第二章随机变量及其分布ppt课件.ppt

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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第一节 离散型随机变量及其分布第二节 连续型随机变量及其分布第三节 随机变量的函数的分布 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的性的，为了更方便有力的研究随机现象为了更方便有力的研究随机现象，就要用就要用数学分析的方法来研究数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的因此为了便于数学上的推导和计算推导和计算，就需将任意的随机事件就需将任意的随机事件数量化数量化当当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念就建立起了随机变量的概念1. 随机变量

2、随机变量第一节第一节 离散型离散型随机变量及其分布随机变量及其分布实例实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色观察摸出球的颜色.S=红色、白色红色、白色 非数量非数量将将 S 数量化数量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S红色红色 白色白色)(eXR10即有即有 X (红色红色)=1 , ., 0, 1)(白色白色红色红色eeeXX (白色白色)=0.这样便将非数量的这样便将非数量的 S=红色，白色红色，白色 数量化了数量化了.实例实例2 抛掷骰子抛掷骰子,观察出现的点数观察出现的点数., 3) 3(, 2) 2(, 1) 1 ( XXX

3、, 6)6(, 5)5(, 4)4( XXX).6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1(,61 iiXPS=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等变换恒等变换且有且有eeX )(则有则有定义定义2.1.1 2.1.1 设设X X (w w )是定义在样本空间是定义在样本空间W W上的实上的实值函数，称值函数，称X X (w w )为随机变量为随机变量. . 随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，.等表示等表示或希腊字母或希腊字母 , ,.等表示。等表示。下图给出样本点下图给出样本点w w与实数与实数X X (w w )对应的示意图对应的示意图

4、W1w2w3wx实例实例3 掷一个硬币掷一个硬币, 观察出现的面观察出现的面 , 共有两个共有两个结果结果:),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有则有)(eX)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即即 X 是一个随机变量是一个随机变量.实例实例4 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考虑考虑其性别其性别 , 共有共有 4 个样本点个样本点:).,(),(, ),(),(4321女女女女男男女女女女男男男男男男 eeee若用若用 X 表示该家女孩子的

5、个数时表示该家女孩子的个数时 , 则有则有, 0)(1 eX, 1)(2 eX, 1)(3 eX, 2)(4 eX可得随机变量可得随机变量 X = ., 2, 1, 0)(4321eeeeeeeeeX实例实例5 设盒中有设盒中有5个球个球 (2白白3黑黑), 从中任抽从中任抽3个个,则则,)(抽得的白球数抽得的白球数 eX是一个随机变量是一个随机变量. 且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:, 0, 1. 2实例实例6 6 观察某城市的观察某城市的120120急救电话台一昼夜接到急救电话台一昼夜接到的呼叫次数的呼叫次数如果用如果用X表示呼叫次数，表示呼叫次数，那么那么 表示一随机事

6、件，表示一随机事件，显然显然 也表示一随机事件也表示一随机事件), 2 , 1 , 0(kkX), 2 , 1 , 0(kkX实例实例7 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通分钟有一辆汽车通过过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则则,)(此人的等车时间此人的等车时间 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可的所有可能取值为能取值为:).5 , 0随机变量是定义在样本空间上的一个函数随机变量是定义在样本空间上的一个函数 ,随机变量的取值随试验的结果而定，随机变量的取值随试验的结果而定，随机变量的随机变量的某种取值都对应一个

7、随机事件；而随机变量的取某种取值都对应一个随机事件；而随机变量的取值概率即为所对应的随机事件的概率。值概率即为所对应的随机事件的概率。 说明说明随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量的可能取值是有限多个或随机变量的可能取值是有限多个或无限可列个无限可列个, 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量. 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能取值是的可能取值是 :随机变量随机变量连续型连续型实例实例11, 2, 3, 4, 5, 6.非离散型非离散型其它其它实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为 “连续射击连续射击, 直至命

8、直至命中时的射击次数中时的射击次数”, 则则 X 的可能取值是的可能取值是: ., 3, 2, 1实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”, 则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:.30, 3, 2, 1, 0实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.)., 0 (2)连续型连续型 随机随机变量举例变量举例则则 X 的取值范围为的取值范围为实例实例2 在区间在区间0，1上随机地投点，上随机地投点， 随机变量随机变量X 为为“

