2022年2022年教学设计实数与向量的积 .pdf

《2022年2022年教学设计实数与向量的积 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年教学设计实数与向量的积 .pdf（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、教学设计实数与向量的积实数与向量的积是普通高中课程标准实验教科书数学必修4 第二章第二节第3课时。在此之前，学生已学习了平面向量的实际背景及基本概念、 向量的加法与减法 ，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。向量的加法、减法，实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础，是本章中一个重要的知识点。所以实数与向量的积在第五章平面向量中占据重要的基础地位。作为一名数学老师， 不仅要传授给学生数学知识， 更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中，力图让学生动手操作，再通过学生对图形的观察、分析，比较、发散等，并借

2、助信息技术帮助学生根据已有知识和经验建立实数与向量的积的定义，形成实数与向量的积的运算律，推导出向量共线的充要条件。教学目标根据教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：1. 知识目标：实数与向量的积的定义；实数与向量的积的运算律；向量共线的充要条件。 2. 能力训练目标：会利用实数与向量积的运算律进行有关计算；会根据条件判断两个向量是否共线；3. 创新素质目标 ：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。 4.个性品质目标 ：通过本节内容的学习，使学生掌握实数与向量的积，从形上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中，“万变不改其性”的哲理。教学

3、建议知识结构 :两个向量共线定理第二分配律第一分配律结合律运算律方向模的大小定义实数与向量的积名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 重点难点关键点分析 1.重点：实数与向量的积的定义； 实数与向量的积的运算律； 向量共线的充要条件。其理由如下：（1）现行教材省略了概念的形成过程和方法的发现过程，没有反映出科学认识产生的辩证过程，给学生的学习造成了很大的困难，非常不利于学生创新能力、独立思考能力以及动手能力的培养。（2）

4、现代认知学认为，揭示知识的形成过程，对学生学习新知识是十分必要的。同时通过展现知识的发生、 发展过程，给学生思考、 探索、发现和创新提供了最大的空间，可以使学生在整个教学过程中始终处于积极的思维状态，进而培养他们独立思考和大胆求索的精神，才能全面落实本节课的教学目标。通过归纳的办法，由特殊到一般，由直观到抽象，突出重点。2难点：向量共线的充要条件及其应用问题是思维的动力，通过创设问题情景，可以引导学生用已有的知识和生活经验，去积极思考、探索和解决问题，并能制造认知冲突，形成“任务驱动”的探究氛围，突破难点，让学生认识定理的本质。3关键点：实数与向量的积的定义。实数与向量的积的结果是向量，要按大

5、小和方向这两个要素去理解。向量共线定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。教法建议1从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生学习兴趣。如让学生使用火柴做向量加法运算，再用课件展示过程， 引入实数与向量的积。2实数与向量的积的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，但可以结合图形给学生直观解释，如让学生使用火柴验证运算律，再用多媒体课件图形演示给学生直观解释。3由于学生已理解共线向量，因此可以让学生观察共线向量间的关系，可以提示从方向和大小两个方面来考虑。 然后指出向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的。给

6、学生说明定理的作用，通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行，要指出与平面中直线间的平行的区别，采用讲练结合，多设计有关训练 ，从而加深学生对内容的准确理解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 教案设计2.2.3实数与向量的积一、教学目标1掌握实数与向量的积的定义，理解实数与向量的积的几何意义；2掌握实数与向量的积的运算律，并会运用它们进行计算；3理解两个向量共线的充要条件，能根据条件判断两个向量是否共线。4通过对

7、实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。二、教学重点 ：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件。教学难点 ：向量共线的充要条件的理解。三、教学具准备火柴、直尺、投影仪、多媒体。四、教学设计过程【创设情境，提出问题】师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a+a+a和( a)+(a)+(a)向量。（展示课件：已知非零向量a，作出 a+a+a和( a)+(a)+(a )向量）师：请同学们拿出带来的火柴，先将一根火柴放在桌面上，把它看作向量a，火柴的头看作向量 a的终点，然后做如下实验：（1）按第一根火柴的方向，首尾相连地连续排

8、3 根火柴得b；（2）按第一根火柴的反方向，首尾相连地连续排3 根火柴得c；设计意图： 是让学生在游戏中学习，使数学学习发生在真实的世界和背景中，提高学生学习数学的兴趣和参与程度，同时为学生研究实数与向量的积创设了探究的情境。【思考讨论，分析问题】请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生： a+a+a 的长度是 a的长度的 3 倍，其方向与 a的方向相同；( a )+(a )+( a )的长度是 a 长度的 3 倍，其方向与 a 的方向相反。师： （展示课件动画：实验过程）b=OC=OAABBC=a+a+a=3ac=PN=PQQMMN=(a)+(a)+(a)=

9、3a（1）3a与 a方向相同且 |3a|=3|a |；（2） 3a 与 a 方向相反且 | 3a|=3|a|；先是让学生独立思考，允许相互讨论，老师再展示课件动画的实验过程，师生共同给出结果。设计意图 ：是培养个别思考的习惯；再通过学生对图形的观察、分析，比较、发散等，并借助信息技术帮助学生根据已有的知识和经验建立实数与向量的积的定义，提高学生的观察的能力。【引出主题】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 师：很好！本

10、节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题。（板书课题实数与向量的积）【探索研究，解决问题】师：请大家根据上述问题并作一下类比，比如4 个非零向量 a相加， 30 个非零向量 a相加，结果如何？看看怎样定义实数与向量的积？生：我想这样规定：实数与向量 a的积就是a ，它还是一个向量。师：想法很好。不过我们要对实数与向量 a相乘的含义作一番解释才行。 （展示课件）定义实数与向量 a的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下：（1）aa（2）当0时， a的方向与 a的方向相同； 当0时， a 的方向与 a的方向相反；特别地，当0或0a时，0a课堂练习：课本115练习 1，2，3；（投影仪：学生的练

11、习）设计意图： 是通过学生的发散思维，归纳出实数与向量的积的定义，培养学生的数学表示能力，提高学生的数学素质。【横向类比，导出定律】师：实数与向量的积与向量的加法，一样都是向量的一种运算，向量的加法有交换律和结合律，实数与向量的积满足怎样的运算律？它与以前学习过的知识有类似的地方吗？学生： （1）( a)=() a； （2）(+) a=a + a ； （3）( a+b)= a + b ，它与以前学习过的实数的有关运算律类似。设计意图：是通过学生的类比，发散等，导出实数与向量的积的运算律，培养学生的类比、发散、化归的数学能力。【验证式子，发散思维】师：再请同学们拿出火柴， 作出下列各组向量， 并

12、从模的大小与方向两个方面进行比较：（1）作向量a32和 a6 （ a为非零向量），并进行比较；（2）作向量a5 和aa32（a 为非零向量），并进行比较；（3）向量ba2与向量ba22相等吗？生：aa632，aaa325，baba222（展示课件：实验过程）先是让学生个别学习，老师再展示课件的实验动画过程，师生共同给出结果。设计意图：先是力图让学生动手操作，总结概括出结论，培养个别学习的习惯；再借助信息技术帮助学生生成新知识。【形成定律】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

13、 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 师： （展示课件：运算律）设a 、b为任意向量，为任意实数，则有：（1）( a )=() a（2） (+) a= a + a（3）( a+b)=a +b通常将（ 1）称为结合律，（2） （3）称为分配律，也把（ 2）叫第一分配律，（3）叫第二分配律。【指导应用，以律驭算】 （展示课件：例 1）【例 1】计算：（ 1） （-3） 4a；（2）3(a+b)-2(a-b)- a；（3）(2a+3b-c)-(3a-2b+c) 。在讲解例题时，不仅在于怎样解，为什么这样解，更要体现学生是学习的主体，老师的引导，促进学生的思维能力的发展：由学生自己

14、 尝 试 解 答 例题，同时老师参与评价，让学生体验成功，培养信心，激发兴趣；再进一步调动学生的积极性，增加学生的参与感，活跃课堂的气氛，让学生主动板演练习，使学生能自觉巩固运用所学知识与解题思想方法。设计意图 ：是让学生熟悉运算技能，加深对运算律的印象。【难点突破，奠定定理】师：实数与向量积的定义看，实数与向量相乘后，积与原来的向量方向相同或相反，即向量共线，那么两个向量共线需要什么条件？（课件展示思考题）请同学们思考：对于向量a（)0a、b，（1）如果有一个实数，使得ab，那么向量 a与b是否共线？（2）如果向量 a与b共线，是否存在一个实数，使得ab？生：由实数与向量积的定义看，一个实数

15、使得ab，就有向量 a与b共线；如果向量 a与b共线，那么必然有唯一的实数使得ab。先提出疑问，考察学生刚刚学习的实数与向量积的定义的理解；再启发学生思考，引诱学生的逆向思维，有利于学生理解实数与向量积的定义的几何意义。设计意图 ：帮助学生分解难点，进一步体会实数与向量积的定义的思想与几何意义，推导出共线向量的充要条件；【归纳总结】（展示课件：定理）定理向量b与非零向量 a共线的充要条件是：有且只有一个实数，使b= a【知识应用，解题研究】师：下面我们研究共线向量的充要条件的应用。（展示 课名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

16、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 件：例 2）【例 2】如图：已知ABAD3，BCDE3，试判断AC与AE是否共线。课堂练习 1：课本 P116练习 4； （投影仪：学生的练习）先分析例题，借着老师的引导，发散学生的思维，为了进一步巩固学生的学习主体地位：由学生继续尝 试 自 己 解 答 例题，体验成功，增强信心，巩固兴趣；再进一步增大学生的参与感，活跃课堂的气氛，再给学生练习，投影练习结果，使学生巩固运用所学知识与解题思想方法。设计意图 ：是效果反馈，及时纠正。【变式训练，熟练技能】课堂练习 2： 世纪金榜98 ，

17、6 （展示课件：提升训练1）课堂练习 3： （展示课件：提升训练2）如图所示，在平行四边形 ABCD 中， M 是 AB 中点， 点 N 是 BD上一点，BDBN31。求证： M 、 N、 C 三点共线再给学生拔高性练习，让学生形成自觉巩固运用所学知识与解题思想方法的习惯。设计意图 ：是在学生的最近发展区设问，容易激发学生的探究欲望。【提炼概括，形成知识】通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用。设计意图 ：是使学生对本课所学的知识有一个清晰的认识，对本课所用的思想方法有一个明确的了解，对本课的学习过程有一个新

18、的感悟。【任务后延，自主研究】作业：118习题 2（4） （5） ，4。板书设计名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2.2.3 实数与向量的积1. 实数与向量的积a长度：aa方向：当0 时，a 与 a 的方向相同；当0 时，a 与 a 的方向相反；特别地，当0或0a时，0a2. 实数与向量积的运算律1）( a )=() a2） ( + )a=a+a（，R）3）(a+b)=a+b3. 两向量共线的充要条件向量b与非零向量 a 共线的充要条件是：有且只有一个实数 ，使b= a例 1 例 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -