自适应控制理论基础ppt课件.pptx

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1、Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering1.李雅普洛夫意义下的稳定性李雅普洛夫意义下的稳定性2.李雅普洛夫第一法李雅普洛夫第一法3.李雅普洛夫第二法李雅普洛夫第二法4.线性定常系统李雅普洛夫稳定性分析线性定常系统李雅普洛夫稳定性分析Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering 满足满足 即即x不再随时间变化不再随时间变化),(tf xx 0 xx),(tfeen对线性定常系统：对线性定常系统：Axx 其平衡状态满足其平衡状态满足0Axe当当A 非奇异，只有唯一

2、零解（即零状态）；非奇异，只有唯一零解（即零状态）；当当A 奇异，有无穷多个平衡点。奇异，有无穷多个平衡点。n对非线性系统，可能有一个或多个平衡状态。对非线性系统，可能有一个或多个平衡状态。Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineeringn对平衡状态对平衡状态xe，初始状态，初始状态 x0， 若对任意规定若对任意规定，在，在 t 0过程中，过程中，满足：满足： 则平衡点则平衡点 xe 是在李雅普洛夫意是在李雅普洛夫意义下是义下是。n与与有关，通常也与有关，通常也与 t0有关。有关。n如果如果与与t0无关，则为无关，则为。00,ttx

3、xe000,),;(ttxtxtxeMobile Computing CenterSchool of Automation Engineeringn设平衡点设平衡点 xe 是在李雅普洛夫意义是在李雅普洛夫意义下是稳定的，同时满足下是稳定的，同时满足 则称该平衡状态是渐近稳定的。则称该平衡状态是渐近稳定的。0),;(lim00etttxxxMobile Computing CenterSchool of Automation Engineeringn当初始条件扩展至整个状态空间，平衡状态当初始条件扩展至整个状态空间，平衡状态均具有渐近稳定性，称为大范围（全局）渐均具有渐近稳定性，称为大范围（全局

4、）渐近稳定。近稳定。n对线性系统，如果是渐近稳定的，则必定是对线性系统，如果是渐近稳定的，则必定是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的。n非线性系统的稳定性往往与初识条件有关。非线性系统的稳定性往往与初识条件有关。Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineeringn如果对于某个实数如果对于某个实数 0和任一实数和任一实数 0，不管其，不管其多么小，在多么小，在S()内总存在一个状态内总存在一个状态x0，使得由该状，使得由该状态出发的轨迹超出态出发的轨迹超出S()，则平衡状态，则平衡状态xe称为是不稳称为是不稳定的。定的。Mobile C

5、omputing CenterSchool of Automation Engineering 利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性，即间接法。利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性，即间接法。 对线性定常系统对线性定常系统 有：有：n系统的每一平衡状态是在李雅普洛夫意义下稳定的充要系统的每一平衡状态是在李雅普洛夫意义下稳定的充要条件为：条件为：的所有特征值均具有的所有特征值均具有，且具有零实，且具有零实部的特征值为单根；部的特征值为单根；n系统的唯一平衡状态系统的唯一平衡状态 是渐近稳定的充要条件为：是渐近稳定的充要条件为：的所有特征值均具有的所有特征值均具有。, 0,)0(,0txxAx

6、x Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering 又称直接法，引入一个能量函数（即又称直接法，引入一个能量函数（即），利用该函数及其导数函数的符号特征直接），利用该函数及其导数函数的符号特征直接对平衡状态的稳定性做出判断。对平衡状态的稳定性做出判断。n能量函数总大于零；能量函数总大于零；n对稳定系统，能量函数具有衰减特性，即能量函数对稳定系统，能量函数具有衰减特性，即能量函数的导数应小于零。的导数应小于零。Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering 对连续时间非

7、线性时变自由系统对连续时间非线性时变自由系统 其中其中f (0, t) = 0为系统的平衡状态。如果存在一个对为系统的平衡状态。如果存在一个对x 和和 t 具有连续一阶偏导数的标量函数具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t), V(0,t) = 0, 且满且满足如下条件：足如下条件：，即有，即有，即有，即有n则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。0, ),(tttfxx 0),(xtxVx0),(xrtxV),(,txVxx，时时当当Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering 对定

8、常系统对定常系统 其中其中f (0) = 0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数函数V(x), V(0) = 0, 对于状态空间的一切非零对于状态空间的一切非零x 满足：满足：nV(x)为正定的；为正定的；nV(x)的导数为负定的；的导数为负定的；n当当则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。0, )(tf xx )(,xVx时时Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering 对定常系统对定常系统 其中其中f (0) = 0，如果存在一个具有连续一

9、阶导数的标量，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数函数V(x), V(0) = 0, 对于状态空间的一切非零对于状态空间的一切非零x 满足：满足：nV(x)为正定的；为正定的；nV(x)的导数为半负定的；的导数为半负定的；n对任意对任意 不恒为不恒为0 ；n当当则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。0, )(tfxx ) )0,;(,0 xtxVXx)(,xVx时时Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering （） 对时变或定常系统，对时变或定常系统，如果存在一个具有连续一阶（偏）

10、导数的标量函数如果存在一个具有连续一阶（偏）导数的标量函数V(x,t), 或或V(x), （其中（其中V(0,t) = 0, V(0) = 0），对于状态空），对于状态空间中围绕原点的某个域的一切间中围绕原点的某个域的一切 x和一切和一切 t t0 满足：满足：nV(x,t)正定且有界，或正定且有界，或V(x)为正定的；为正定的；nV(x,t)对时间对时间 t 的导数正定且有界，的导数正定且有界， V(x)的导数为正的导数为正定的；定的；则系统平衡状态为不稳定。则系统平衡状态为不稳定。Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering

11、设系统状态方程为设系统状态方程为)()(22212122221121xxxxxxxxxxn沿任意轨迹沿任意轨迹V(x)对时间的导数对时间的导数 2221)(xxxV显然，原点为系统的唯一平衡状态显然，原点为系统的唯一平衡状态n选一正定的标量函数选一正定的标量函数 222212211)(222)(xxxxxxxV即为负定的即为负定的 n当当 )(,xVx时时故系统在原点处是大范围渐近稳定的。故系统在原点处是大范围渐近稳定的。Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering设系统状态方程为设系统状态方程为2221221)1 (xxxxx

12、x显然，原点为系统的唯一平衡状态显然，原点为系统的唯一平衡状态n选一正定的标量函数选一正定的标量函数 nV(x) 对时间的导数为对时间的导数为 n检验检验 是否不恒为是否不恒为0 ) )0 ,;(0 xtxVn当当 )(,xVx时时故系统在原点处是大范围渐近稳定的。故系统在原点处是大范围渐近稳定的。Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineeringn对系统对系统 选择一正定二次型函数选择一正定二次型函数 P 为正定对称矩阵为正定对称矩阵 , 0,)0(,0txxAxx xxxPVT)(QxxxQPAPAxPAPAxxPxPxxxTTT

13、TTTVV)()()(则则令令则有则有n只要矩阵只要矩阵 Q 正定，则系统是大范围渐近稳定的。正定，则系统是大范围渐近稳定的。 Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering 对线性定常系统对线性定常系统 其渐近稳定的充要条件为：其渐近稳定的充要条件为： 存在一个正定对称矩阵存在一个正定对称矩阵P，使得由，使得由 ATP+PA=Q 所确所确定矩阵定矩阵 Q 为正定矩阵。为正定矩阵。 其中，其中，xTPx 即为系统的一个即为系统的一个Liyapunov函数。函数。 对上述线性定常系统，其渐近稳定的充要条件为：对上述线性定常系统，其渐

14、近稳定的充要条件为： 对于任意给定的正定矩阵对于任意给定的正定矩阵 Q ，存在唯一的正定对称，存在唯一的正定对称矩阵矩阵P，使，使 ATP+PA=Q 成立。成立。Axx Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering设系统状态方程为：设系统状态方程为：求系统的求系统的Liyapunov函数函数212112840 xxxx设设1001,122122211211QppppppP且且 则由则由 ATP+PA=Q 可解得可解得161,161,16522211211ppppMobile Computing CenterSchool of A

15、utomation Engineering显然，显然，n为正定矩阵为正定矩阵161161161165P验证：验证：负定负定，正定正定)()(2)(8121)(,)(1614116181165)(22212212121211122121222121xxxxxxxxxxxxxVxxxxxxxPxxxVT故系统渐近稳定故系统渐近稳定Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering设线性定常离散系统状态方程为：设线性定常离散系统状态方程为：,.2 , 1 , 0,)0(, )() 1(0kxxkkxx取正定二次型函数取正定二次型函数)()(