9、点的位置（坐点的位置（坐标）标）”。则则 X 的取值范围为的取值范围为 0，1),2, 1(kxkX 取各个可能值的概率，即事件 的概率为kxX ,1,2,kkP Xxpk（2.1.1）则称（2.1.1）式为离散型随机变量X的分布律或概率分布。定义定义2.1.2 设离散型随机变量 X 所有可能取值为2.2.离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律分布律也可以直观地用下面的表格来表示： Xnxxx21kpnppp21由概率的定义知，分布律中的 应满足以下条件： kp, 2 , 1, 01kpk。. 121kkp。随机变量X的所有取值随机变量X的各个取值所对应的概率例1 设随机变量 的分布

10、律为 ，XNakXP )(Nk, 2, 1，试确定常数 。 a解：1)(11NaNNakXPNkNk1a 例2 某系统有两台机器相互独立地运转设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X表示系统中发生故障的机器数，求X的分布律。 解 （1）确定）确定r.v.X的所有可能取值；的所有可能取值；（2）求）求X取各个可能值的概率，即求所对应的取各个可能值的概率，即求所对应的 随机事件的概率。随机事件的概率。X=0, 1, 22 , 1iiAi台机器发生故障”，表示事件“第设72. 08 . 09 . 0)()()(02121APAPAAPXP26. 02 . 09 . 08 . 01

11、 . 0)()( 12121AAPAAPXP02. 02 . 01 . 0)(221AAPXP故X的分布律为： X210kp02. 026. 072. 0例例2.2.1 超几何分布超几何分布例例3 某盒产品中恰有某盒产品中恰有8件正品，件正品，2件次品，每次从件次品，每次从中不放回的任取一件进行检查，直到取到正品为止，中不放回的任取一件进行检查，直到取到正品为止， 表示抽取次数，求表示抽取次数，求 的分布律。的分布律。解：解： 的可能取值为：的可能取值为：1，2，31 P54108“第一次取到正品第一次取到正品” 2 P45898102“第一次取到次品，第二次第一次取到次品，第二次取到正品取到

12、正品” 3 P4518891102 “前两次均取到次品，第前两次均取到次品，第三次取到正品三次取到正品”思考：思考： 将将“无放回无放回”改成改成“有放回有放回”，求，求 的分的分布律。布律。 故故 的分布律为的分布律为P P15 54 42 23 34 45 58 84 45 51 1 的可能取值为：的可能取值为：1，2，3，, 3 , 2 , 1,54511kkPk例例2.2.2 几何分布几何分布3.3.（0 01 1）分布（或两点分布）分布（或两点分布） 设随机变量 X 只可能取0与1两个值，它的分布律是) 1, 10(1 , 0,1qppkqpkXPkk则称 X 服从（01）分布或两点

13、分布 （01）分布的分布律也可写成 X10kppq抛一枚硬币，观察出现正面H还是反面T，正面X0,反面X1T H对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即 ，我们总能在W上定义一个服从（01）分布的随机变量 12,Ww w., 1, 0)(21wwwww当当XX来描述这个随机试验的结果。 检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（0-1）分布的随机变量来描述现在求的分布律现在求的分布律 所有可能取的值为所有可能取的值为则则 X., 2, 1, 0n,发发生生的的次次数数重重伯伯努努利利试试验验中中事事件件表表示示若若

14、AnX4.4.二项分布二项分布012kkn knP XkC p qkn， ， ， ，显然 0P Xk 00()1nnkkn knnkkP XkC p qp q满足分布律的两个条件即kXP注意到 刚好是二项式 的展开式中出 kknknCp qnqp)(的二项分布服从参数为的那一项，故称现pnXvrpk,.X记为( ,)B n p二项分布二项分布1 n两点分布两点分布 这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很但由于这批元件的总数很大大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因而此抽样可近似当作放回抽样来

15、处理.?)20, 1 , 0(20.20, 2 . 0.1500,一一级级品品的的概概率率是是多多少少只只中中恰恰有有只只元元件件问问只只现现在在从从中中随随机机地地抽抽查查品品率率为为级级已已知知某某一一大大批批产产品品的的一一小小时时的的为为一一级级品品用用寿寿命命超超过过某某种种型型号号电电子子元元件件的的使使按按规规定定 kk分析分析.2020,重重伯伯努努利利试试验验只只元元件件相相当当于于做做检检查查验验一一级级品品看看成成是是一一次次试试把把检检查查一一只只元元件件是是否否为为例例2.2.4解解,20 只只元元件件中中一一级级品品的的只只数数记记以以 X),2 . 0,20( b

