2022年同济第六版《高等数学》教案word版-第章重积分 .pdf

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1、第九章重积分教学目的：1. 理解二重积分、 三重积分的概念， 了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。教学重点：1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点：1、利用极坐标计算二重积分；2、利用球坐标计算三重积分；3、物理应用中的引力问题。 9 1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1 曲顶柱体的体

2、积设有一立体它的底是xOy面上的闭区域D 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于 z轴的柱面它的顶是曲面zf(x y) 这里 f(x y)0 且在 D 上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积首先用一组曲线网把D 分成 n 个小区域12n分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体在每个i中任取一点 (ii) 以 f ( ii)为高而底为i的平顶柱体的体积为f (ii) i (i1 2 n ) 这个平顶柱体体积之和iiinifV),(1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

3、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限即iiinifV),(lim10其中是个小区域的直径中的最大值2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D 它在点 (x y)处的面密度为 (x y) 这里 (x y)0 且在 D 上连续现在要计算该薄片的质量M用一组曲线网把D 分成 n 个小区域12n把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量( ii)i各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值iiiniM),(1

4、将分割加细取极限得到平面薄片的质量iiiniM),(lim10其中是个小区域的直径中的最大值定义设 f(x y)是有界闭区域D 上的有界函数将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域12n其中i表示第 i 个小区域也表示它的面积在每个i上任取一点 (i i) 作和iiinif),(1如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(x y)在闭区域D 上的二重积分记作dyxfD),(即iiiniDfdyxf),(lim),(10名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

5、 - - 第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - f(x y)被积函数f(x y)d 被积表达式d 面积元素xy 积分变量D积分区域积分和直角坐标系中的面积元素如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外其余的小闭区域都是矩形闭区域设矩形闭区域i的边长为 xi和 yi则ixiyi因此在直角坐标系中有时也把面积元素d 记作 dxdy 而把二重积分记作dxdyyxfD),(其中 dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素二重积分的存在性当 f(x y)在闭区域D 上连续时积分和的极限是存在的也就是说函数 f(x y)在 D 上的二重积分必定存

6、在我们总假定函数f(x y)在闭区域 D 上连续所以 f(xy)在 D 上的二重积分都是存在的二重积分的几何意义如果 f(x y)0 被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标所以二重积分的几何意义就是柱体的体积如果 f(x y)是负的柱体就在 xOy 面的下方二重积分的绝对值仍等于柱体的体积但二重积分的值是负的二二重积分的性质性质 1 设 c1、c2为常数则dyxgcdyxfcdyxgcyxfcDDD),(),(),(),(2121性质 2 如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域则在 D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和例如 D 分为两个闭区域D1与

7、 D2则dyxfdyxfdyxfDDD21),(),(),(性质 3 DDdd1(为 D 的面积 ) 性质 4 如果在 D 上 f(x y)g(xy) 则有不等式dyxgdyxfDD),(),(特殊地有dyxfdyxfDD| ),(|),(|性质 5 设 M、m 分别是 f(x y)在闭区域 D 上的最大值和最小值为 D 的面积则有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - MdyxfmD),(性质 6(二重积分的中值定理

8、) 设函数 f(x y)在闭区域D 上连续为 D 的面积则在 D 上至少存在一点( )使得),(),(fdyxfD 9 2 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分X 型区域D1(x)y2(x) axbY 型区域D1(x)y2(x) cyd混合型区域设 f(x y)0 D(x y)| 1(x)y2(x) axb 此时二重积分dyxfD),(在几何上表示以曲面zf(x y)为顶以区域 D为底的曲顶柱体的体积对于 x0a b 曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间1(x0) 2(x0)为底、以曲线zf(x0y)为曲边的曲边梯形所以这截面的面积为)()(000201),()(xxdyyxfxA根据平

9、行截面面积为已知的立体体积的方法得曲顶柱体体积为badxxAV)(dxdyyxfbaxx),()()(21即VdxdyyxfdyxfbaxxD),(),()()(21可记为baxxDdyyxfdxdyxf)()(21),(),(类似地如果区域D 为 Y 型区域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - D1(x)y2(x) cyd则有dcyyDdxyxfdydyxf)()(21),(),(例 1 计算dxyD其中 D 是由

10、直线 y1、x2 及 yx 所围成的闭区域解 画出区域D方法一可把 D 看成是 X型区域1x2 1yx于是211xDdxxydydxy2132112)(212dxxxdxyxx8924212124xx注 积分还可以写成211211xxDydyxdxxydydxdxy解法 2 也可把 D 看成是 Y型区域1y2 yx2 于是212yDdyxydxdxy2132122)22(2dyyydyxyy8982142yy例 2 计算dyxyD221其中 D 是由直线 y1、x1 及 yx 所围成的闭区域解画出区域D 可把 D 看成是 X型区域1x1 xy1 于是122112211xDdyyxydxdyxy

11、1131112322)1|(|31)1(31dxxdxyxx21) 1(32103dxx也可 D 看成是 Y型区域： 1y1 1xy于是111222211yDdxyxydydyxy例 3 计算dxyD其中 D 是由直线 yx2 及抛物线 y2x 所围成的闭区域解 积分区域可以表示为DD1+D2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - 其中xyxxD, 10:1xyxD2, 41:2于是41210 xxxxDxydydxx

12、ydydxdxy积分区域也可以表示为D 1y2 y2xy2 于是2122yyDxydxdydxy212222dyyxyy2152)2(21dyyyy8556234421216234yyyy讨论积分次序的选择例 4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积解设这两个圆柱面的方程分别为x2y2 2及 x2z2 2利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限部分的体积V1然后再乘以8 就行了第一卦限部分是以D(xy)| 0 y22xR, 0 x为底以22xRz顶的曲顶柱体于是dxRVD228RxRdyxRdx0022228RxRdxyxR00222283022316)(8RdxxRR二利

13、用极坐标计算二重积分有些二重积分积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便且被积函数用极坐标变量、表达比较简单这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分dyxfD),(按二重积分的定义iniiiDfdyxf10),(lim),(下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式以从极点O 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D 分为 n名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - 个小闭区域小闭区域的面积为

14、iiiiii2221)(21iiii)2(21iiiii2)(iii其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值在i内取点),(ii设其直角坐标为(ii) 则有iiicosiiisin于是iiniiiiiiiniiiff1010)sin,cos(lim),(lim即ddfdyxfDD)sin,cos(),(若积分区域D可表示为1() 2() 则dfdddfD)()(21)sin,cos()sin,cos(讨论 如何确定积分限dfdddfD)(0)sin,cos()sin,cos(dfdddfD)(020)sin,cos()sin,cos(例 5 计算Dyxdxdye22其中 D 是由中心在原点、 半径为

15、 a 的圆周所围成的闭区域解在极坐标系中闭区域 D 可表示为0a0 2 于是DDyxddedxdye222deddeaa0202002122)1 ()1 (212220aaede名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - 注 此处积分Dyxdxdye22也常写成22222ayxyxdxdye利用)1 (222222aayxyxedxdye计算广义积分dxex20设 D1(x y)| x2y2R2x0 y0 D2(xy)|

16、x2y22R2x0 y0S(x y)|0 xR 0yR 显然 D1SD2由于022yxe从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式22222122DyxSyxDyxdxdyedxdyedxdye因为2000)(22222RxRyRxSyxdxedyedxedxdye又应用上面已得的结果有)1 (42122RDyxedxdye)1 (422222RDyxedxdye于是上面的不等式可写成)1 (4)()1 (4222220RRxRedxee令 R 上式两端趋于同一极限4从而220dxex例 6 求球体 x2y2z24a2被圆柱面 x2y22ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积解由对称性立

17、体体积为第一卦限部分的四倍DdxdyyxaV22244其中 D 为半圆周22xaxy及 x 轴所围成的闭区域在极坐标系中D 可表示为02a cos 20名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - 于是20cos2022224444aDdadddaV)322(332)sin1 (33222032ada 93 三重积分一、三重积分的概念定义设 f(x y z)是空间有界闭区域上的有界函数将任意分成n 个小闭区域v1v2vn其中

18、 vi表示第 i个小闭区域也表示它的体积在每个 vi上任取一点 (i i i) 作乘积 f(iii)vi(i1 2 n)并作和iiiinivf),(1如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(x yz)在闭区域上的三重积分记作dvzyxf),(即iiiinivfdvzyxf),(lim),(10三重积分中的有关术语积分号f(x y z)被积函数f(x y z)dv被积表达式dv 体积元素x y z积分变量积分区域在直角坐标系中如果用平行于坐标面的平面来划分则 vixiyizi因此也把体积元素记为 dv dxdydz 三重积分记作dxdydzzyxfdvzyxf

19、),(),(当函数 f (xy z)在闭区域上连续时极限iiiinivf),(lim10是存在的因此 f(x y z)在上的三重积分是存在的以后也总假定f(x y z)在闭区域上是连续的三重积分的性质与二重积分类似比如名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - dvzyxgcdvzyxfcdvzyxgczyxfc),(),(),(),(2121dvzyxfdvzyxfdvzyxf2121),(),(),(Vdv其中 V 为

