北京大学量子力学课件-第6讲ppt.ppt

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1、 第第 六六 讲讲 . 薛定谔方程的讨论薛定谔方程的讨论 波包扩展的时间量级波包扩展的时间量级 我们从所举的例子可以估算到波包扩展的时我们从所举的例子可以估算到波包扩展的时间量级间量级 人：人： 亿年亿年 尘粒：尘粒： 万年万年 电子：电子： 秒秒13102101610 波函数随时间的演化可用波函数随时间的演化可用Green函数函数来实现。来实现。 格林函数的含义是：格林函数的含义是： 时刻，粒子处于时刻，粒子处于 ，则，则 时刻，时刻， 处发现粒子的几率密度振幅就处发现粒子的几率密度振幅就 是是 ，即，即 rd) t , r () t , r ; t , r (G) t , r ( 0t0r

2、tr)t ,r ; t , r (G00)rr (e)t ,r; t , r (G) t , r ()tt)(P, r(Hi01000 B粒子数守恒粒子数守恒 在非相对论的情况下，在非相对论的情况下，波函数波函数应满足方程应满足方程 这即要求，凡满足这即要求，凡满足Schrodinger eq.的波函数，的波函数，必须满足上式。必须满足上式。 若取若取 0rddtd2 2 则则 称为几率流密度矢。称为几率流密度矢。这这即为几率守恒的微分即为几率守恒的微分形式。形式。 0jt )PRe(m1)(m2ij* j C. 多粒子体系的薛定谔方程多粒子体系的薛定谔方程 设：体系有设：体系有 个粒子，质量

3、分别为个粒子，质量分别为 ，所处的位势为，所处的位势为 ，相互作用为，相互作用为 ，则则其中其中21m,m)r (Vi)r ,r (Vjiij) t ,r,r ,r () t ,P,r,P,r ,P,r (H) t ,r,r ,r (tiN21NN2211N21iNjijiijiii2i)r ,r (V)r (Vm2PHN . 不含时间的薛定谔方程，定态问题不含时间的薛定谔方程，定态问题 我们已介绍一些极为有用的特例，即位势与我们已介绍一些极为有用的特例，即位势与时间无关时间无关 。 （1） 不含时间的薛定谔方程不含时间的薛定谔方程 由于由于H与与t无关，可简单地用分离变数法求特解。无关，可简

4、单地用分离变数法求特解。 ) r (V) t , r (V) t , r ()p , r (H) t , r (ti ) t , r ()r (Vm2p (2 即即H与与t无关时，含时间的薛定谔方程的特解为：无关时，含时间的薛定谔方程的特解为： 其中其中 方程被称为不含时间的薛定谔方程方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称为能量，或称为能量本征方程。本征方程。 根据态叠加原理根据态叠加原理 /iEtEEe ) r (u) t , r ( ) r (Eu) r (u)p , r (HEE 是含时间的薛定谔方程的一个特解，也就是，是是含时间的薛定谔方程的一个特解，也就是，是 该体系的一个可能态。所以

5、普遍的可能态一定可该体系的一个可能态。所以普遍的可能态一定可 表为表为/iEtEEe ) r (u) t , r ( dEe ) r (u)E( c) t , r (/iEtE dE) t , r ()E( cE 通常称通常称 （其中（其中 ）为）为定态定态波函数。波函数。 对体系可按各种定态波函数展开来表示。但对体系可按各种定态波函数展开来表示。但只有按自身的定态波函数展开时，系数只有按自身的定态波函数展开时，系数 C 才与才与t无关。否则与无关。否则与t有关。有关。 （2）定态：）定态： A. 定态定义定态定义：具有确定能量的态，称为体具有确定能量的态，称为体系的定态，或者说，以波函数系的

