2022年2022年根与系数的关系练习题 .pdf

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1、. . 一元二次方程根与系数的关系练习题一选择题（共14 小题）1下列一元二次方程中，两根之和为2 的是（）Ax2 x+2=0 Bx22x+2=0 Cx2x 2=0 D2x24x+1=0 2小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2， 3，而小华看错常数项，解错两根为 2，5，那么原方程为（）Ax2 3x+6=0 Bx23x 6=0 Cx2+3x 6=0 Dx2+3x+6=0 3 （ 2011?锦江区模拟）若方程x23x 2=0 的两实根为x1、x2，则（ x1+2） （x2+2）的值为（）A 4 B6C8D12 4 （2007?泰安）若 x1，x2是方程 x22x4=

2、0 的两个不相等的实数根，则2x122x1+x22+3 的值是（）A19 B15 C11 D35 （ 2006?贺州）已知a，b 是一元二次方程x2+4x3=0 的两个实数根，则a2ab+4a的值是（）A6B0C7D 1 6 （ 1997?天津）若一元二次方程x2ax 2a=0 的两根之和为4a3，则两根之积为（）A2B2 C6 或 2 D6 或 2 7已知 x 的方程 x2+mx+n=0 的一个根是另一个根的3 倍则（）A3n2=16m2B3m2=16n Cm=3n Dn=3m28a、b 是方程 x2+（m5）x+7=0 的两个根，则（a2+ma+7） （b2+mb+7 ）=（）A365 B

3、245 C210 D175 9在斜边AB 为 5 的 Rt ABC 中， C=90 ，两条直角边a、b 是关于 x 的方程 x2（ m1）x+m+4=0的两个实数根，则m 的值为（）A 4 B4C8 或 4 D810设 m、n 是方程 x2+x2012=0 的两个实数根，则m2+2m+n 的值为（）A2008 B2009 C2010 D2011 11设 x1、x2是二次方程x2+x3=0 的两个根，那么x134x22+19 的值等于（）A 4 B8C6D012 m，n 是方程 x22008x+2009=0 的两根，则（m22007m+2009） （n22007n+2009）的值是（）A2007

4、 B2008 C2009 D2010 13已知 x1、x2是一元二次方程x2+x1=0 两个实数根，则（x12x11） （ x22x21）的值为（）A0B4C1 D 4 14设 m，n 是方程 x2x 2012=0 的两个实数根，则m2+n 的值为（）A1006 B2011 C2012 D2013 二填空题（共5 小题）15 若关于 x的方程 x2+2mx+m2+3m2=0 有两个实数根x1、 x2， 则 x1（x2+x1） +x22的最小值为_16 若关于 x 的一元二次方程x2+x3=0 的两根为x1，x2，则 2x1+2x2+x1x2=_17 已知关于 x 的方程 x2 2ax+a22a

5、+2=0 的两个实数根x1， x2， 满足 x12+x22=2， 则 a的值是_18一元二次方程2x2+3x1=0 和 x25x+7=0 所有实数根的和为_19已知 m、n 是关于 x 的一元二次方程x23x+a=0 的两个解，若（m1） （n1）= 6，则 a 的值为_三解答题（共11 小题）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 39 页 - - - - - - - - - 220已知关于x 的一元二次方程x2+（2m3）x+m2=0 的两个不相等的实数根 、

6、满足，求 m的值21是否存在实数m，使关于x 的方程 2x2+mx+5=0 的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由22已知关于x 的方程 kx22x+3=0 有两个不相等的实数根x1、x2，则当 k 为何值时，方程两根之比为1：3？23已知斜边为5 的直角三角形的两条直角边a、b 的长是方程x2（ 2m1）x+4（m1）=0 的两个根，求 m 的值24实数 k 为何值时，方程x2+（2k 1）x+1+k2=0 的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根25已知关于x 的方程 x2+（2k1）x2k=0 的两个实数根x1、 x2满足 x1 x2=2，试求 k 的值名师资料

