2022年2022年利用向量法求空间角经典教案 .pdf
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1、学习好资料欢迎下载利用空间向量求空间角目标: 会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法;一、复习回顾向量的有关知识:(1)两向量数量积的定义:bababa,cos|(2)两向量夹角公式:|,cosbababa二、知识讲解与典例分析知识点 1:两直线所成的角(范围:2,0()( 1)定义:过空间任意一点o 分别作异面直线a 与 b 的平行线a 与 b ,那么直线a 与 b所成的锐角或直角,叫做异面直线a 与 b 所成的角 . ( 2)用向量法求异面直线所成角,设两异面直线a、b 的方向向量分别为a和b,问题 1: 当a与b的夹角不大于90 时,异面直线 a、b 所成的角与a和
2、b的夹角的关系?问题2:a与b的夹角大于90时,异面直线a、b 所成的角与a和b的夹角的关系?结论:异面直线a、b 所成的角的余弦值为|,cos|cosnmnmnm例 1 如图,正三棱柱111CBAABC的底面边长为a,侧棱长为a2,求1AC和1CB所成的角 . 解法步骤: 1.写出异面直线的方向向量的坐标。2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解: 如图建立空间直角坐标系xyzA, 则)2,0(),0,21,23(),2,21,23(),0 ,0,0(11aaBaaCaaaCA)2,21,23(1aaaAC,)2,21,23(1aaaCB即21323|,cos22111111aaCBACC
3、BACCBAC1AC和1CB所成的角为3总结 :( 1)11,cosBEDF与BEDF11,cos相等吗?(2)空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别?a b O ObaObaba,ba,x y Z AyxCB1AD1B1C名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载x y Z AyxCB1AD1B1C知识点 2、直线与平面所成的角(范围:2, 0)思考:设平面的法向量为n,则BAn,与的关系?据图分析可
4、得:结论:例 2、如图,正三棱柱111CBAABC的底面边长为a,侧棱长为a2,求1AC和BBAA11面所成角的正弦值. 分析: 直线与平面所成的角步骤:1. 求出平面的法向量2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角, (锐角 )其余角为所求角解:如图建立空间直角坐标系xyzA,则),0,0(),2,0 ,0(1aABaAA)2,21,23(1aaaAC设平面BBAA11的法向量为),(zyxn由00002001zyayazABnAAn取1x,)0 ,0 , 1 (n设1AC和BBAA11面所成角为213|23|,cos|sin22111aaNACnACnAC1AC和BBAA11面所
5、成角的正弦值21. 知识点 3:二面角 (范围:, 0)方向向量法:将二面角转化为二面角的两个面 的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角。如图,设二面角l的大小为,其中CDlCDABlAB,. 结论:ABOBAn,2ABOn2,BAnABOn(图 1)(图 2)|,cos|sinABnABnABnD C B A l |,coscosCDABCDABCDAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢
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