6、定态，或者说，以波函数 /iEtEEe ) r (u) t , r ( ) r (Eu) r (u)p , r (HEE/iEtEEe ) r (u) t , r ( B. 定态的性质：定态的性质：若体系若体系Hamiltonian与与t无关，无关，则则 1体系的几率密度不随时间变化，几率流体系的几率密度不随时间变化，几率流密度矢的散度为密度矢的散度为0（即无几率源）。（即无几率源）。这表明，在任何地方都无几率源，空间的几率这表明，在任何地方都无几率源，空间的几率密度分布不变。密度分布不变。 2E2E) r (u) t , r ( 0j0t 2几率流密度矢，不随时间变化。几率流密度矢，不随时间

7、变化。 3. 任何不含任何不含 t 的力学量在该态的平均值不随的力学量在该态的平均值不随时间变化。时间变化。)t , r () t , r () t , r () t , r (m2ij*EEE*E )r (u) r (u) r (u) r (u(m2i*EEE*Erd) t , r ()p , r (A) t , r (AE*E rd) r (u)p , r (A) r (uE*E 4. 任何不显含任何不显含 t 的力学量在该态中取值的的力学量在该态中取值的几率不随时间变化。几率不随时间变化。 2.6 测不准关系测不准关系 由于粒子应由态函数由于粒子应由态函数 来描述。因此，来描述。因此，就

8、不能像经典那样以每时刻就不能像经典那样以每时刻 ， 来描述（事来描述（事实上由前一节也看出，自由粒子的动量并不一定实上由前一节也看出，自由粒子的动量并不一定取一个值）。但是否仍能像经典那样在取一个值）。但是否仍能像经典那样在 处发处发现粒子具有动量现粒子具有动量 呢？呢？ ) t , r ( 0rpr0p W.Heisenberg指出：指出：当我们测量客体的当我们测量客体的动量如有一测不准度动量如有一测不准度 （即客体动量在这区（即客体动量在这区域中的几率很大），我们在同时，不可能预言域中的几率很大），我们在同时，不可能预言它的位置比它的位置比 更精确。更精确。也就是说，在同一也就是说，在同一

9、时刻测量动量和位置，其测不准度必须满足时刻测量动量和位置，其测不准度必须满足类似类似 这称为这称为Heisenberg测不准关系。测不准关系。 xpxpxpx ypyzpz 应该注意：这是实验的结果应该注意：这是实验的结果; 当然也是波当然也是波一粒两象性的结果；自然也是波函数几率解释一粒两象性的结果；自然也是波函数几率解释和态叠加原理的结果。和态叠加原理的结果。 我们将从几个方面来论述它我们将从几个方面来论述它: :（1 1）一些例子）一些例子： A.A. 具有确定动量具有确定动量 （一维运动）的自由粒子，（一维运动）的自由粒子， 是以是以 来描述，其几率密度来描述，其几率密度 0p/ )

10、tExp( i21pp00e)2(1) t , x( 21) t , x(2p0 所以，对任何所以，对任何 处的相对几率都相同。也就处的相对几率都相同。也就是说，发现粒子在是说，发现粒子在 区域中的几率都区域中的几率都相同。所以，相同。所以， 的不准确度为的不准确度为 ，虽，虽 ，但不违背测不准关系。但不违背测不准关系。 B如一个自由粒子是由一系列沿如一个自由粒子是由一系列沿x方向的方向的平面波叠加而成的波包描述。平面波叠加而成的波包描述。设：设：k很小，很小， 变化很缓慢，可近似取为变化很缓慢，可近似取为 0px kkkk) tkx( idke)k(C) t , r (0021)k(C)k(

11、C0 xdxxxiix所以，所以， lk)kk(kk000 0kk00dkd)kk( 0kk0dkdl kklt)dkd(xi) txk( i0dlee2)k(C) t , r (000 ) txk( i0000etdkdxk tdkdxSin22kC 这是具有一定形状沿这是具有一定形状沿x方向传播的波包。方向传播的波包。波波包的极大值位置为包的极大值位置为 ，所以它移动的速度所以它移动的速度 即粒子的速度，如前述称为群速度。即粒子的速度，如前述称为群速度。在在 时，位相为时，位相为 0t)dkd(x0k 00kkg)dpdE()dkd(dtdxv 00t ,x 00000txk 在在 时，位