16、X则则因此所求概率为因此所求概率为2020(0.2) (0.8),0,1,20.kkkP XkCk 012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175. 05 XP109. 06 XP055. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002. 010 XP时时当当11,001. 0 kkXP作出上表的图形，如下图所示 直至达到先是随之增加增加时，概率从上图可以看出，当,kXPk4knp最大值（），随后单调减少.一般地，对于固定的 及 ，二项分布都有类似的结果),(pnb定义：定义：二项分布的二项分布的最可能值为最可能值为书书P3

17、1(1) np 解解,X设击中的次数为设击中的次数为 (400,0.01).Xb的的分分布布律律为为X 400400(0.01) (0.99),kkkP XkC .400, 1 , 0 k因此因此31012P XP XP XP X400399223984001(0.99)400(0.01)(0.99)(0.01) (0.99)C例例2.2.5 2.2.5 设每次射击命中目标的概率为设每次射击命中目标的概率为0.010.01，现，现独立地射击独立地射击400400次，求（次，求（1 1）最可能命中目标的次数）最可能命中目标的次数及相应的概率；（及相应的概率；（2 2）至少）至少3 3次命中目标的

18、概率？次命中目标的概率？ 443964004(0.01) (0.99),P XC检查检查10个产品个产品,10个产品中的个产品中的次品数次品数XB(10,p),p为次品率为次品率调查调查50人人,50人中的色盲人数人中的色盲人数YB(50,p),p为色盲率为色盲率射击射击20次次,20次射击中的命中次射击中的命中次数次数ZB(20,p),p命中率命中率5.5.泊松分布泊松分布0,1,2,X设随机变量所有可能取值为，！kkXPke， 210k0其中是常数( )XP记为且有显然，, 2 , 1, 0kkXP1eeee000kkkkkkkkXP！而取各个值的概率为X则称 服从参数为 的泊松分布，满足

19、分布律的两个条件即kXP观察某放射性物质观察某放射性物质(体积是体积是V)在单位时间在单位时间(7.5秒秒)内放出内放出粒子数粒子数X X的规律的规律,X,X是个随机变量是个随机变量. .把该物质把该物质n n等分等分, ,假设假设各各小块在单位时间内至多放出小块在单位时间内至多放出1个粒子个粒子,且各小块在单位时间且各小块在单位时间内放出内放出1个粒子的概率个粒子的概率pnkV/n=/n(其中其中k是放射常数是放射常数, 从从而而 0也是常数也是常数)放出两个及以上粒子的概率是放出两个及以上粒子的概率是V/n的高阶的高阶无穷小无穷小各小块在单位时间内放出粒子相互独立各小块在单位时间内放出粒子

20、相互独立.5)P(X 5n55nn)n(1)n(Clim5)(n)n(n55n)n(1n5!4)3)(n2)(n1)(nn(nlim5e5! 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.泊松分布往往和单位时间泊松分布往往和单位时间,单位面积单位面积,单位产品上单位产品上的计数过程相联系的计数过程相联系定义：泊松分布的最可能值为定义：泊松分布的最可能值为

21、 . P40 例例2.2.6二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp 泊松定理泊松定理当当n很大，很大，p很小（很小（np=）时，有以下近似式）时，有以下近似式（书（书P39定理定理2.1.1）)(!)1 (npekppCkknkkn其中（2.1.8） 设设1000 只产品中的次品数为只产品中的次品数为 X , 则则可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算,.100101000所求概率为所求概率为2642411099900010C99901999110001000.!264241101e1e111解解2 XP101XPXP),001.0,1000Xb(例例4 有计算机硬件公司制造某种特殊型号的

22、微有计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片，次品率达型芯片，次品率达0.1%，各芯片成为次品相互，各芯片成为次品相互独立。求在独立。求在1000 只产品中至少有只产品中至少有2只次品的概率。只次品的概率。2XP例例:某商店某种商品每月销售数某商店某种商品每月销售数X服从参数是服从参数是5的的Poisson分布分布,为了以为了以95%以上的把握不脱销以上的把握不脱销,问月问月底至少应该进该商品多少件底至少应该进该商品多少件.(假设无库存假设无库存)解解:设至少要进货设至少要进货a件件0.95,a)P(X0.05a)P(X9a 查表得查表得实例实例 在区间在区间0，1上随机地投点，上随机地投点，

23、 随机变量随机变量X 为为“点的位置（坐点的位置（坐标）标）”.则则 连续型连续型r.v. X 的取值范围为的取值范围为 0，1)(xXP任取一实数任取一实数 1,0 x01x)(处点落在坐标xP几何概率几何概率010没有多大的意义没有多大的意义 为了对离散型和连续型为了对离散型和连续型r.v.以及以及其它其它类类型的型的r.v.给出一种统一的描述方法，我们考给出一种统一的描述方法，我们考虑一个虑一个r.v.的取值落在区间的取值落在区间 的概率。的概率。,(21xx21xXxP 12xXPxXP )(2xF)(1xF21xXxP ).()(12xFxF ?F(x) 是是r.v X取值不大于取值

24、不大于 x 的概率；的概率；在几何上，在几何上，它表示它表示r.v.r.v.X的取值的取值落落在区间在区间(- , x的的概率。概率。6. 6. 随机变量的分布函数随机变量的分布函数是任意实数，函数是一个随机变量，设xX定义 xxXPxF,)(的分布函数称为X其定义域是整个实数轴其定义域是整个实数轴XxF(x)是一个普通的函数，是一个普通的函数，1)(0 xF1.的不减函数是xxF)(2.1)(lim)(0)(lim)(xFFxFFxx，)()0(xFxF是右连续的即)(xF3.对任意实数 x1x2，r.v.X的取值落在区间（ x1 , x2 的概率为：)()(121221xFxFxXPxXP

25、xXxP分布函数 的基本性质： xXPxF)(00)F(a0)F(bb)XP(aF(a)0)F(bb)XP(a0)F(aF(b)b)XP(aF(a)F(b)b)XP(a0)F(aF(a)a)P(X0)F(a1a)P(X0)F(aa)P(XF(a)1a)P(XF(a)a)P(Xd.f.全面描述了全面描述了r.v.的统计规律性的统计规律性例例5 5 抛一枚均匀硬币抛一枚均匀硬币, 令令1,0,X 正正面面反反面面求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0时时当当 x, 0 )(xXPxF 0 1x,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1时

26、时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得离散型离散型r.v.的分布函数的分布函数0110.5的的分分布布律律为为设设随随机机变变量量 XXkp321 412141解解,)(, 03, 2, 1xXPxFxX 且且处概率不为处概率不为仅在仅在由于由于例例6.32,2523,21, XPXPXPX并求并求的分布函数的分布函数求求 . 3, 1, 32,21, 21,1, 1, 0)(xxXPXPxXPxxF得得0,1,1,12,4( )3,23,41,3.xxF xxx 即即, )(xXPxF 由由,41 )23()25(

27、2523FFXP ,214143 2)2()3(32 XPFFXP21431 .43 )21(21FXP 得得 )(2XP)()(32XPXP434121，21kpxXPkk的分布函数为由概率的可列可加性得 XxxkkpxF)(kxxk对所有满足的 求和。xxxxpxxxpxxxFkikki10)(112111也可表示为一般地，设离散型r.v.X的分布律为 离散型离散型r.v.的分布函数的分布函数 是一种概率是一种概率的累加，是分段函数，它的图形是阶梯状的累加，是分段函数，它的图形是阶梯状曲线，在曲线，在 处有跳跃，其处有跳跃，其跳跃值为跳跃值为 。 , 2 , 1,kxxkkkxXPp)(x

28、F.例例7 7 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2m的圆盘的圆盘,设击中靶上任设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶并设射击都能中靶,以以X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量试求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解,0时时当当 x,是不可能事件是不可能事件xXP ,20时时当当 x; 0)( xXPxF于是于是)(xXPxF 0 XP0 xXP .42x ,2时时当当 x)(xXPxF . 1 故故 X 的分布函数为的分布函数为 . 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF其图形为