16、)()()()()()()() 1() 1()()1()()()()(kkkkkkkkkkkkkkkkkTTTTTTTQxxxVQPPPxxxPxPxxPxxxVxVxVPxxxV则则令令则则有有Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering 对上述线性定常离散系统，其渐近稳定对上述线性定常离散系统，其渐近稳定的充要条件为：的充要条件为： 对于任意给定的正定矩阵对于任意给定的正定矩阵 ，存在唯一的，存在唯一的正定对称矩阵正定对称矩阵 ，使，使 成立。成立。n相关概念及分析求解方法同连续系统相关概念及分析求解方法同连续系统Mobil

17、e Computing CenterSchool of Automation Engineering二二 动态系统的正实性动态系统的正实性1.正实函数与正实矩阵正实函数与正实矩阵2.正定积分核正定积分核3.线性定常连续系统的正实性线性定常连续系统的正实性4.线性定常离散系统的正实性线性定常离散系统的正实性Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering () 复变量复变量 s = + j的有理函数的有理函数 若满足：若满足：n当当 为实数时，为实数时，是实的；是实的；n对于所有对于所有 的的 ，;则则 称为正实函数。称为正实函数。M

18、obile Computing CenterSchool of Automation Engineering () 复变量复变量 s = + j的有理函数的有理函数 若满若满足：足：n当当 为实数时，为实数时，是实的；是实的；在右半开平面在右半开平面 上没有极点；上没有极点；在虚轴上如果存在极点，则是相异的（即无重极在虚轴上如果存在极点，则是相异的（即无重极点），且其留数为正或零；点），且其留数为正或零；n对于任意实数对于任意实数 ,当当s = j不是不是 的极点时，有的极点时，有; 则则 称为正实函数。称为正实函数。Mobile Computing CenterSchool of Autom

19、ation Engineering () 复变量复变量 s = + j的有的有理函数理函数 若满足：若满足：n当当 为实数时，为实数时，是实的；是实的；在右半闭平面在右半闭平面 上没有极点；上没有极点；n对于任意实数对于任意实数 , 均有均有; 则则 称为严格正实函数。称为严格正实函数。n严格正实函数在虚轴上无极点。严格正实函数在虚轴上无极点。Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering0,1)(aassWW(s) 极点为极点为sa，a 0，且，且0)(Re)(2222aajWajajW故故W(s) 为严格正实的。为严格正实的。

20、Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering0,0,1)(10012aaasassW可以验证，可以验证，W(s) 在右半平面无极点，在右半平面无极点，212202021220120)()()(Re)()()(aaajWaajaajW可知，当可知，当2 a0时时Reh(j) 0，W(s) 为严格正实函数为严格正实函数当当b1 0 时，则时，则H(s)为为，即系统（，即系统（1）是严格正实的。）是严格正实的。 Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering说明说明】n上

21、述关系在上述关系在D = 0时也同样成立。即在时也同样成立。即在D = 0 时，如时，如上述关系满足，则连续系统的传函是正实的或严上述关系满足，则连续系统的传函是正实的或严格正实的。格正实的。n因因Q 0，故即使，故即使 L = 0，作为充分条件，上述关系，作为充分条件，上述关系式同样成立，并可简化为：式同样成立，并可简化为： ATP + PA = Q BTP = CMobile Computing CenterSchool of Automation Engineering求以下函数为严格正实的条件求以下函数为严格正实的条件的的极极点点位位于于左左半半平平面面。已已知知，且且、其其中中)()

22、(1001201sfaadasascscshMobile Computing CenterSchool of Automation Engineeringn在离散系统中，脉冲在离散系统中，脉冲传递函数为传递函数为h(z)nz 与与 s 的对应关系的对应关系 如果对如果对z= 1 的所有的所有z，有，有Re h(z) =0，则，则h(z)是是正实的。正实的。 并且，如果有使并且，如果有使 h(z) 为正实的为正实的 0 = 0。 h(z)是严格正实的充要条件为：是严格正实的充要条件为：nh(z)在在 z 平面单位圆外和单位圆上均无极点；平面单位圆外和单位圆上均无极点；n对于对于z = ej的所有

