2022年2022年函数及其表示知识点与题型归纳 .pdf

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1、高考明方向1. 了解构成 函数的要素 ，会求一些简单函数的定义域和值域 ，了解 映射的概念 2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 (如图象法、列表法、解析法 ) 表示函数 3. 了解简单的 分段函数 ，并能简单地应用 . 备考知考情从近三年的高考试题看，函数的表示方法多以选择题、填空题形式出现 ，高考命题仍将 集中在理解函数的概念 ，会求一些简单函数的定义域， 而且经常 与其他知识结合考查，如解不等式、能够利用解析式求函数值，并且多以分段函数形式给出 . 函数的图象 主要体现在选择与填空题中用数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题中 给出图象求解析式一、知识梳理 名师一号 P1

2、0知识点一函数的基本概念1、函数的概念：设A、B 是非空的数集 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为集合 A 到集合 B 的一个函数，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - 记作 yf(x)，xA.其中， x 叫做自变量， x 的取值范围A 叫做函数的定义域 ，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值， 函数值的集合 f(

3、x)|xA叫做函数的值域 显然，值域是集合B 的子集从映射的角度看，函数是由一个非空数集到另一个 非空数集的映射温馨提示：(1)A、B 都是非空数集 ，因此定义域 (或值域 )为空集的函数不存在(2)函数关系的判断要 注意“ 每一个 ” 、“ 都有” 、“ 唯一 ” 等关键词(3)注意 f(x)与 f(a)的区别 ，f(a)表示当 xa 时的函数值，是一个常量；而f(x)是关于 x 的函数，一般情况下是一个变量， f(a)是 f(x)的一个特殊值2、函数的构成要素： 定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的 定义域 相同，并且对应关系 完全一致，我们就称这

4、两个函数 相等3、函数的表示法有：解析法 、 列表法、 图像法知识点二映射映射的概念：设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的 任何 一个元素，在集合B 中都有 唯一确定 的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合 A 到集合 B 的映射，记作 f：AB. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - （补充） 象和原象：给定一个集合 A 到 B 的映射，且 aA，bB，如果元素 a 和元素 b 对

5、应，那么我们把元素b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b的原象注意： 名师一号 P11 问题探究问题 2 函数与映射的区别与联系(1) 函数是特殊的映射 ，其特殊性在于，集合A 与集合 B只能是非空数集， 即函数是非空数集A到非空数集 B的映射；(2) 映射不一定是函数 ，从 A到 B的一个映射，若 A，B不是数集，则这个映射便不是函数知识点三分段函数若函数在其定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数 分段函数 虽然由几部分组成， 但它表示的是一个函数 （补充） 复合函数 yfg x二、例题分析：（一)映射与函数的概念例 1 （1）(补充)

6、 （1）AR，|0By y，:|fxyx；（2）*|2,Ax xxN，|0,By yyN，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - 2:22fxyxx；（3）|0Ax x，|By yR，:fxyx 上述三个对应是A到B的映射答案： （2）注意：( 补充)判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有像”且“像唯一” ；即要 注意：允许 一对一 、多对一 ，但不允许一对多；B中元素可有剩余（即允许B中有的元素没有原象）

7、. 例 1 （2）( 补充 ) 点,a b在映射f的作用下的象是,ab ab，则在映射f的作用下点3,1的原象是答案：2, 1例 2. 名师一号 P11 高频考点例 1 有以下判断：f(x)|x|x与 g(x)1xx表示同一函数；函数 yf(x)的图象与直线 x1的交点最多有 1个；f(x)x22x1 与 g(t)t22t1 是同一函数；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - 若 f(x)|x1|x|，则 f f120

8、. 其中正确判断的序号是 _答案 : . 解析： 对于，由于函数f(x)|x|x的定义域为x|xR 且 x0 ，而函数 g(x)1x，x的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于，若x1不是 yf(x)定义域内的值， 则直线 x1 与 yf(x)的图象没有交点，如果x1 是 yf(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x1 与 yf(x)的图象只有一个交点，即yf(x)的图象与直线x1 最多有一个交点；对于，f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应关系均相同， 所以 f(x)和 g(t)表示同一函数；对于，由于f12121 120，所以 f f12f(0)1. 综上可知，正确的判断是. 注意：

9、名师一号 P11 高频考点例 1 规律方法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数，值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的( 判断两个函数的对应关系是否相同， 只要看对于函数定义域中任意一个相同的自变量的值， 按照这两个对应关系算出的函数值是否相同 ) 简而言之1、函数是一类特殊的映射，是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。:

