-2020年高考数学大题专题练习——立体几何.doc

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1、_2019-2020年高考数学大题专题练习立体几何（一）1.如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点.(1)求证：；(2)求二面角的余弦值.2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱和一个正四棱锥组合而成，.(1)证明：平面平面；(2)求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是.3.四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是面积为的菱形，为锐角，为的中点（）求证：面（）求证：（）求三棱锥的体积4.如图，四棱锥满足面，（）求证：面面（）求证：面5.在四棱锥中，底面为矩形，测棱底面，点是的中点，作交于（）求证：平面平面（）求证：平面6.在直棱柱中，已知，设中点为，中点为（）求证

2、：平面（）求证：平面平面7.在四棱锥中，平面，.（1）证明；（2）求二面角的余弦值；（3）设点为线段上一点，且直线平面所成角的正弦值为，求的值.8.在正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1EEO. （1）若=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若=2，求证：平面CDE平面CD1O.9.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面底面，分别为，的中点，点在线段上（）求证：平面（）若为的中点，求证：平面（）如果直线与平面所成的角和直线与平面所在的角相等，求的值10.如图，在三棱柱，底面，分别是棱，的中点，为棱上的一点，且平面 （）求的值（）求证：（）求二面角的余弦值11.如

3、图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，且，（）若点为上一点且，证明：平面（）求二面角的大小（）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，说明理由12.如图，在四棱锥中，平面平面，证明：求平面和平面所成角（锐角）的余弦值13.己知四棱锥中，平面，底面是菱形，且，、的中点分别为，（）求证（）求二面角的余弦值（）在线段上是否存在一点，使得平行于平面？若存在，指出在上的位置并给予证明，若不存在，请说明理由 14.如图，是边长为的正方形，平面，与平面所成角为（）求证：平面（）求二面角的余弦值（）设点线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论15.如图，面，为的中点（）求证：平面（

4、）求二面角的余弦值（）在线段上是否存在点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由16.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB平面是PB的中点, .（1）证明：PH平面ABCD；（2）若F是CD上的点，且，求二面角的正弦值.17.如图，DC平面ABC，Q为AB的中点（）证明：CQ平面ABE；（）求多面体ACED的体积；（）求二面角A-DE-B的正切值18.如图1 ,在ABC中，AB=BC=2, B=90,D为BC边上一点，以边AC为对角线做平行四边形ADCE，沿AC将ACE折起，使得平面ACE 平面ABC,如图2. (1)在图 2中，设M为AC的中点，求证:BM丄AE；(2)在图2中，当DE

5、最小时，求二面角A -DE-C的平面角.19.如图所示，在已知三棱柱ABF-DCE中，平面ABCD平面ADEF，点M在线段BE上，点G是线段AD的中点（1）试确定点M的位置，使得AF平面GMC；（2）求直线BG与平面GCE所成角的正弦值20.已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC=AB，PA平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点.（）求证：AF平面PCE；（）若，求平面PAD与平面PCE所成锐二面角的余弦值.21.如图，五面体PABCD中，CD平面PAD，ABCD为直角梯形，.（1）若E为AP的中点，求证：BE平面PCD；（2）求二面角P-AB-C的余弦值.22.如图（1）所

6、示，已知四边形SBCD是由RtSAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中.且点A为线段SD的中点，.现将SAB沿AB进行翻折，使得二面角S-AB-C的大小为90，得到图形如图（2）所示，连接SC，点E，F分别在线段SB，SC上.（）证明：；（）若三棱锥B-AEC的体积为四棱锥S-ABCD体积的，求点E到平面ABCD的距离.23.四棱锥S-ABCD中， ADBC，E为SD的中点.（1）求证：平面AEC平面ABCD；（2）求BC与平面CDE所成角的余弦值. 24.已知三棱锥P-ABC，底面ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，PAAC，BA=BC=PA=2，二面角P-AC-B的大小为120.（1）

7、求直线PC与平面ABC所成角的大小；（2）求二面角P-BC-A的正切值.25.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，E是PB的中点，（）求证：EC平面APD；（）求BP与平面ABCD所成的角的正切值；（）求二面角P-AB-D的余弦值.26.四棱锥PABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点（1）求CD与平面CFG所成角的正弦值；（2）探究棱PD上是否存在点M，使得平面CFG平面MEH，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 试卷答案1以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.(1)，则，.(2