7、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 39 页 - - - - - - - - - 326已知 x1、x2是方程 x2 kx+k（k+4）=0 的两个根，且满足（x11） （x21）=，求 k 的值27关于 x 的一元二次方程x2+2x+k+1=0 的实数解是x1和 x2（1）求 k 的取值范围；（2）如果 x1+x2 x1x2 1 且 k 为整数，求k 的值28已知 x1，x2是一元二次方程（a6）x2+2ax+a=0 的两个实数根（1）是否存在实数a，使 x1+x1

8、x2=4+x2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（ x1+1） （x2+1）为负整数的实数a 的整数值29已知一元二次方程x22x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且 x1+3x2=3，求 m 的值30已知 x1、x2是一元二次方程2x22x+m+1=0 的两个实根（1）求实数m 的取值范围；（2）如果 m 满足不等式7+4x1x2x12+x22，且 m 为整数求m 的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

9、 - - 第 3 页，共 39 页 - - - - - - - - - 4一元二次方程要与系数的关系练习题参考答案与试题解析一选择题（共14 小题）1下列一元二次方程中，两根之和为2 的是（）Ax2 x+2=0 Bx22x+2=0 Cx2x 2=0 D2x24x+1=0 考点 ：根与系数的关系专题 ：方程思想分析：利用一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=对以下选项进行一一验证并作出正确的选择解答：解： A、x1+x2=1；故本选项错误；B、 =48=40，所以本方程无根； 故本选项错误；C、 x1+x2=1；故本选项错误；D、 x1+x2=2；故本选项正确；故选 D点评：本题考查了一元二次

10、方程根与系数的关系解答该题时，需注意，一元二次方程的根与系数的关系是在原方程有实数解的情况下成立的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 39 页 - - - - - - - - - 52小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2， 3，而小华看错常数项，解错两根为 2，5，那么原方程为（）Ax2 3x+6=0 Bx23x 6=0 Cx2+3x 6=0 Dx2+3x+6=0 考点 ：根与系数的关系分析：利用根与系数的关系求解即可解答：解：小

11、明看错一次项系数， 解得两根为 2， 3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是 、 ， 可得： ?=6， + =3，那么以 、为两根的一元二次方程就是x23x6=0，故选： B点评：此题主要考查了根与系数的关系，若 x1、x2是方程ax2+bx+c=0 的两根，则有x1+x2=，x1x2=3 （ 2011?锦江区模拟）若方程x23x 2=0 的两实根为x1、x2，则（ x1+2） （x2+2）的值为（）A 4 B6C8D12 考点 ：根与系数的关系分析：根据（ x1+2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

12、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 39 页 - - - - - - - - - 6（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系， 即两根的和与积， 代入数值计算即可解答：解： x1、x2是方程 x23x2=0 的两个实数根x1+x2=3，x1?x2= 2又（ x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4将 x1+x2=3、x1?x2= 2 代入，得（x1+2） （x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x

13、2）+4=（ 2）+2 3+4=8故选 C 点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法4 （ 2007?泰安）若x1， x2是方程 x22x4=0 的两个不相等的实数根，则代数式2x122x1+x22+3 的值是（）A19 B15 C11 D3考点 ：根与系数的关系；一元二次方程的解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 39 页 - - - - - - - - - 7专题 ：压轴题分析：欲求 2x122x1+x22+3 的值，先把此代数

14、式变形为两根之积或两根之和的形式， 代入数值计算即可解答：解： x1，x2是方程 x22x4=0 的两个不相等的实数根x122x1=4，x1x2=4，x1+x2=22x122x1+x22+3 =x122x1+x12+x22+3 =x122x1+（x1+x2）22x1x2+3 =4+4+8+3=19 故选 A点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法5 （ 2006?贺州）已知a，b 是一元二次方程x2+4x3=0 的两个实数根，则a2ab+4a的值是（）A6B0C7D 1 考点 ：根与系数的关系；一元二次方程的解专题 ：压轴题分析：由 a，b 是一元二次方程x2+4x