20、区域的体积二、三重积分的计算1 利用直角坐标计算三重积分三重积分的计算三重积分也可化为三次积分来计算设空间闭区域可表为z1(xy)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb则ddzzyxfdvzyxfDyxzyxz),(),(),(),(21baxyxyyxzyxzdydzzyxfdx)()(),(),(2121),(bayxzyxzxyxydzzyxfdydx),(),()()(2121),(即bayxzyxzxyxydzzyxfdydxdvzyxf),(),()()(2121),(),(其中 D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域提示设空间闭区域

21、可表为z1(xy)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb计算dvzyxf),(基本思想对于平面区域Dy1(x)yy2(x) axb 内任意一点 (x y) 将 f(x y z)只看作 z的函数在区间 z1(x y) z2(x y)上对 z 积分 得到一个二元函数F(x y) ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF然后计算F(x y)在闭区域D 上的二重积分这就完成了f(x y z)在空间闭区域上的三重积分DyxzyxzDddzzyxfdyxF),(),(),(),(21baxyxyyxzyxzdydzzyxfdx)()(),(),(2121),(名师资料总结 -

22、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - 则ddzzyxfdvzyxfDyxzyxz),(),(),(),(21baxyxyyxzyxzdydzzyxfdx)()(),(),(2121),(bayxzyxzxyxydzzyxfdydx),(),()()(2121),(即bayxzyxzxyxydzzyxfdydxdvzyxf),(),()()(2121),(),(其中 D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的

23、投影区域例 1 计算三重积分dxdydzx其中为三个坐标面及平面x2yz1 所围成的闭区域解 作图区域可表示为 :0z1x2y)1 (210 xy0 x1 于是10210210 xyxxdzdydxdxdydzx10210)21 (xdyyxxdx1032481)2(41dxxxx讨论其它类型区域呢有时我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分设空间闭区域 (x y z)|( x y)Dzc1zc2 其中 Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域则有zDccdxdyzyxfdzdvzyxf),(),(21例 2 计算三重积分dxdydzz2其中是由椭球

24、面1222222czbyax所围成的空间闭区域解 空间区域可表为:2222221czbyaxc zc名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - 于是ccDzdxdydzzdxdydzz223222154)1 (abcdzzczabcc练习1 将三重积分dxdydzzyxfI),(化为三次积分其中(1)是由曲面 z1x2y2z0 所围成的闭区域(2)是双曲抛物面xyz及平面 xy10 z0 所围成的闭区域(3)其中是由曲面

25、zx22y2及 z2x2所围成的闭区域2 将三重积分dxdydzzyxfI),(化为先进行二重积分再进行定积分的形式其中由曲面 z1x2y2z0 所围成的闭区域2 利用柱面坐标计算三重积分设 M(x y z)为空间内一点并设点 M 在 xOy 面上的投影P 的极坐标为P( ) 则这样的三个数、z 就叫做点 M 的柱面坐标这里规定、z的变化范围为0 0 2 z 坐标面00zz0的意义点 M 的直角坐标与柱面坐标的关系xcos ysin zzzzyxsincos柱面坐标系中的体积元素dvdddz简单来说dxdydddxdydzdxdydzdd dz柱面坐标系中的三重积分dzddzfdxdydzzy

26、xf),sin,cos(),(例 3 利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz其中是由曲面zx2y2与平面 z4 所围成的闭区域解 闭区域可表示为2z4 02 02 于是dzddzzdxdydz名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - 202042zdzdd20204)16(21dd36461822120623 利用球面坐标计算三重积分设 M(x yz)为空间内一点则点 M 也可用这样三个有次序的数r、 、 来确定其中r

27、 为原点 O 与点 M 间的距离为OM与 z轴正向所夹的角为从正 z 轴来看自 x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角 这里 P为点 M 在 xOy 面上的投影这样的三个数r、 、 叫做点 M 的球面坐标这里 r、 、 的变化范围为0r 0R)处的单位质量的质点的引力解 设球的密度为0由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z 轴名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 21 页 - - - - - - - - - 的分量为dvazyxazGF

28、z2/32220)(RRzRyxazyxdxdydzazG22222/32220)()(2202/322200)()(zRRRazdddzazGRRdzaazRzaazG)211)(22202)(122220RRaazRdazaRG)3222(2230aRRRG2203134aMGaRG其中0334 RM为球的质量上述结果表明匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 21 页 - - - - - - - - -