23、的所有，均有，均有Re h(ej) = 0。Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineeringnh(z)是是s 的超越函数，要计算的超越函数，要计算 Re h(ej) = 0 一般非一般非常复杂；常复杂；n考虑到考虑到s 与与z 的一些基本对应关系，通过引入一个的一些基本对应关系，通过引入一个双线性变换双线性变换 就可应用连续正实函数判定方法。就可应用连续正实函数判定方法。nh(z)正实性判定举例（正实性判定举例（）wwz11Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering

24、n对线性定常离散系统对线性定常离散系统）完完全全可可观观。）完完全全可可控控，（且且（CABAkDukCxkykBukAxkx,)2()()()()()() 1( 其传递函数矩阵为其传递函数矩阵为 显然显然，H(z)为为z 的实有理函数矩阵。的实有理函数矩阵。如果如果H(z) 为正实函数矩阵，则系统（为正实函数矩阵，则系统（1）称为）称为。Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering 称称H(z) 为正实的，如果为正实的，如果nH(z)的所有元在单位圆外是解析的，即在单位的所有元在单位圆外是解析的，即在单位圆外无极点；圆外无极点

25、；n在单位圆上，在单位圆上， H(z)的任何元均无重极点，相应的任何元均无重极点，相应的留数矩阵为半正定的的留数矩阵为半正定的矩阵矩阵nH(z)在除单位圆上的极点外的所有在除单位圆上的极点外的所有， 矩阵矩阵是半正定的是半正定的矩阵。矩阵。)()()()(jTjTeHeHzHzHMobile Computing CenterSchool of Automation Engineering 称称H(z) 为严格正实的，如果：为严格正实的，如果：nH(z)的所有元在单位圆外是解析的；的所有元在单位圆外是解析的；n对所有对所有， 矩阵矩阵是正定的是正定的矩阵。矩阵。)()()()(jTjTeHeHz

26、HzHMobile Computing CenterSchool of Automation Engineering 设设是离散矩阵核，如果对于每个区间是离散矩阵核，如果对于每个区间k0,k1，以及区间上有界的所有离散向量，以及区间上有界的所有离散向量f( k)，均有，均有 则称则称 F(k, l) 为离散正定矩阵核。为离散正定矩阵核。n对于存在对于存在 z 变换的一类离散核变换的一类离散核 ，它是离散正，它是离散正定矩阵核的定矩阵核的为其为其 z 变换是一个正实函数矩变换是一个正实函数矩阵。阵。10001,0)(),()(kklkklTkklflkFkfMobile Computing Ce

27、nterSchool of Automation Engineering对线性定常离散对线性定常离散系统（系统（2），系统为正实，即），系统为正实，即 为正实函数矩阵的为正实函数矩阵的充要条件是：充要条件是： 存在实矩阵存在实矩阵K、L 和实正定对称矩阵和实正定对称矩阵P，满足，满足TTTTTTTTDDKKPBBCLKPABQLLPPAA 其中，其中，Q = QT 0 时，则时，则H(s)为严格正实函数矩，即系统为严格正实函数矩，即系统（2）是严格正实的。）是严格正实的。 Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineeringn关于关于的

28、说明的说明n在上述关系式中，一般均有在上述关系式中，一般均有BTPB 0 ，因而不允许，因而不允许D=0。故对于离散系统，如果。故对于离散系统，如果D = 0，则系统将不是，则系统将不是正实的。正实的。n因因P 0、 Q 0，故即使，故即使 K = 0 、L = 0，作为充分，作为充分条件，上述关系式同样成立，并可简化为：条件，上述关系式同样成立，并可简化为： ATPA P = Q BTPA = C BTPB = D +DT Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering的的极极点点位位于于单单位位圆圆内内。已已知知，且且、其其中

29、中)()(1001201zhaadazazczczhMobile Computing CenterSchool of Automation Engineering三三 超稳定性理论超稳定性理论Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering（针对一类非线性反馈系统）（针对一类非线性反馈系统）n前向通道（方块）：线性定常系统前向通道（方块）：线性定常系统n反馈通道（方块）：无惯性（或时变的）非线性环节反馈通道（方块）：无惯性（或时变的）非线性环节n反馈通道的输出为：反馈通道的输出为：0)0()(0)(2kvwvvvvw且且有有Mobi