15、3=0 的两个实数根， 可以得到如下四个等式：a2+4a3=0，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 39 页 - - - - - - - - - 8b2+4b3=0，a+b=4，ab=3；再根据问题的需要， 灵活变形解答：解：把 a代入方程可得a2+4a=3，根据根与系数的关系可得 ab=3a2ab+4a=a2+4aab=3（ 3）=6故选 A 点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系解此类题目要利用解的定义找一个关于a、b 的相等关系，再根据根与系数的关系

16、求出 ab 的值，把所求的代数式化成已知条件的形式， 代入数值计算即可 一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系为：x1+x2=，x1?x2=6 （ 1997?天津）若一元二次方程x2ax 2a=0 的两根之和为4a3，则两根之积为（）A2B2 C6 或 2 D6 或 2 考点 ：根与系数的关系专题 ：方程思想名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 39 页 - - - - - - - - - 9分析：由两根之和的值建立关于a的方程，求出a 的值

17、后， 再根据一元二次方程根与系数的关系求两根之积解答：解；由题意知x1+x2=a=4a3，a=1，x1x2=2a=2故选 B点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，在列方程时要注意各系数的数值与正负， 避免出现错误7已知 x 的方程 x2+mx+n=0 的一个根是另一个根的3 倍则（）A3n2=16m2B3m2=16n Cm=3n Dn=3m2考点 ：根与系数的关系分析：设方程的一个根为 a，则另一个根为 3a， 然后利用根与系数的关系得到两根与 m、n 之间的关系， 整理即可得到正确的答案；解答：解：方程x2+mx+n=0 的一个根是另一个根的 3 倍，设一根为a，则另一根为3a，由根与

18、系数的关系，得： a?3a=n，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 39 页 - - - - - - - - - 10a+3a=m，整理得：3m2=16n，故选 B点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练记忆根与系数的关系， 难度不大8a、b 是方程 x2+（m5）x+7=0 的两个根，则（a2+ma+7） （b2+mb+7 ）=（）A365 B245 C210 D175 考点 ：根与系数的关系；一元二次方程的解专题 ：计算题分析：根据一元二次方程的解

19、的意义，知 a、 b满足方程 x2+（m5）x+7=0 ，又由韦达定理知 a?b=7 ；所以，根据 来求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7 ）的值，并作出选择即可解答：解：a、b 是方程 x2+（m 5）x+7=0 的两个根，a、 b 满足方程x2+（m5）x+7=0，a2+ma+75a=0，即a2+ma+7=5a；b2+mb+7 5b=0，即b2+mb+7=5b ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 39 页 - - - - - - - - - 11

20、又由韦达定理，知a?b=7；（ a2+ma+7）（b2+mb+7 ）=25a?b=25 7=175故选 D点评：本题综合考查了一元二次方程的解、 根与系数的关系 求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7 ）的值时， 采用了根与系数的关系与代数式变形相结合的解题方法9在斜边AB 为 5 的 Rt ABC 中， C=90 ，两条直角边a、b 是关于 x 的方程 x2（ m1）x+m+4=0的两个实数根，则m 的值为（）A 4 B4C8 或 4 D8考点 ：根与系数的关系；勾股定理分析：根据勾股定理求的 a2+b2=25，即 a2+b2=（a+b）22ab ， 然后根据根与系数的关系求的a+b=m

21、1 ab=m+4；最后由联立方程组， 即可求得 m 的值解答：解：斜边AB为 5 的RtABC 中，C=90 ，两条直角边 a、 b，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 39 页 - - - - - - - - - 12a2+b2=25，又 a2+b2=（a+b）22ab，（ a+b）22ab=25，a、b 是关于 x的方程 x2（ m1）x+m+4=0的两个实数根，a+b=m1，ab=m+4，由，解得m=4， 或 m=8；当 m=4 时，ab=0，a=0

22、或 b=0，（不合题意）m=8；故选 D点评：本题综合考查了根与系数的关系、 勾股定理的应用 解答此题时， 需注意作为三角形的两边 a、b 均不为零这一条件10设 m、n 是方程 x2+x2012=0 的两个实数根，则m2+2m+n 的值为（）A2008 B2009 C2010 D2011 考点 ：根与系数的关系；一元二次方程的解专题 ：计算题分析：由于 m、n 是方程 x2+x2012=0 的两个实数根， 根据根与系数的关系可以得到m+n=1， 并且 m2+m名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

23、 - - - - - 第 12 页，共 39 页 - - - - - - - - - 132012=0，然后把 m2+2m+n 可以变为m2+m+m+n ，把前面的值代入即可求出结果解答：解： m、n 是方程 x2+x2012=0 的两个实数根，m+n=1，并且 m2+m2012=0，m2+m=2011，m2+2m+n=m2+m+m+n=20121=2011故选 D点评：此题主要考查了根与系数的关系， 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法11设 x1、x2是二次方程x2+x3=0 的两个根，那么x134x22+19 的值等于（）A 4 B8C6D0考点 ：根与系数的关

24、系专题 ：计算题分析：首先利用根的定义使多项式降次， 对代数式进行化简， 然后根据根与系数的关系代入计算解答：解：由题意有x12+x13=0，x22+x23=0，即 x12=3 x1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 39 页 - - - - - - - - - 14x22=3x2，所以 x134x22+19 =x1（3x1） 4（3x2）+19 =3x1x12+4x2+7 =3x1（ 3x1）+4x2+7 =4（x1+x2）+4，又根据根与系数的关系知道

25、x1+x2=1，所以原式 =4（ 1）+4=0故选 D点评：本题考查根与系数的关系和代数式的化简求出 x1、x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形， 使多项式降次，如x12=3x1，x22=3x212 m， n 是方程 x22008x+2009=0 的两根，则代数式（ m22007m+2009）（n2 2007n+2009） 的值是（）A2007 B2008 C2009 D2010 考点 ：根与系数的关系；一元二次方程的解分析：首先根据方程的解的定义， 得m22008m+2009=0，n22008n+2009=0，则有 m22007m=m2009，n2名师资料总结 -

26、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 39 页 - - - - - - - - - 152007n=n2009，再根据根与系数的关系，得 mn=2009，进行求解解答：解： m，n 是方程 x22008x+2009=0的两根，m22008m+2009=0，n22008n+2009=0，mn=2009（ m22007m+2009）（n22007n+2009）=（m2009+2009） （n2009+2009）=mn=2009故选 C点评：此题综合运用了方程的解的定义和根与系数的关

27、系13已知 x1、x2是一元二次方程x2+x1=0 两个实数根，则（x12x11） （ x22x21）的值为（）A0B4C1 D 4 考点 ：根与系数的关系专题 ：计算题分析：根据一元二次方程的解的定义，将 x1、x2分别代入原方程，求得 x12=x1+1、 x22=x2+1；然后根据根与系数的关系求得 x1x2=1；最后将其代名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 39 页 - - - - - - - - - 16入所求的代数式求值即可解答：解： x1、x2是

28、一元二次方程x2+x 1=0 两个实数根，x12+x1 1=0，即 x12=x1+1；x22+x21=0， 即x22=x2+1；又根据韦达定理知 x1?x2=1 （x12x11）（x22x21） =2x1?（ 2x2）=4x1?x2=4；故选 D点评：此题主要考查了根与系数的关系， 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法14设 m，n 是方程 x2x 2012=0 的两个实数根，则m2+n 的值为（）A1006 B2011 C2012 D2013 考点 ：根与系数的关系；一元二次方程的解分析：利用一元二次方程解的定义，将 x=m 代入已知方程求得m2=m+2012；然后

29、根据根与系数的关系知m+n=1；最后将m2、 m+n 的值代入所求的代数式求值即可解答：解： m，n 是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 39 页 - - - - - - - - - 17方程 x2x2012=0 的两个实数根，m2m2012=0，即m2=m+2012；又由韦达定理知， m+n=1，m2+n=m+n+2012=1+2012=2013；故选 D点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解 正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键二填空题

30、（共5 小题）15 （2014?广州）若关于x 的方程 x2+2mx+m2+3m2=0 有两个实数根x1、x2，则 x1（x2+x1） +x22的最小值为考点 ：根与系数的关系；二次函数的最值专题 ：判别式法分析：由题意可得=b24ac 0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m2=0 有两个实数根，则=b24ac=4m2 4（m2+3m2）=8 12m 0，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 39 页 - -

31、 - - - - - - - 18m ，x1（ x2+x1）+x22=（x2+x1）2x1x2=（ 2m）2（m2+3m2）=3m23m+2 =3 （m2 m+）+2 =3（ m）2 +；当 m=时， 有最小值；，m=成立；最小值为；故答案为：点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系， 考查了一元二次不等式的最值问题总结一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1）0? 方程有两个不相等的实数根；（2）=0? 方程有两个相等名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共

32、39 页 - - - - - - - - - 19的实数根；（3）0? 方程没有实数根16 （2013?江阴市一模）若关于x 的一元二次方程x2+x3=0 的两根为x1，x2，则 2x1+2x2+x1x2=5考点 ：根与系数的关系分析：根据根与系数的关系列式计算即可求出x1+x2与 x1?x2的值， 再整体代入即可求解解答：解：根据根与系数的关系可得，x1?x2= 1，x1+x2=23则2x1+2x2+x1x2=2（x1+x2） +x1x2=23= 5故答案为： 5点评：本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系等知识， 在利用根与系数的关系x1+x2=、x1?x2=时，要注意等式中的a、

33、b、 c 所表示的含义17已知关于x 的方程 x22ax+a22a+2=0 的两个实数根x1，x2，满足 x12+x22=2，则 a 的值是1考点 ：根与系数的关系；根的判别式分析：先根据根与系数的关系， 根据名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 39 页 - - - - - - - - - 20 x12+x22=（x1+x2）22x1x2， 即可得到关于 a 的方程，求出 a 的值解答：解：根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2a，x1x2=a2

34、2a+2x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（ 2a）22（a22a+2）=2a2+4a4=2解 a2+2a 3=0，得 a1=3，a2=1又方程有两实数根， 0 即 （2a）24 （a22a+2） 0解得 a 1a=3 舍去a=1点评：应用了根与系数的关系得到方程两根的和与两根的积， 根据两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示， 即可把求 a的值的问题转化为方程求解的问题18一元二次方程2x2+3x1=0 和 x25x+7=0 所有实数根的和为考点 ：根与系数的关系专题 ：计算题分析：根据根与系数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

35、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 39 页 - - - - - - - - - 21的关系可知， 两根之和等于，两根之积等于，由两个一元二次方程分别找出 a， b 和 c的值， 计算出两根之和， 然后再把所有的根相加即可求出所求的值解答：解：由 2x2+3x1=0，得到：a=2， b=3，c=1，b24ac=9+8=170，即方程有两个不等的实数根，设两根分别为x1和 x2，则 x1+x2=；由 x25x+7=0，找出 a=1，b=5，c=7，b2 4ac=2528=30，此方程没有实数根综上， 两方程所有的实数根的和为故答案为：点评：此题