8、)易知，设平面的法向量，则，即，令，则是平面的一个法向量，同理可得是平面的一个法向量，由图可知二面角为钝角，二面角的余弦值为.2.(1)证明：直三棱柱中，平面，所以：，又，所以：平面，平面，所以：平面平面.(2)由(1)平面，以为原点，方向为轴建立空间直角坐标系，设正四棱锥的高，则，.，.设平面的一个法向量，则：，取，则，所以：.设平面的一个法向量，则，取，则，所以：，二面角的余弦值是，所以：，解得：.3.（）证明：连结交于，则是中点，在中，是的中点，是的中点，又平面，平面，平面（）证明：作，则为中点，连结，底面是菱形，边长为，面积为，是等边三角形，又，平面，（）4.（）证明：平面，平面，又，

9、平面，又平面，平面平面（）证明：取中点为，是中点，是矩形，在中，即，又平面，平面，平面5.（）证明：底面，平面，又底面为矩形，平面，平面，平面平面（）证明：，是中点，又平面平面，平面平面，平面，又，平面6.（）证明：连结，是的中点，是的中点，在中，是的中点，是的中点，又平面，平面，平面（）证明：是直棱柱，平面，又，平面，平面，平面平面7.以为坐标原点，建立空间直角坐标系，（1），（2），平面的法向量为，平面的法向量为.，二面角的余弦值为.（3），设为直线与平面所成的角，解得（舍）或.所以，即为所求.8.解:(1)不妨设正方体的棱长为1，以,为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系则A(1，0

10、，0)，D1(0，0，1)，E， 于是，.由cos.所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为. （2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m0，m0得 取x11，得y1z11，即m=(1，1，1) . 由D1EEO，则E ，.又设平面CDE的法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0.得 取x2=2，得z2，即n(2，0，) . 因为平面CDE平面CD1F，所以mn0，得2 9.（）证明：在平行四边形中，分别为，的中点，侧面底面，且，底面，又，平面，平面，平面（）证明：为的中点，为的中点，又平面，平面，平面，同理，得平面，又，平面，平面，平面平面，又平面，平面（）解：底面，两两

11、垂直，故以，分别为轴，轴和轴建立如图空间直角坐标系，则，所以，设，则，易得平面的法向量，设平面的法向量为，则：，即，令，得，直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，即，解得或（舍去），故10.（）平面，又平面，平面平面，为的点，且侧面为平行四边形，为中点，（）证明：底面，又，如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，则由可得，分别是，的中点，（）设平面的法向量为，则：，即，令，则，由已知可得平面的法向量，由题意知二面角为钝角，二面角的余弦值为11.（）证明：过点作，交于，连结，如图所示，又，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（）解：梯形中，平面，如图，以为原点，所在直线为，轴建立空间直角

12、坐标系，则，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，即，令得，同理可得，二面角为锐角，二面角为（）假设存在点满足题意，设，解得，上存在点使得，且12.，同理，又，由勾股定理可知，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，解：取的中点，连结，则，平面平面，平面平面，平面，取的中点，连结，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则即，令，则，平面的法向量，又平面的一个法向量为，设平面和平面所成角（锐角）为，则，平面和平面所成角（锐角）的余弦值为13. （）证明：连结，平面，平面，又底面是菱形，是正三角形是的中点，又，平面，平面，平面，（）由（）得，由可得又底面，以为原点，分

13、别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，平面，平面的法向量为又，设平面的一个法向量，则：，即，令，则，二面角是锐角，二面角的余弦值为（）是线段上的一点，设，又，设平面的一个法向量为，则： ，即，平面，即，解得故线段上存在一点，使得平行于平面，是中点 14.（）证明：平面，平面，是正方形，又，平面（），两两重叠，建立空间直角坐标系如图所示 与平面所成角为，即，由，可知，则，设平面的法向量为，则，即，令，则平面，为平面的一个法向量，二面角为锐角，二面角的余弦值为（）点线段上一个动点，设，则平面，即，解得，此时，点坐标为，符合题意15. （）证明：平面，平面，平面又平面，为的中点，又，平