10、fxy是一对一 或多对一2、函数的三要素 （定义域、值域、对应法则）可简化为 两要素（ 定义域、对应法则 ）练习： 名师一号 P10 对点自测 1- 图像练习：温故知新P11 第 9 题解析式为2yx，值域为1,4的函数共有个。答案： 9 （二）求函数解析式例 1. （1） 名师一号 P11 高频考点例 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - (1)已知 f x1xx21x2，求 f(x)的解析式解析： (1)由于

11、f x1xx21x2 x1x22，所以 f(x)x22，x2 或 x 2，故 f(x)的解析式是 f(x)x22(x2 或 x 2)注意： 名师一号 P11 高频考点例 2 规律方法求函数解析式常用以下解法：(1)配凑法：由已知条件 f(g(x)F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式例 1. （2） 名师一号 P11 高频考点例 2(2)已知 f2x1 lgx，求 f(x)；解析： (2)令 t2x1，则 x2t1，f(t)lg2t1，即 f(x)lg2x1. 注意： 名师一号 P11 高频考点例 2 规律方法名师资料总结 -

12、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - 求函数解析式常用以下解法：(3)换元法： 已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要 注意新元的取值范围 例 1. （3） 名师一号 P11 高频考点例 2(3)已知 f(x)是二次函数且 f(0)2，f(x1)f(x)x1，求 f(x)；解析： (3)设 f(x)ax2bxc(a0) ，由 f(0)2，得 c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即 2axabx

13、1. 2a1，ab1，即a12，b32.f(x)12x232x2. 注意： 名师一号 P11 高频考点例 2 规律方法求函数解析式常用以下解法：(2)待定系数法： 若已知函数的类型 (如一次函数、 二次函数等 )可用待定系数法（补充）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - （1） 一次函数解析式：( )0f xkxb k（2） 二次函数解析式： 一般式：2()0fxaxbxc a 顶点式：2()0fxa xhk a(

14、顶点为,h k) 两根式：12( )0f xa xxxxa（12xx、为相应方程( )0f x的两根）例 1. （4） 名师一号 P11 高频考点例 2(4)已知 f(x)2f1xx(x0) ，求 f(x)解析： (4)f(x)2f1xx， f1x2f(x)1x. 解方程组fx2f1xx，f1x2fx1x，得 f(x)23xx3(x0) 注意： 名师一号 P11 高频考点例 2 规律方法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 22 页 - - - - - - -

15、- - 求函数解析式常用以下解法：(4)方程组法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)例 1. （5） （补充）已知函数 f(x)满足 f(0)1，f(ab)f(a)b(2ab1)(a、bR)，求 f(x)解析：解法 1：令 a0，则 f(b)f(0)b(b1) 1b(b1)b2b1，再令 bx 得，f(x)x2x1. 解法 2：令 ba，则 1f(0)f(a)a(2aa1) f(a)a(a1)， f(a)a(a1)1a2a1，即 f(x)x2x1. 注意： （补充） 求函数解析式常用以下解法：名师资料总结

16、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - 赋值法此类解法的依据是： 如果一个函数关系式中的变量对某个范围的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化，具体化，从而获解。（三) 分段函数、复合函数例 1. （1） 名师一号 P11 对点自测 4 已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出x 123 f(x)131 x 123 g(x)321 则 fg(1)的值为 _ ；满足

17、fg(x)gf(x)的 x 的值是 _ 解析fg(1)f(3)1. x 123 fg(x)131 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - gf(x)313 故 fg(x)gf(x)的解为 x2. 例 1. （2） 名师一号 P11 对点自测 6 (2014 浙江卷 )设函数 f(x)x2x，x0，x2，x0.若 f(f(a) 2，则实数 a 的取值范围是 _ 解 析由 题 意 得fa0，f2afa2 ，或fa0 ，f

18、2a2 ，解得 f(a) 2. 由a0，cos x，x0 ，则下列结论正确的是 () Af(x)是偶函数Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数Df(x)的值域为 1，)A 项， f 2cos20， 而 f2221244，显然 f 2 f2，所以函数 f(x)不是偶函数，排除A. B 项，当 x0 时，函数 f(x)单调递增，而f(x)cos x在区间 (2 ，)上单调递减，故函数f(x)不是增函数，排除 B. C 项，当 x0 时，f(x)x21，对任意的非零实数T，f(xT)f(x)均不成立，故该函数不是周期函数，排除C. D 项，当 x0 时， f(x)x211；当 x0 时，f(x)co