36、考查了一元二次方程的根与系数的关系，是一道基础题学生必须掌名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 39 页 - - - - - - - - - 22握利用根与系数关系的前提是根的判别式大于等于 0 即方程有实数根19已知 m、n 是关于 x 的一元二次方程x23x+a=0 的两个解， 若（m 1） （n1）=6，则 a 的值为4考点 ：根与系数的关系分析：由 m、n 是关于x 的一元二次方程 x23x+a=0的两个解， 得出m+n=3，mn=a，整理（m 1）

37、（ n1）=6，整体代入求得a的数值即可解答：解： m、n 是关于 x 的一元二次方程 x23x+a=0 的两个解，m+n=3 ，mn=a，（ m 1） （n1）=6，mn（ m+n）+1=6 即 a3+1=6 解得 a=4故答案为： 4点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系： 若方程的两根为x1， x2， 则 x1+x2=，x1?x2=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 39 页 - - - - - - - - - 23

38、三解答题（共11 小题）20 （2004?重庆）已知关于x 的一元二次方程x2+（2m3）x+m2=0 的两个不相等的实数根 、满足，求 m 的值考点 ：根与系数的关系；解一元二次方程 -因式分解法；根的判别式分析：首先根据根的判别式求出m的取值范围， 利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将转化为关于 m 的方程， 求出 m 的值并检验解答：解：由判别式大于零，得（ 2m3）24m20，解得 m即 + = 又 + =（ 2m3） ， =m2代入上式得32m=m2解之得 m1=3，m2=1m2=1，故舍去m=3点评：本题主要考查名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

39、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 39 页 - - - - - - - - - 24一元二次方程根的判别式， 根与系数的关系的综合运用21 （1998?内江）是否存在实数m，使关于 x 的方程 2x2+mx+5=0 的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由考点 ：根与系数的关系；根的判别式分析：根据根与系数的关系， 两实根的平方的倒数和即可确定m 的取值情况解答：解：设原方程的两根为 x1、x2，则有：，又，m220=29，解得 m= 7， =m2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

40、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 39 页 - - - - - - - - - 254 2 5=m240=（ 7）240=90 存在实数 7，使关于原方程的两实根的平方的倒数和等于点评：利用根与系数的关系和根的判别式来解决容易出现的错误是忽视所求的 m 的值是否满足判别式22已知关于x 的方程 kx22x+3=0 有两个不相等的实数根x1、x2，则当 k 为何值时，方程两根之比为1：3？考点 ：根与系数的关系分析：利用一元二次方程根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1： 3，则可得 x2=3x1，

41、分别代入两个式子，即可求出k 的值，再利用一元二次方程根的判别式进行取舍即可解答：解：由根与系数的关系可得：，不妨设 x1：x2=1： 3，则可名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 39 页 - - - - - - - - - 26得 x2=3x1，分别代入上面两个式子， 消去x1和 x2，整理得： 4k2k=0，解得 k=0 或k=，当 k=0 时，显然不合题意，当 k=时，其判别式 =1 0，所以当 k=时，方程两根之比为 1：3点评：本题主要考查一元二次

42、方程根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系得到关于 k 的方程，注意检验是否满足判别式大于 023已知斜边为5 的直角三角形的两条直角边a、b 的长是方程x2（ 2m1）x+4（m1）=0 的两个根，求 m 的值考点 ：根与系数的关系；勾股定理分析：先利用一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m1，ab=4（m1） ，再由勾股定理可得 a2+b2=52，即（ a+b）22ab=25，把上面名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 39 页 -

43、 - - - - - - - - 27两个式子代入可得关于m 的方程，解出 m 的值，再利用一元二次方程根的判别式满足大于或等于 0 及实际问题对所求m 的值进行取舍即可解答：解：由一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m1，ab=4（ m1） ，再由勾股定理可得 a2+b2=52，即（ a+b）22ab=25，把上面两个式子代入可得关于 m 的方程：（2m1）28（m1）=25，整理可得： m23m4=0，解得 m=4 或 m=1，当 m=4 或 m=1 一元二次方程的判别式都大于 0，但当 m=1 时， ab=8，不合题意（ a，b为三角形的边长，所以不能为负数） ，所以 m=4点评：本

44、题主要考查一元二次方程根与系数的关系及勾股定理的应用， 解题的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 39 页 - - - - - - - - - 28关键是得出关于 m 的方程进行求解， 容易忽略实际问题所满足的条件而导致错误24实数 k 为何值时，方程x2+（2k 1）x+1+k2=0 的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根考点 ：根与系数的关系；根的判别式分析：利用一元二次方程根与系数的关系表示出两实根的平方和，得到一个关于 k 的二次函数，求出取得最

45、小值时 k 的值，再利用根的判别式进行验证解答：解：设方程的两根分别为x1和x2，由一元二次方程根与系数的关系可得：，令 y=，则y=（2k1）2 2（1+k2）=2k24k 1=2 （k1）23，其为开口向上的二次函数， 当k=1 时，有最小值，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 28 页，共 39 页 - - - - - - - - - 29但当 k=1 时，一元二次方程的判别式为 =70，所以没有满足 0 的 k 的值，所以该题目无解点评：本题主要考查地一元二次方程

46、根与系数的关系， 解题时容易忽略还需要满足一元二次方程有实数根25已知关于x 的方程 x2+（2k1）x2k=0 的两个实数根x1、 x2满足 x1 x2=2，试求 k 的值考点 ：根与系数的关系；解一元二次方程 -配方法；根的判别式分析：先根据根与系数的关系， 可求出 x1+x2， x1?x2的值，再结合 x1x2=2，可求出k 的值，再利用根的判别式， 可求出 k 的取值范围，从而确定k的值解答：解：根据题意得x1+x2=（2k1） ，x1?x2=2k，又 x1x2=2，（ x1x2）2=22，（ x1+x2）24x1x2=4，（ 2k1）2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

47、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 29 页，共 39 页 - - - - - - - - - 304（ 2k）=4，（2k+1 ）2=4，k1=，k2=，又 =（ 2k1）2 4 1 （2k）=（2k+1）2，方程有两个不等的实数根， （2k+1）20，k ，k1=，k2=点评：一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=，x1?x2=26已知 x1、x2是方程 x2 kx+k（k+4）=0 的两个根，且满足（x11） （x21）=，求 k 的值考点 ：根与系数的关系；根的判别式分析：（x1 1） （x

48、21）=，即 x1x2（ x1+x2）+1=，根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入 x1x2（x1+x2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 30 页，共 39 页 - - - - - - - - - 31+1=，即可得到一个关于k 的方程， 从而求得k 的值解答：解： x1+x2=k，x1x2=k （k+4） ，（ x11） （x21）=，x1x2（x1+x2）+1=，k（k+4）k+1=，解得 k= 3，当 k=3 时，方程为 x23x+=0

49、，=9210，不合题意舍去；当 k=3 时，方程为 x2+3x=0，=9+30，符合题意故所求 k 的值为3点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）的两根时，x1+x2=，x1x2=注意运名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 31 页，共 39 页 - - - - - - - - - 32用根与系数的关系的前提条件是： 一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的判别式 027 （2011?南充）关于x 的一元二次方程x2+2x+k

50、+1=0 的实数解是x1和 x2（1）求 k 的取值范围；（2）如果 x1+x2 x1x2 1 且 k 为整数，求k 的值考点 ：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组专题 ：代数综合题； 压轴题分析：（1）方程有两个实数根， 必须满足 =b24ac 0，从而求出实数 k 的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系， 得x1+x2=2，x1x2=k+1 再代入不等式x1+x2x1x2 1， 即可求得 k 的取值范围， 然后根据k 为整数，求出k 的值解答：解： （1）方程有实数根， =224（k+1） 0， （2分）解得 k 0故 K 的取值范围是 k 0（4分）名师资料总结 -