12、相也为时，位相也为 所以，位相传播速度所以，位相传播速度 ，如前述如前述称为相速度。称为相速度。 这个波包扩展度的区域不是任意小，即这个波包扩展度的区域不是任意小，即 t , xtxk000 0000ppEktxv k2x 于是有于是有 所以要波包仅局限于空间一定区域所以要波包仅局限于空间一定区域，相应，相应 的扩展度不可能任意小；当的扩展度不可能任意小；当 的扩展度一定时，的扩展度一定时，那那波包波包的扩展度也不可能任意小。的扩展度也不可能任意小。 （2 2）一些实验：）一些实验： A A位置测量位置测量：一束电子平行地沿：一束电子平行地沿 方向方向入射，通过窄缝入射，通过窄缝 ，从而测出，

13、从而测出 方向的位置。在方向的位置。在 方向有一不确定度方向有一不确定度y=ay=a，而人们认为，而人们认为 h2pxx 0py0ypyxPxPxayy但事实上，通过缝后，在不同位置接收到的电但事实上，通过缝后，在不同位置接收到的电 子数的多少显示出干子数的多少显示出干 涉图象（电子数的大涉图象（电子数的大 小），这一单缝干涉小），这一单缝干涉 的第一极小为的第一极小为即通过单缝后，电子在即通过单缝后，电子在 方向的动量不再为方向的动量不再为 0， asin1y而在而在0附近有一宽度附近有一宽度 所以，当测量所以，当测量y的位置越精确（即的位置越精确（即a越小），越小），那动量在那动量在y方向

14、越不精确，它们的精确度至少要方向越不精确，它们的精确度至少要 满足满足 B B用显微镜测量电子的位置用显微镜测量电子的位置：一束具有确：一束具有确定动量定动量 的电子沿的电子沿x x轴运动。轴运动。用显微镜观察被电用显微镜观察被电子散射的光束来测量电子的位置。但子散射的光束来测量电子的位置。但成的像是一成的像是一衍射斑点衍射斑点。所以，。所以，显微镜的分辩率为（即电子位显微镜的分辩率为（即电子位ahsinpp1y hpyyxP置的精度）置的精度） 事实上，光子是一事实上，光子是一个个到达屏上（个个到达屏上（ ） 0 xhsinhsinppx hpxx sinx （3）测不准关系是波一粒两象性的

15、必然结果）测不准关系是波一粒两象性的必然结果 因波粒两象性的实验事实，要求用波函因波粒两象性的实验事实，要求用波函数来描述物质粒子，且要求对波函数进行几率数来描述物质粒子，且要求对波函数进行几率解释，并有叠加性。解释，并有叠加性。 用用 来描述物质粒子时，它总可以表来描述物质粒子时，它总可以表为为由由Fourier逆变换有逆变换有 ) t , x( dke21) t , k(C) t , x(xik dxe21) t , x() t , k(Cxik 从从Fourier变换理论知：变换理论知： 的扩展范围的扩展范围（即有意义的区域）和它的富氏变换（即有意义的区域）和它的富氏变换 所扩所扩展的范

16、围不能同时任意小。展的范围不能同时任意小。 几率解释态叠加原理给出了几率解释态叠加原理给出了FourierFourier变换变换理论用在量子力学波函数时的物理含意。理论用在量子力学波函数时的物理含意。) t , x( ) t , k(C2) t , x(x2) t , k(Ck1kxxpx（4）能量时间测不准关系）能量时间测不准关系 A能量时间测不准关系：能量时间测不准关系：在狭义相对论在狭义相对论 中，中， ， 都看作四度矢，所以有都看作四度矢，所以有 测不测不准关系，即推测准关系，即推测 也应有。也应有。 当固定当固定t t时，有时，有 ) t , r (r , pt ,E dke21)