14、面（）如图，在平面内作，则，两两垂直，建立空间直角坐标系则，设平面的法向量为，则：，即，令，则由（）可知为平面的一个法向量，二面角为锐角，二面角的余弦值为（）证明：设是线段上一点，且，即，由，得，线段上存在点，使得，此时16.解：（1）证明：因为平面，所以，因为，所以，设，由余弦定可得， 因为，故，所以，因为，故平面.（2）以为原点，以所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，则，所以可得，设平面的法向量，则有：，设平面的法向量，则有：，故,设二面角的平面角为 ，则.17.解（）证明：平面，平面 又，点为边中点 故由得平面（）过点作交延长线于点平面，（）延长交延长线于，过点作于，连结由（）可得

15、：为的平面角即18.（1）证明：在中，当为的中点时，平面平面，平面，平面平面平面平面（2）如图，分别以射线，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系设，则，平面平面当且仅当时，最小，此时，设，平面，则，即令，可得，则有观察可得二面角的平面角19.（1）取的中点，连接交于点，点即为所求的点连接，是的中点，是的中点，又平面，平面，所以直线平面，故点为线段上靠近点的三等分点（2）不妨设，由（1）知，又平面平面，平面平面，平面，平面故，以为坐标原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，为正三角形，设平面的一个法向量，则由，可得令，则，且，故，故，故直线与平面所成角的正弦值为20.（）取中点，连接.为的中点，

16、是菱形，且，又为的中点，为的中点，且，且，则四边形是平行四边形，.又平面，面，平面.（）取的中点为，是菱形，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为.即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.21.解：（1）证明：取的中点，连接，因为分别是的中点，所以且，因为，所以且，所以,又平面平面，所以平面.（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，,设平面的一个法向量为，则，令，得，同理可求平面的一个法向量为，平面和平面为同一个平面，所以二面角的余弦值为.22.解：（）证明：因为二面

17、角的大小为90，则，又，故平面，又平面，所以；在直角梯形中，所以，又，所以，即；又，故平面，因为平面，故.（）设点到平面的距离为，因为，且，故，故，做点到平面的距离为.23.（1）为的中点，设为的中点，连接则 又 从而 面 面 面面面6分（2）设为的中点,连接,则平行且等于 不难得出面（ ）面面在面射影为，的大小为与面改成角的大小设，则 即与改成角的余弦值为.（亦可以建系完成） 12分24.解（）过点P作PO底面ABC，垂足为O，连接AO、CO，则为所求线面角， ，平面.则PAO为二面角P-AC-B平面角的补角，又，直线PC与面ABC所成角的大小为30. （）过作于点,连接，则为二面角P-BC

18、-A的平面角，平面,设与相交于,在中，则二面角P-BC-A的正切值为. 25.解：（）如图，取中点，连接，是的中点，且，又四边形是平行四边形，故得又平面平面平面（）取中点,连接,因为，所以 平面平面于，面，是在平面内的射影是与平面所成角 四边形中，四边形是直角梯形设，则在中，易得又是等腰直角三角形， 在中，（）在平面内过点作的垂线交于点，连接,则是在平面上的射影，故，所以是二面角的平面角，由，又在中， 二面角的余弦值大小为26.（1）四棱锥PABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，PA2+AB2=PB2，PA2+AD2=PD2，PAAB，PAAD， 以A为原点，AB

19、为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2），F（1，0，1），G（0，1，0），=（2，0，0），=（1，2，1），=（2，1，0），设平面CFG的法向量=（x，y，z）， 则，取x=1，得=（1，2，3），设CD与平面CFG所成角为，则sin=|cos|= CD与平面CFG所成角的正弦值为 （2）假设棱PD上是否存在点M（a，b，c），且，（01），使得平面CFG平面MEH，则（a，b，c2）=（0，2，2），a=0，b=2，c=22，即M（0，2，22），E（0，0，1），H（1，2，0），=（1，2，1），=（0，2，12），设平面MEH的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，）， 平面CFG的法向量=（1，2，3），平面CFG平面MEH，=2=0，解得0，1棱PD上存在点M，使得平面CFG平面MEH，此时= 38_