29、一连续曲线其图形为一连续曲线注意注意 两类随机变量的分布函数图形的特点不一样。两类随机变量的分布函数图形的特点不一样。离散型离散型r.v.的分布函数是的分布函数是分段函数分段函数；连续型；连续型r.v. 的分的分布函数是布函数是连续函数连续函数。 ., 0, 20,2)(其它其它若记若记tttf.d)()(ttfxFx 则则,()()(上的积分上的积分在区间在区间恰是非负函数恰是非负函数xtfxF.为连续型随机变量为连续型随机变量此时称此时称 X第二节第二节 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布定义2.2.1，使对于任意实数有负函数如果存在非的分布函数对于随机变量)(),(xfxFX

30、xttfxFd.)(概率密度的概率密度函数，简称为称其中函数称为连续型随机变量，则XxfX 具有以下性质由定义知道，概率密度xf (1)0fx (2)1fx dx1212(3),x xxx对于任意实数有 dxxfxFxFxXxPxx211221(4)( )( )( )f xxF xf x若在点 连续，则有121212(,(,( )()Xx xP xXxx xf x落在区间上的概率等于区间上曲线之下的曲边梯形的面积 如图性质(1),(2)是两个最基本的性质xo)(xf11S1x 2x 有的连续点对于知由性质xxf)(,)4( xxxXxPxxFxxFxfxx00limlim直观述它的分布比分布函

31、数机变量，用概率密度描因此对于连续型随附近的值的概率大小取映出的大小能反的概率分布的密集程度在点而是的概率取值不是随机变量上式表明概率密度xXxfxXxXxf)(,)(注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP证明证明aXP . 0 由此可得由此可得dxf(x)xaxa连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关bXaP bXaP bXaP .bXaP 0dxf(x)limxaxa0 x. 0 aXP注意注意若若X是连续型随机变量，是连续型随机变量，

32、是是不不可可能能事事件件aX .0aXP概率为概率为0的事件不一定是不可能事件的事件不一定是不可能事件概率为概率为1的事件不一定是必然事件的事件不一定是必然事件例2.2.1 设连续型随机变量X具有概率密度 3, 0,0 , .xkexfx其他k确定常数) 1 ( xFX的分布函数求)2( (3)0.1PX 求求.271)3(;)2(;)1(., 0, 43,22, 30,)( XPXkxxxkxxfX求求的分布函数的分布函数求求确定常数确定常数其它其它具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设例例1的的概概率率密密度度为为知知由由Xk61)2( ., 0, 43,22, 30,6)(其其它它

33、xxxxxf, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得解解, 1d)()1( xxf由由340.503030,0,d ,03,6( )d(2)d ,34,621,4.xxxttxF xttttxx ( )( )dxF xf tt 由由得得340.5 . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 7 237 211341( )(2)6248xxf x dxdxdx 或或340.5144)(x234练习 设连续型随机变量X具有概率密度 1, 02,0 , .kxxfx其他k确定常数) 1

34、( xFX的分布函数求)2(2523)3( XP求20(1)( )d1,(1)d1f xxkxx由得1/ 2k 解得02001kx(2)X的分布函数为xxdtdttfxFx00)()(,0时当00) 121(0)()(,20 xxdttdtdttfxFx时当xx 241201) 121()()(,2dttdttfxFxx时当解解： 20, 01d, 0241, 2 xxF xf ttxxxx5335(3)22221 0.93750.0625PXFF 0625.00)121()(2232522523dxdxxdxxf或2. 均匀分布均匀分布具有概率密度设连续型随机变量 X , ,0, ,1其他b

35、xaabxf),(,),(baUXbaX记为上服从均匀分布在区间则称 1d, 0)(xxfxf且易知满足连续型随机变量的两个最基本性质dxdxabdxbbaa010 fx 的图形与子区间的位置无关而子区间的长度子区间的概率只依赖于落在或者说可能性是相同的一等长度的子区间内的中任落在变量上服从均匀分布的随机在,),(,),(),(baXbaXba的分布函数为X bxbxaabaxaxxF , 1 , , 0( )F x 相应的图形为例例:公交车站每公交车站每5分钟有一班车通过分钟有一班车通过,某人到达车站的时刻是任意的某人到达车站的时刻是任意的,求他求他等车时间不超过等车时间不超过3分钟的概率分