19、s x1，1故函数 f(x)的值域为 1,1(1，) ，即1，) ，所以该项正确，选D. 注意： 名师一号 P12 高频考点例 3 规律方法(1)处理分段函数问题时，首先要明确自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应关系，代入求解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - (2)如果分段函数中 每一段上的解析式都是我们常见的基本初等函数，通常可以将这个分段函数的图象画出来，然后结合图象解决一些函数单调性问题、函数零点

20、个数的判断问题、参数取值范围的讨论等问题例 3名师一号 P12 特色专题典例设 x0 时，f(x)2；x0 的不同区间，讨论x1 与x2 的符号可求出 g(x)的表达式当 0 x1 时，x10，x20，g(x)3121；当 1 x2 时，x10 ，x20，x20 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - g(x)6222. 故 g(x)1x，52x，x其图象如下图注意： 分段函数意义理解不清致误【易错分析】对函数的对

21、应法则不理解， 误认为 f(x1)f(x2)2，虽然都是 x0 但已知函数 yf(x)，x 是作为对应法则f 下的自变量，而函数yf(x1)是复合函数，对应法则f 不是直接作用于 x，而是作用于 x1 只有 x1时，x10 ，此时 f(x1)2 才成立不理解分段函数的概念，不会对x1，x2 的符号进名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - 行讨论或讨论时易遗漏1 x0 也是容易忽视的【名师点评】对于分段函数问题是高考的

22、热点，在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件课后作业计时双基练 P213 基础 1-11、培优 1-4 课本 P11-12 变式思考 1、2、3；对应训练 1、2、3 预习 第二章第二节函数的定义域与值域补充：练习 1：已知2(21)465fxxx，求( )f x。答案：2( )59f xxx练习 2：已知 f(1cos x)sin2x，求 f(x)解析： 令 t1cos x，则 cos x1t sin2x1cos2x1(1t)2t22t名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

23、- 第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - f(x)x22x，但 t1cos x 0,2 f(x)x22xx 0,2练习 3：设二次函数 f(x)满足 f(x2)f(2x)，且 f(x)0的两实根平方和为10，图象过点 (0,3)，求 f(x)的解析式解析： 设 f(x)ax2bxc(a0) 由 f(x2)f(2x)知，该函数的图象关于直线x2 对称b2a2，即 b4a 又图象过点 (0,3)， c3 由方程 f(x)0 的两实根平方和为10，得(ba)22ca10，即 b22ac10a2 由、得a1，b4，c3(a0 应舍去 ) f(x)x24x3 练习 4：已知函数

24、 f(x)满足条件： f(x)2f(1x)x，则 f(x)_. 解：用1x代换条件方程中的x 得，f(1x)2f(x)1x，把它与原条件式联立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - 即得f x 2f1xx，f1x2f x 1x.2得f(x)2x23x. 练习 5：已知( )f x是奇函数，( )g x是偶函数，且1( )( )1f xg xx，求( )f x的解析式。答案：2( )1xf xx练习 6： （05山东）

25、函数21sin(), 10,( ),0.xxxf xex若12ffa则a的所有可能值为（）A.1 B.22 C.21,2 D.21,2答案： C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - 注意： （补充） 转化法（后置至奇偶性）已知 f(x)在某个区间上的表达式及f(x)具有某种性质(如奇偶性、对称性等 )，求 f(x)在另一个区间上的表达式，常用转化法求解例 6. (2010广东文 )已知函数 f(x)对任意实数x

26、均有 f(x)kf(x2)，其中常数 k 为负数，且 f(x)在区间 0,2上有表达式 f(x)x(x2)(1)求 f(1)，f(2.5)的值；(2)写出 f(x)在3,3上的表达式，并讨论函数f(x)在3,3上的单调性解析： (1)由 f(1)kf(1)，f(2.5)1kf(12)知需求f(12)和 f(1)，f(1)1，f(12)12(122)34， f(1)k，f(2.5)34k(2) 0 x2 时，f(x)x(x2)，设2x0，则 0 x22，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

27、- - - 第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - f(x)kf(x2)k(x2)x；设3x2，则 1x20， f(x)kf(x2)k2(x4)(x2)；设 2x3，则 0 x21， f(x)kf(x2)， f(x2)kf(x)， f(x)1kf(x2)1k(x2)(x4) 综上可知， f(x)k2x2 x43x2kx x22x0 x x20 x21kx2 x42x3 k0，因 x0，解得 0 xl2. 即所求函数为 y 22x2lx 其定义域是x0 xl2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

28、- 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - 注意： （补充） 应用题求函数解析式常要根据实际问题的意义来列函数关系，确定函数的定义域点评：求由实际问题确定函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外， 还要考虑使实际问题有意义如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是xR，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量 x 表示的，这就是实际问题对变量的制约名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - -