值之和为a，则a的值为_ 类型五：对数函数的单调性、奇偶性1、函数lgyx的单调递增

11、区间是_ ; 函数212log (32)yxx的递增区间是 _ 2、下列各函数中在（0，1）上为增函数的是( ) A. 12log (1)yxB. 22log1yxC. 31logyxD.213log (43)yxx3、函数2lg11yx的图像关于( ) A、x轴对称B、y轴对称C、原点对称D、直线yx对称4、函数2( )lg1f xxx是（奇、偶）函数。5、已知函数1010( )1010 xxxxf x，判断( )f x的奇偶性和单调性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载类型六：对数中的不等关系比

12、较同底数的两个对数值的大小；比较两个同真数的对数值的大小1、设0.724log0.8log 0.9log 5abc，则, ,a b c的大小关系是_ 2、设2lg ,(lg) ,lg,ae bece则, ,a b c的大小关系是_ 3、如果3log15m，那么m的取值范围是 _ 4、如果log 3log 30ab，那么,a b的关系是( ) A. 01abB. 1abC. 01baD. 1ba5、已知2log (1)log (24)0aaxx，则不等式解集为_ 6、若( )logaf xx在2,)上恒有( )1f x，则实数a的取值范围是_ 类型七：其它题型（奇偶性，对数方程，抽象函数）1、设

13、2( )lg()1f xax是奇函数，则使( )0f x的x的取值范围是_ 2、已知集合2log2 ,(, )AxxBa，若AB则实数a的取值范围是( ,)c，其中c= _. 3、若1x满足 2x+2x=5, 2x满足 2x+2)1(log2x=5, 1x+2x( ) A.52B.3 C. 72D.4 幂函数一、幂函数图象的作法：根据幂函数kxy的定义域、奇偶性，先作出其在第一象限的图象，再根据其奇偶性作出其他象限的图形.如果幂函数的解析式为mnxy或mnxy（m、Nn，2m，m、n互质）的形式，先化为mnxy，或mnxy1的形式，再确定函数的定义域、奇偶性、单调性等性质，从而能比较准确地作出

14、幂函数的图象. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载二、幂函数图象的类型：（共有 11 种情况）k0mnk10mnk1mnk奇函数m、n都是奇数y=x-13-11yxoy=x35-11yxoy=x53-11yxo偶函数m是奇数，n是偶数y=x-23-11yxoy=x23-11yxoy=x43-11yxo非奇非偶函数m是偶数，n是奇数y=x-12-11yxoy=x12-11yxoy=x32-11yxo三、幂函数图象特征：（1）当0k时，在第一象限内，函数单调递减，图象为凹的曲线；（2）当0k时，图象是一

15、条不包括点（0，1）的直线；（3）当10k时，在第一象限内，图象单调递增，图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载y=xy=xo(x0)o-11yxo象为凸的曲线；（4）当1k时，图象是一、三象限的角平分线；（5）当1k时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凹的曲线. （6）幂函数图象不经过第四象限；（7）当0k时，幂函数kxy的图象一定经过点（0，0）和点（ 1，1）（8）如果幂函数kxy的图象与坐标轴没有交点，则0k；（9）如果幂函数mnpxy)1(（m、n、p都是正整数，且m、n互质）的图象不经过

16、第三象限，则p可取任意正整数，m、n中一个为奇数，另一个为偶数. 四、幂函数典型问题：1概念问题：【例 1】1已知幂函数，当时为减函数，则幂函数_【变式】当 m 为何值时，幂函数 y=(m2-5m+6)的图象同时通过点 (0，0)和(1，1). 2定义域问题：【例 2】函数05321)2(xxxy的定义域为【变式】 .求函数 y=的定义域 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载3单调性问题：【例 3】已知5353)21()3(aa，求实数a的取值范围 . 【变式 1】讨论函数的单调性 . 【变式 2

17、】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性4图象问题：【例 4】若函数)(322Zmxymm的图象与坐标轴没有交点，且关于y轴对称，求函数)(xf的解析式 . 【例 5】利用函数的图象确定不等式的解集：（1）不等式)1(32xx的解集为（2）不等式314xx的解集为说明： 先在同一坐标系中作出不等式两边函数的图象，并确定交点的坐标，从而能较容易地写出不等式的解集5函数图象的平移、对称、翻折变换问题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载说明： 很多较复杂函数的图象，都是通过将下列函数的图象经过平移、对称、翻折

18、变换而得到xy1；xy1；)1,0(kkxky；)1, 0(kkxky【例 6】作出下列函数的大致图象，并结合图象写出函数的值域、奇偶性和单调区间. （1）12xxy（2）xxy21（3）14xy，)5,2)1 ,(x（4）112xxy，),0 x（5）xy11（6）31)2(xy【例 7】已知幂函数)(xfy是偶函数，且在区间),0(上单调递增，若)12()1(22aafaf，则实数a的取值范围是 . 6. 比较幂函数值大小【例 8】比较，的大小 . 【例 9】已知幂函数，在第一象限内的图象分别是C1，C2，C3，C4，(如图)，则 n1，n2，n3，n4，0，1 的大小关系 ?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页