36、钟的概率.把本题看作是把本题看作是(0,5区间上的区间上的等可能投点等可能投点,所求概率为所求概率为3/5.例例:设随机变量设随机变量X在区间在区间2，4上服从上服从均匀分布，则均匀分布，则P2X3=（）（）.AP1.5X2.5 BP3X4 解解由题意由题意,R 的概率密度为的概率密度为.,),()(其他0110090090011001rrf故有故有1050950 RP. 5 . 0d20011050950 r例例2 设电阻值设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在是一个随机变量，均匀分布在900 1100 求求 R 的概率密度及的概率密度及 R 落在落在950 1050 的概率的概率W WW

37、 WW WW W例例3 3 设随机变量设随机变量X X在在22，55上服从均匀分布，现对上服从均匀分布，现对X X进进行三次独立观测。求至少有两次观测值大于行三次独立观测。求至少有两次观测值大于3 3的概率。的概率。设设Y表示三次独立观测其测值大于表示三次独立观测其测值大于3的次数，则的次数，则 解：解：5332d31)3(xXP则2720)32(31)32()2(333223CCYP.32,3 bY ., 0, 52,31)(其他其他xxf X 的概率密度函数为的概率密度函数为0( )0 ,( )1xf xf x dxedx 易易知知的分布函数为X 1e, 00, .xxF x ，其其他他3

38、. 指数分布指数分布若连续型随机变量X的概率密度函数为 e, 00, .xxfx ，其其他他其中 为常数，则称X服从参数为参数为 的指数分布的指数分布。0 满足连续型随机变量的两个最基本性质指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示 应用应用 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命例如无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布物的寿命等都服从指数分布.指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”.|P Xst Xs ,P Xst XsP Xs P Xst

39、P Xs 11P XstP Xs ()1(1)1(1)s tsee 1()1( )F stF s ()s tsee te ()P Xt（与（与s无关）无关）0, 0ts).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx记记为为的的正正态态分分布布或或高高斯斯分分布布服服从从参参数数为为则则称称为为常常数数其其中中的的概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量定定义义 4. 正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布)10dxxfxf)(,)(可以证明可以证明易知易知满足连续型随机变量的两个最基本性质2dtedte2tt22,:用到泊松积分 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是

40、最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;21)(,)2(xfx取得最大值取得最大值时时当当 ;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x ; 0)(,)3(xfx时时当当即曲线以即曲线以x轴为渐近线轴为渐近线222)(xe21f(x);,)(,)(轴轴作作平平移移变

41、变换换着着只只是是沿沿图图形形的的形形状状不不变变的的大大小小时时改改变变当当固固定定xxf5故称故称为位置参数为位置参数-.,)(,)(图形越矮越胖图形越矮越胖越大越大图形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不变图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变当固定当固定xf6故称故称为形状（或离散）参数为形状（或离散）参数正态分布的分布函数正态分布的分布函数txFxtde21)(222)( ? 21)()(FXP但但).1, 0(,1, 0),(2NN记记为为态态分分布布的的正正态态分分布布称称为为标标准准正正这这样样时时中中的的当当正正态态分分布布 标准正态分布的概率

42、密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,e21)(22 xxx 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为.,de21)(22 xtxxt解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 0.977250.8944 .225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知例例4 4 0.08285 . 查查p168标准正态分布表标准正态分布表正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算例例2.2.2()1( ) xx易知例例5 设XN(0,1)，求P( | X |1.96 )解解 P( | X |1.96)=P(-1.96X1.96) =20.975-1=0.95=(

43、1.96)-1- (1.96)=2(1.96)-1=(1.96)-(-1.96)书书P42 图图2.2.10 双侧双侧 分位数分位数 2u816816(2)0.977344XP XP880( 2)1(2)0.022744 XP XP12882081220(3)(1)4440.99870.84130.1574XPXP查表得由引理,已知求16, 0P XP X及1220PX)(8,4 2NX引理若2(,)XN 则(0,1)XYN解解例例6 6 例例2.2.3设2(,)XN 内的概率落在区间求),(kkX), 3 , 2 , 1 (kP XkPkXk于是2(1) 10.6826 P X2 2(2)

44、10.9544 P X3 2(3) 10.9973P X 3 13 0.00270.003P XP X 则有.003. 0)3,3(不会发生在实际问题中常认为它，以外的概率小于落在 X1)(2)()(kkkkXkP例例2.2.42.2.4 解解?,99. 080)2(.89,90)1().5 . 0,(,)(,.o2oo至至少少为为多多少少问问低低于于的的概概率率不不至至少少为为若若要要求求保保持持液液体体的的温温度度的的概概率率小小于于求求若若且且是是一一个个随随机机变变量量计计以以液液体体的的温温度度调调节节器器整整定定在在容容器器内内贮贮存存着着某某种种液液体体的的将将一一温温度度调调节

45、节器器放放置置在在dCXddNXCXCd (1) 所求概率为所求概率为89 XP)(.25090895090XP)2(1 9772. 01 .0228. 0 解解例例799. 080)2( XP99. 0801 XP99. 05 . 0801 d ,99. 05 . 080d327. 2)99. 0(0.580-d1即.1635.81 d第三节第三节 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布).(,)(,)(XgYXYxgyxXYxXxg记作记作的函数的函数为随机变量为随机变量则称随机变量则称随机变量的值的值而取而取取值取值随着随着若随机变量若随机变量的集合上的函数的集合上的函数的一切可能值的

46、一切可能值是定义在随机变量是定义在随机变量设设问题问题?)(的的分分布布分分布布求求得得随随机机变变量量的的量量如如何何根根据据已已知知的的随随机机变变XgYX2(1)2;(2)(1)XYXZX设随机变量 具有以下分布(如下表)，试求的分布律。P-10120.20.30.10.4一、离散型随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布例例1的分布律为得由YpkXPkYPk2YP-20240.20.30.10.4解解Y-1012-2024(1)2YXP-10120.20.30.10.4010.1P ZP X=的分布律为故zZP0140.10.70.21020.7P ZP XP X410.2P

47、 ZP X Z-101241012(1)ZX(2)例例2.3.1P-10120.20.30.10.4离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布的分布律为的分布律为若若也是离散型随机变量也是离散型随机变量其函数其函数是离散型随机变量是离散型随机变量如果如果XXgYX.)(, XPkxxx21kppp21的分布律为的分布律为则则)(XgY P)(XgY kppp21)()()(21kxgxgxg.,)(合并合并应将相应的应将相应的中有值相同的中有值相同的若若kkpxgY 的分布律为的分布律为Yp4 1 2121Xkp211 616263练习练习 设设.52的分布律的分布律求求 XY解解

48、第一步第一步 先求先求Y=2X+8 的分布函数的分布函数).(yFY)(yYPyFY 82yXP 解解二、连续型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布.82., 0, 40,8)(的概率密度的概率密度求随机变量求随机变量其他其他的概率密度为的概率密度为设随机变量设随机变量 XYxxxfXX例例2 2)()(yFyfyY 28yFX28 yXP,)28)(28( yyfX第二步第二步 由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度.28yFX ., 0, 4280,21)28(81)(其他其他所以所以yyyfY ., 0,168,328其他其他yy)(, 0yFaY下下面面先先求求设设 )

49、(yFYybaXPyYP )(abyFabyXPX .)0(, ),(2也服从正态分布也服从正态分布性函数性函数的线的线试证明试证明设随机变量设随机变量 abaXYXNX例例2.3.2证明证明的的概概率率密密度度为为求求导导，得得关关于于将将baXYyyFY )( )(yfY)(1)(abyfaabyabyfXX 以同样的方法可以求得以同样的方法可以求得若若, 0 a.,e21)(222)( xxfxX.,e21e211)(2222)(2)(2 yaayfabayabyY )(yFYybaXPyYP )(1abyFabyXPX )(yfY)(1)(abyfaabyabyfXX ).)( ,(2

50、abaNbaXY ba,1在上例中取特别地,得) 1 , 0( NXY果这就是上一节引理的结.,e|21)(22)(2)( yayfabayY常用结论常用结论,请记住请记住.,),(2的概率密度求具有概率密度设随机变量XYxxfXX)(),(,yFxFYXYX的分布函数为的分布函数为分别记分别记0002)(,yFyXYY时，时，故当故当由于由于)(2yXPyYPyFYyXyP()()XXFyFy-例例2.3.42.3.4解解)()(yYPyFYY的分布函数的分布函数先求先求时有时有当当0y)(yXP2的的概概率率密密度度为为即即得得求求导导关关于于将将yyyFY,)( )(yfY . 0,00