30、le Computing CenterSchool of Automation Engineeringn可见，上述系统要求反馈方块在可见，上述系统要求反馈方块在。n研究这类系统的稳定性问题，称为研究这类系统的稳定性问题，称为：即当平衡点：即当平衡点 x = 0 全局渐近稳定全局渐近稳定时，系时，系统前向方块的线性部分应满足什么条件？统前向方块的线性部分应满足什么条件？Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineeringn将绝对稳定性中非线性部分的条件放宽，即输入将绝对稳定性中非线性部分的条件放宽，即输入输出特性用积分不等式（即输出特性用

31、积分不等式（即Popov积分不等式积分不等式）表示：表示：0120100110,)()(),(,0)()(),(1010ttrdvwttttdvwttttTttT或或n将满足将满足 Popov积分不等式条件的稳定性问题称为积分不等式条件的稳定性问题称为，超稳定性问题是绝对稳定性问题的推，超稳定性问题是绝对稳定性问题的推广。广。Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineeringn对于由线性定常前向方块和非线性时变反馈方块组成对于由线性定常前向方块和非线性时变反馈方块组成的系统的系统n设线性方块为设线性方块为）完完全全可可观观测测）完完全

32、全可可控控，（其其中中CA,BA,DuCxyBuAxx,)1 (n反馈方块为：反馈方块为：)(vw）（且且2,)()(),(01201010ttrdvwttttTMobile Computing CenterSchool of Automation Engineering 对上述反馈系统，如果式（对上述反馈系统，如果式（1）的解满足）的解满足0, )()(000KttrtKtxx 则系统是超稳定的。则系统是超稳定的。 对上述反馈系统，如果系统是超稳定的，且对上述反馈系统，如果系统是超稳定的，且对有界对有界w (t)，有，有0)(limtxt 则系统是渐近超稳定的。则系统是渐近超稳定的。Mobi

33、le Computing CenterSchool of Automation Engineering 对上述由线性方块与满足对上述由线性方块与满足Popov积分积分不等式的非线性反馈方块组成的反馈系统，不等式的非线性反馈方块组成的反馈系统，其其的充要条件是其线性方块的充要条件是其线性方块的传递函数矩阵：的传递函数矩阵： 是是。Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineeringn对离散系统对离散系统n前向线性方块：前向线性方块：）完完全全可可观观。）完完全全可可控控，（且且（CA,BA,DuCxyBuAxx)3()()()()()()

34、 1(kkkkkkn反馈方块为：反馈方块为：）（且且4,)()(),(, ),()(02000kkrkvkwkklklkvkwNkkkTNNMobile Computing CenterSchool of Automation Engineering 对上述由线性方块与满足对上述由线性方块与满足Popov积积分不等式的非线性反馈方块组成的反馈系分不等式的非线性反馈方块组成的反馈系统，其统，其的充要条件是其线的充要条件是其线性方块的传递函数矩阵：性方块的传递函数矩阵： 是是。Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineeringn不论线性或

35、非线性方块，只要其输入输出的内积不论线性或非线性方块，只要其输入输出的内积满足满足Popov积分不等式：积分不等式：,)()(),(01201010ttrdvwttttT 则该方块称为超稳定方块。则该方块称为超稳定方块。Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering【证证】 考虑线性连续系统（考虑线性连续系统（1），由正实定理，存在正），由正实定理，存在正定对称阵定对称阵P，使下式成立，使下式成立TTTTTTTDDKK,CLKPB,LLPAPAKuxLPxxyuy2uKu)x(LKu)x(LLK)u(Cx)xLK(CuxLLxPB

36、uxPxBuPA)xPx(AxPxPxxPxxTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTdtddtd21)(21)(即即Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineeringn对上式积分，得对上式积分，得200020011)()(21)()()()(21)()(21)()(21)()(101210rtPxtxdttytudttKutxLtPxtxtPxtxdttytuTttTttTTTttT可可得得 故正实的线性系统方块是超稳定方块故正实的线性系统方块是超稳定方块Mobile Computing CenterSchool of Automation Engineering20222201111010)()()()(rdyurdyuttTttT可得可得由由2121,yyyuuu202022012211101010)()()()()()(rrrdyudyudyuttTttTttTMobile Computing CenterSchool of Automation Engineering2121,uyyyuu 其中其中20202201221112110101010)()()()()()()()()(rrrdyudyudyyudyuttTttTttTttT