17、t , k(C) t , x(xik dxe21) t , x() t , k(Cxik )E,p(现固定现固定x，有，有 B B能量时间测不准关系的物理含意能量时间测不准关系的物理含意 1 1在空间固定处，发现体系如有一不确在空间固定处，发现体系如有一不确 定的时间间隔定的时间间隔tt，那该体系的能量必有一扩那该体系的能量必有一扩 展度展度EE，且有且有 。 de21), x(C) t , x(tidte21) t , x(), x(Cti , 1t ,tEtE 例如：若一个自由粒子的波包宽例如：若一个自由粒子的波包宽 ，它通，它通过过 所需时间所需时间 。所以，在间隔。所以，在间隔 内，都

18、有可能在内，都有可能在 处发现粒子。由处发现粒子。由 所以，这一自由粒子波包的能量并不是取确所以，这一自由粒子波包的能量并不是取确定值，而是有一扩展度。定值，而是有一扩展度。0 xx gvx 00tt0 xxxgpxEpExvx 2 2体系几率分布发生大的改变需时间体系几率分布发生大的改变需时间tt，那体系的能量不确定度为那体系的能量不确定度为 ，使，使 例例1：定态：其几率分布不随时间变，所以：定态：其几率分布不随时间变，所以要使这一分布发生变化，则要求要使这一分布发生变化，则要求 ，所以，所以 （即具有确定能量）。（即具有确定能量）。 例例2：若体系的波函数为：若体系的波函数为 EtEt0

19、E)ee(21/ tiEE/ tiEE2211 )(/ t )EEcos(2(211221EE2E2E22121 所以几率分布在所以几率分布在 和和 之之间振荡，振荡周期间振荡，振荡周期 。所以体系几率分布发生明显变化的时间间隔所以体系几率分布发生明显变化的时间间隔 ， 即即 。2EE)(2121 22121)(EE 2 21EE21EE E2EE21 2 E 3 3若体系能量有一不确定度若体系能量有一不确定度EE，体系，体系保持不变的平均时间不小于保持不变的平均时间不小于 例：不稳定体系的能级有一定宽度例：不稳定体系的能级有一定宽度 ，所以，平均寿命所以，平均寿命 。 （5）一些应用举例：）

20、一些应用举例：测不准关系可用作一些测不准关系可用作一些 问题的数量级的估计问题的数量级的估计 A类氢离子的基态能量估计类氢离子的基态能量估计： 设：类氢离子的电子轨道半径为设：类氢离子的电子轨道半径为 r（在一（在一EEE 平面中），所以，不确定度平面中），所以，不确定度 。因此。因此 ，于是，于是， 由由 所以，所以， rr rpr4Zem2pE022 r4Zemr2022202200amZe4r0rE 002ga8ZeE B. B. 考虑重力下粒子的考虑重力下粒子的“静止静止” 现作一简单的估计现作一简单的估计: 经典经典“基态基态”是静止的。是静止的。而量子粒子其位置有一不确定度而量子粒

21、子其位置有一不确定度 ，动量也有，动量也有一不确定度一不确定度 。所以，。所以， ，0z0zmgz) z (VZ zpzmgzm2zmgm2pE2223122)gm(z0zEm1017. 1)mm(z332e所以，对于经典物理学，则认为所以，对于经典物理学，则认为 z=0。而对于。而对于量子粒子则为量子粒子则为 i. 尘粒：尘粒： , ; ii. 电子：电子： 。 C. C. 介子质量的预言介子质量的预言 核子与介子场相互作用而导致与另一核核子与介子场相互作用而导致与另一核子作用。如核力是通过核子交换新的量子（介子作用。如核力是通过核子交换新的量子（介子）来实现。若该介子的静止质量为子）来实现

22、。若该介子的静止质量为，则，则核子在发射前后有一能量不确定度（改变），核子在发射前后有一能量不确定度（改变），zi. 克310mm10z11m1017. 1z3其最小的值为其最小的值为 。因此时间有一（最大）。因此时间有一（最大）不确定度（由于动能改变没计入，所以能量改不确定度（由于动能改变没计入，所以能量改变以最小估计。因而时间不确定度，即体系保变以最小估计。因而时间不确定度，即体系保持不变的平均时间是最大估计）持不变的平均时间是最大估计）即即 的范围内的任何时间发射介的范围内的任何时间发射介子都有较大的几率。可在这一段时间内，任一子都有较大的几率。可在这一段时间内，任一时间发射，可移动的最

23、大距离或在最远处而被时间发射，可移动的最大距离或在最远处而被2cE 2200 tt2cE 另一核子吸收（下一时刻将发射另一介子），另一核子吸收（下一时刻将发射另一介子），所以二核子交换一个介子的相互作用的最大力所以二核子交换一个介子的相互作用的最大力程程（即介子的康普顿波长的（即介子的康普顿波长的 ）。）。实验测得核力力程为实验测得核力力程为1.41.4fmfm。所以，。所以， cc 21 fm4 . 1c 即得即得 （实验值为（实验值为139MeV） 就我个人的看法：就我个人的看法： 测不准关系是对两个物测不准关系是对两个物理量同时测量结果可能值的最佳区域（或不确定理量同时测量结果可能值的最

24、佳区域（或不确定度）关系的约束，它不是测量的影响。度）关系的约束，它不是测量的影响。 Mev141fm4 . 1fmMeV32.197fm4 . 1cc2 第三章第三章 一维定态问题一维定态问题 现在从最简单的问题来应用所得的原理和方现在从最简单的问题来应用所得的原理和方程：一维，不显含时间的位势程：一维，不显含时间的位势且位势有一定性质时，如且位势有一定性质时，如则三维问题可化为一维问题处理。所以一维问题则三维问题可化为一维问题处理。所以一维问题是解决三维问题的基础。是解决三维问题的基础。 ) r (V) t , r (V)z(V)y(V)x(V) r (V) r (V) r (V3.13.

25、1一般性质一般性质 设粒子具有质量设粒子具有质量m，沿，沿x轴运动，位势为轴运动，位势为 ，于是有于是有 （1）定理）定理1：一维运动的分立能级（束缚态），一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的。一般是不简并的。 简并度（简并度（degeneracy）：一个力学量的某个）：一个力学量的某个测量值，测量值，可在可在 n 个独立的（线性无关的）波函个独立的（线性无关的）波函数中测得，则数中测得，则称这一称这一 测量值是具有测量值是具有n 重简并度。重简并度。)x(V)x(Eu)x(u)x(Vdxdm2(222 如某能量本征值有如某能量本征值有 n 个独立的定态相对应，则个独立的定态相对应，则

26、称这能量本征值是称这能量本征值是 n 重简并的。重简并的。 证：假设证：假设 , 是具有同样能量的波函数是具有同样能量的波函数 (1) (2)1u2u)x(Eu)x(u)x(Vdxdm2(11222)x(Eu)x(u)x(Vdxdm2(22222)2(u) 1 (u12从而得从而得 于是于是 (c是与是与 x 无关的常数无关的常数)对于束缚态对于束缚态 （或在有限区域有某（或在有限区域有某值使值使 ），所以），所以 c0。从从而有而有 0)x(udxdu)x(udxdu22211222c)x(uu)x(uu21120u,xi0)x(uu)x(uu2112 若若 不是处处为零，则有不是处处为零，

27、则有应当注意应当注意: . 分立能级是不简并的，而对于连续谱时，分立能级是不简并的，而对于连续谱时， 0)x(uu)x(uu2112 )x(u)x(u12)u(ln)u(lnuuuu121122)x(Au)x(u21若一端若一端 ，那也不简并。但如两端都不趋于，那也不简并。但如两端都不趋于0（如自由粒子），则有简并。（如自由粒子），则有简并。 当变量在允许值范围内（包括端点），当变量在允许值范围内（包括端点）， 波函数无零点，就可能有简并存在。（因常数波函数无零点，就可能有简并存在。（因常数c0）。）。 当当 V(x) 有奇异点，简并可能存在。因有奇异点，简并可能存在。因这时可这时可能能导致导

28、致 处处为零。处处为零。 0u )x(u)x(u12推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然可推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然可 保留一相因子）。保留一相因子）。 证证 令令 （ 都是实函数）都是实函数）则则 )x(uE)x(u)x(Vdxdm2(nnn222)x(iI)x(R)x(unnn)x(I),x(Rnn)x(RE)x(R)x(Vdxdm(nnn 2222 但对束缚态，没有简并，所以只有一个解，但对束缚态，没有简并，所以只有一个解，因而因而 Rn 和和 In 应是线性相关的，所以应是线性相关的，所以 因此，因此， )x(R)i1 ()x(unn )x(RAeni nnRI )x

29、(IE)x(I)x(Vdxdm2(nnn222 （2）不同的分立能级的波函数是正交的）不同的分立能级的波函数是正交的。 （1） （2）)x(u)x(u)EE()x(u)x(u)x(u)x(u(m*1221211222 *1*2)2(u) 1 (u)x(uE)x(u)x(Vdxdm(1112222 )x(uE)x(u)x(Vdxdm(2222222 所以所以 从而证明得从而证明得 。（3）振荡定理）振荡定理：当分立能级按大小顺序排列，：当分立能级按大小顺序排列，一般而言，第一般而言，第n+1条能级的波函数，在其取值条能级的波函数，在其取值范围内有范围内有n个节点（即有个节点（即有n个个x点使点使

30、 ，不，不包括边界点或包括边界点或远）。远）。所以 从而证明得 。)uuuu(dxdm2dxuu)EE(*211*221*2210) )x(u)x(u)x(u)x(u(m2211*220dxuu1*20)x(ui 基态无节点（当然处处不为零的波函数没基态无节点（当然处处不为零的波函数没有这性质，如有这性质，如 （它是简并的），同样，（它是简并的），同样，多体波函数由于反对称性，而可能无这性质）多体波函数由于反对称性，而可能无这性质） （4）在无穷大位势处的边条件）在无穷大位势处的边条件：首首先讨论先讨论有有限大小的间断点，由方程有有限大小的间断点，由方程即即 ime)x(Eu)x(u)x(Vd

31、xdm2(222)x(u)x(VE()x(udxdm2222 由于由于 存在，即存在，即 存在，存在，即即 的导数存在，所以函数连续，也就是波的导数存在，所以函数连续，也就是波函数导数连续。函数导数连续。 而在位势是无穷时又如何呢？而在位势是无穷时又如何呢？设设 )x(u)x(VE )x(udxd22)x(udxd 0VE )x(Eu)x(u)Vdxdm( 022220 x)x(Eu)x(udxdm 22220 x令令 , 所以，所以， 得解得解 2mE2k20)EV(m2uu2 0 x uku2 0 x 0 x)kxsin(A0 xceBe)x(uxx要求波函数有界，所以要求波函数有界，所以

32、C0，要求波函数要求波函数x=0处连续，且导数连续处连续，且导数连续 当当E给定，给定，所以，所以， BsinABcoskAK1tank1,V0. 0sin0tan0B于是，当于是，当 , 方程有解方程有解 这表明，这表明，在无穷大的位势处，波函数为在无穷大的位势处，波函数为0，边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导数的连续性。数的连续性。当然，几率密度和几率流密度矢当然，几率密度和几率流密度矢总是连续的。总是连续的。 0V0 x00 xkxsinA)x(u0 x00 xV)x(V03.23.2阶梯位势：讨论最简单的定态问题阶梯位势：讨论最简单的定态问题