高教社杯全国大学生数学建模竞赛b题获奖论文.doc

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1、_2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示

2、，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：15_基于背包算法的

3、太阳能小屋的研究与设计摘要本文针对太阳能小屋上光伏电池铺设问题,运用贪婪算法,通过局部最优来逼近整体最优.针对三个问题,分别得出了光伏电池的铺设方案和对应的逆变器选择,架空后光伏电池与水平面夹角的最优解以及小屋对太阳辐射的最大化利用的设计方案.对于问题一,首先对光伏电池的性价比进行了纵向比较,选出了性价比最高的三种光伏电池.为了使剩余面积达到最少,采用整数背包算法,从而确定各平面每种光伏电池的理论个数,并通过计算各平面总盈利情况,发现东面盈利为负,因此舍弃东面,在铺设过程中,优先选择产生盈利最大的光伏电池,并考虑实际情况,经过计算选择光伏电池填补剩余面积,得到实际铺设个数,分别为：顶面（12,

4、12,7,0）,南面（4,2,0,21）,北面（6,5,2,0）,再选配相应的逆变器,最终计算出太阳能小屋的35年内的发电量为17047.54;经济效益为76854.11元;回报年限为20.58年.对于问题二,首先通过建立三个坐标系结合正交分解求出顶面真实吸收太阳辐射强的表达式为（）.其次一一针对固定时刻将固定即可得关于的函数.最后对进行求导即可求出取得时的角度,即为架空后光伏电池与水平面的夹角.这样可得太阳能小屋的35年内的发电量22161.81;经济效益92224.93元;回报年限为18.2年.对于问题三,结合问题一、二分析的数据,将屋顶采用单坡面设计,房屋朝向南偏西15度,达到了屋顶接收

5、阳光面积最大和全年太阳辐射强度的最优目的.关键词： 背包算法 贪婪算法 多重最优化 1问题重述在设计太阳能小屋时,需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池,光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用,并将剩余电量输入电网.不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大,且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响,如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等.因此,在太阳能小屋的设计中,研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题.附件中提供了相关信息.请参考附件提供的数据,对下列三个问题,分别给

6、出小屋外表面光伏电池的铺设方案,使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大,而单位发电量的费用尽可能小,并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限.在求解每个问题时,都要求配有图示,给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图,也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表.在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时,同一型号的电池板可串联,而不同型号的电池板不可串联.在不同表面上,即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接.应注意分组连接方式及逆变器的选配.问题1：请根据山西省大同市的气象数据,

7、仅考虑贴附安装方式,选定光伏电池组件,对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设,并根据电池组件分组数量和容量,选配相应的逆变器的容量和数量.问题2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率,请选择架空方式安装光伏电池,重新考虑问题1.问题3：根据附件7给出的小屋建筑要求,请为大同市重新设计一个小屋,要求画出小屋的外形图,并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池,给出铺设及分组连接方式,选配逆变器,计算相应结果.2问题分析绿色、节能是未来世界可持续发展的主题,因此对太阳能小屋这种绿色节能房子的建造与设计,对未来全社会的能源消耗有着举足轻重的影响.本题要求在三种情况下给出光伏电池在小屋表面的铺设

8、方案,使得小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大,而单位发电量的费用尽可能小.显然,这是一个多目标规划问题.本题要求我们,根据题目所提供的大同典型气象年气象数据,选择铺设电池的方案,可见光伏电池的发电量或发电效率只考虑受辐射影响即可,其余如坏境、地区气候等受制因素均可不必考虑.（1）对于问题一,有三个子问题需要解决：第一是要选定光伏电池组件的几种排列方式,利用多重最优化思想,首先要对每种光伏电池的性价比进行纵向比较,选出性价比最大的前三种光伏电池,依次是：.用这三种光伏电池对各个平面进行铺设,同时对小部分的空余面积用面积较小的薄膜电池C进行插空;然后采用整数背包模型,利用Matlab,确定各平面

9、每种光伏电池的最大范围个数;最后对每个平面光伏电池数进行优化,结合实际情况,确定光伏电池数量及平面位置.第二是按照逆变器的选配要求,选配相应的逆变器的容量和数量,同时画出相应的电路连线图;第三是根据计算公式计算出光伏电池在35年寿命期内的发电总量、经济效益及投资的回收年限.（2）对于问题二,可以类比考虑为房顶可以以屋檐为轴活动,使得房顶可以最大限度吸收太阳光照辐射最强时的太阳辐射.设太阳辐射强度为,房顶可吸收太阳辐射强度为,当房顶“固定”时,不变,可求出的关系式.而当房顶“可动”,即可变时,可对求导得到取得及对应的值.（3）对于问题三,通过问题一、二可以知道,在小房子的各个墙面中屋顶的收益最大

10、,所以在建设房子时要把屋顶面积作为首要考虑的因素.又按照附件7中对房子的要求,要获得最多的太阳辐射量就要使光伏电池的面积最大和倾角最佳,因此就要有最大的屋顶面积.屋顶采用单坡面设计,通过建立线性规划方程,求出目标函数最优解,根据最优解画出房屋设计图.3符号说明1.：第种光伏电池价格2.：第种光伏电池的发电量3.：墙面的面积4：第种光伏电池带来的收益5：第种光伏电池带来的总收益6. ：单位面积上第种电池的利润7. ：由西向东看且令小屋顶面与水平面夹角8. ：赤纬角9. ：太阳高度角10.：屋顶最高点距地面高度 11.： 室内空间净空高度距地面高度 12.：东西面墙的宽 13.： 南北面墙的长 1

11、4.：屋顶面积 4模型假设1. 假设题目所给的数据真实可靠;2. 假设实际影响每峰瓦的实际发电效率或发电量的因素,如环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候等,均不会影响其发电效率或发电量.3. 假设空气中的尘埃、水汽等等不会对太阳辐射强度产生影响4. 假设同一时刻阳光照射在房屋同一面的太阳高度角相等5. 假设铺设的电池的厚度不会对其他电池采光产生影响6. 假设地球绕太阳公转轨道是正圆形.7. 假设逆变器不安装在小屋外表面8. 假设周围环境对光伏电池发电量不产生影响5模型的建立与求解5.1 问题一的求解5.1.1选定光伏电池组件的几种排列方式（1）对每种光伏电池的性价比进行纵向比较 为了更直观的

12、体现每种光伏电池的优异性,并直观选择铺设各墙面的光伏电池种类,引入性价比这一概念.由于每个光伏电池在工作的过程,单位面积内组件功率越大且转换率越高,可获得收益越大,同时不同光伏电池价格不同.为更好更直观的反应各种光伏电池的性价比,我们设定一种性价比计算方法：其中为常数系数.通过计算我们可以得到这24种光伏电池的性价比,详细数据见附表三,为了取得最大效益,我们选出性价比最大的前三种光伏电池,依次是：.用这三种光伏电池对各个平面进行铺设,同时对小部分的空余面积用面积较小的薄膜电池C进行插空.（2）采用整数背包模型,确定各平面采用每种光伏电池的最大范围. 为了使小屋的全年太阳能光伏发电量达到最大,采

13、用整数背包模型.设有一只背包,最多可容纳的总面积分别为.现有种可供选择的光伏电池装入背包中,这种光伏电池的编号分别为1,2,24.各光伏电池的价格、发电量分别为,和,每种光伏电池装入个数为（为整数,）,每种光伏电池均不能拆开.我们的目的是如何在每个平面上选择装入的光伏电池（各几件）,可使太阳能的光伏发电量达到最大.（其中、,和,均为正数）建立以下数学模型： ,使得 ,其中,且, , , 均为正数采用动态规划算法对整数背包模型进行求解：a.划分阶段K：将供选择的光伏电池按1,2,排序,每个阶段可装入一种光伏电池;b.确定决策变量：表示装入第种物品的件数;表示背包中允许装入前种光伏电池的总面积c.

14、建立状态转移方程：;决策集合为：,其中表示不超过的最大整数d.建立递归方程：e.递推求解：逐步计算出,最后求得即为所求的最大价值根据上述描述的算法求解过程,利用Matlab进行编程（见附表一）,程序运行后得到平面三种光伏电池的放置个数,同理可得、平面三种光伏电池的安置数,结果如下：表一：平面总利用面积总发电量A3,B1,B2分别电池数的最大值顶面S16.8840513,12,12南面S22.066114,4,3东面S32.616185,5,4西面S43.033566,5,5（3）对上述每个平面三种光伏电池数进行优化,得到确定的光伏电池数量及平面位置通过对大同气象数据进行处理,我们得到了平面每平

15、米光辐射量总量,用分别表示的面积;表示光伏电池转化率,表示每种光伏电池所带来的年收益; 表示使用年限内的总收益; 光伏电池的花费; 单位面积上第种光伏电池的利润.根据上述公式,求解结果如下：表二：面每年收入35年总收入利润利润/面积228.83567208.3220593208.3221655.143190.91626013.8603262701.361652.057171.9545416.5502682436.551908.565面每年收入35年总收入利润利润/面积164.76825190.1968191190.197614.0112137.46514330.1504121017.65622

16、.3591123.81183900.070188920.0702720.6967面每年收入35年总收入利润利润/面积92.904332926.486405-1073.51-553.81577.509532441.550244-870.95-532.64269.811112199.050013-780.95-611.723面每年收入35年总收入利润利润/面积138.30324356.549751356.5498183.9406115.38553634.643609322.1436197.0117103.92523273.642677293.6427230.0121由表格可知,面的单位面积利润为负

17、,因此不铺设.下面我们仅对,进行光伏电池的铺设.以为例,由于是按利润与面积比按从大到小排列的,所以我们在保证12个全部被铺后,其次铺,最后铺,从而得到光伏电池在各个平面上的分布个数,并且在结合类光伏电池的性价比跟面积,在南面铺设了光伏电池,下表表示,的理论铺设个数：表三：A3B1B2S113127S2420S4652结合实际情况,结合光伏电池串、并联的电压跟逆变器的选择,实际的铺设个数跟上表所示理论铺设个数有出入,下表表示,的实际铺设个数：表四：A3B1B2C10S1121270S242021S46520具体铺设图如下：图一：顶面图二：南面图三：西面5.1.2选配相应的逆变器的容量和数量,同时

18、画出相应的电路连线图由于逆变器的花费费用与逆变器的输入电压呈正相关,按照逆变器的选配要求,根据前一步我们算出的光伏电池在各个平面上的分布个数,对光伏电池进行串、并联分组阵列铺设,铺设方案如下图：图四（顶面S1）图五(南面S2)图六（西面S3）5.1.3计算小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益及投资的回收年限经计算得,太阳能小屋的发电量为17047.54;经济效益为76854.11元;回报年限为20.58年.5.2 问题二的求解5.2.1确定屋顶与水平面的夹角的表达式以小屋所在点做地球的切平面,以点为垂点做面的法向量并以所在直线做Z轴建立空间直角坐标系,且正方向为正南方向负方向为正北方

19、向,正方向为正东方向负方向为正西方向,下图为空间直角坐标系图：OxyMKLNz图七 空间直角坐标系图由O点向任意方向引一射线OM作为太阳射线,为方便计算设其模为1. 分析可得：（）需先将OM分解为XOY平面内一向量ON与Y轴上一向量OL的合成向量.下图为空间直角坐标系：yzMO图八 空间直角坐标系（2）将向量在平面内分解为轴上的向量与轴上的向量将上图中点移到小屋顶面任一点,画出此时的侧视图（由西向东看且令小屋顶面与水平面夹角为）,则此时可视面为平面,下图为平面直角坐标系图：yzLKO图九 平面直角坐标系（3）过O点做小屋平面的法线OA（4）将OK与OJ分解到OA所在直线上,则=,其中为架空后光

20、伏电池与水平面倾角.分析可知当与太阳直射辐射强度最强时刻太阳高度角互余时,可最大程度吸收太阳辐射.而对于某一固定时刻而言,与为固定值.且实时太阳辐射强度可有附表4求出.而由于对于每一天都进行数据分析计算量过大,且可分析出对于每天的某一固定时刻,太阳高度角的变化极小,在误差允许范围之内,故下面我们将会以月为单位进行平均求解,再整合为一年的数据,从而找出.5.2.2 求出屋顶与水平面的夹角找出后,下面对开始计算,由附录公式：由于北京时间为所在时区的时间,而大同经度为,则对于大同而言,对同一个小时,每天太阳光照强度大小是在误差允许的范围之内的,对于一个月内当中每天该时刻的光照强度为此月的平均值,利用

21、Matlab软件画出线性图像,从而可以直观的看出不同时刻的太阳辐射强度的平均,如下图所示：图十：屋顶逐时太阳辐射强度 图十一：北墙逐时太阳辐射强度 图十二：南墙逐时太阳辐射强度 图十三：西墙逐时太阳辐射强度图十四：东墙逐时太阳辐射强度由于可将拟合为一个周期为365的正弦函数.以其一个月平均为对象在的长度上球积分,且可推出则第一季度即前三个月的整体平均可用matlab求出（计算代码见附录二）：计算公式为=又由于将分别代入上式求和可得对求导取极点即可求出当=.5.2.3用架空方式对各面的光伏电池进行铺设（1）首先是对于屋顶的铺设,由于屋顶的天窗需要空出,所以对屋顶划分为四个区域分别进行架空,具体的

22、划分方式为：图十五 对屋顶进行分片需要说明的是,架空时的屋顶与水平面的夹角为上述所求=（2）其次,对于南面与西面,我们将继续采用贴附方式对光伏电池进行铺设,光伏电池的铺设方案与逆变器的选择见问题一.5.2.4小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益及投资的回收年限 经计算得,太阳能小屋的发电量为22161.81;经济效益为92224.93元;回报年限为18.2年.5.3问题三的求解5.3.1求得最大屋顶面积要获得最多的太阳辐射量就要使光伏电池的面积最大和倾角最佳,因此就要有最大的屋顶面积,建立线性规划方程，目标函数为 ，使得.用Matlab得出最优解,为计算、画图方便,取整数解：根据以上

23、数据和附件7中小屋的建设要求,画出各墙面的平面图：图十五 顶面 图十六 北立面图十七 东立面 图十八 南立面注：单位面积为mm,房子的朝向为南偏西（即13点钟方向）6模型评价优点：我们采用了多重最优化的思想,多次选择最优,使得得到的结果更精确,更好的解决了实际问题,背包算法的应用,简化了求解过程;缺点：本文在求太阳能小屋发电量时,没有考虑周围环境遮挡物对其影响.参考文献1屈睿瑰,建筑节能中太阳辐射量的分析与确定,广西轻工业,6:81-82,2007. 2王文波,数学建模及其基础知识详解,武昌：武汉大学出版社,20063高天,翟延慧,王梦光,特殊多维背包问题的约束简化方法-不等式单约束生法 .东

24、北师大学报自然科学版.34(3):21-25,2002.4李娟,方平,周明,一种求解背包问题的混合遗传算法.南昌航空工业学院学报, (3):31-35, 1998.附录附表一：product_N=1:3;weight=1276640 1635150 1938396; %第i件物品的单件重量 % W = 200 265 320;% n = 46.1 37.91 45.98;% value = W.*n./100;value = 283.21 132.69 134.17;per_value=value./weight;Total_value=0;oneturn = abs(sum(weight);

25、turn = floor(b/oneturn);if turn = 1 Total_weight = mod(b,oneturn);else Total_weight = b;endfor i=1:length(product_N) Total_value=Total_value+value(i); Total_weight=Total_weight-weight(i); if(Total_weight0 ii(jj) = 1; endenddisp(电池总个数)length(product_N)*turn + sum(ii)disp(各类电池个数,按顺序排)zz = turn.*ones(1

26、,length(product_N);zz = zz + ii附录二：1.的matlab求法：clc;clear all;close all;LLine = 222*pi/365;Hline = 404*pi/365;func=inline(23.45.*sin(x),x);Result=quadl(func,LLine,Hline)syms x F=int(23.45.*sin(x),x,LLine,Hline) % Result=vpa(F)的matlab求法：clc;clear all;close all;LLine = 404*pi/365;Hline = 586*pi/365;fun

27、c=inline(23.45.*sin(x),x);Result=quadl(func,LLine,Hline)syms x F=int(23.45.*sin(x),x,LLine,Hline) % Result=vpa(F)的matlab求法：clc;clear all;close all;LLine = 586*pi/365;Hline = 768*pi/365;func=inline(23.45.*sin(x),x);Result=quadl(func,LLine,Hline)syms x F=int(23.45.*sin(x),x,LLine,Hline) % Result=vpa(F

28、)的matlab求法:clc;clear all;close all;LLine = 768*pi/365;Hline = 950*pi/365;func=inline(23.45.*sin(x),x);Result=quadl(func,LLine,Hline)syms x F=int(23.45.*sin(x),x,LLine,Hline) % Result=vpa(F)2.的matlab算法clc;clear all;close all;a_omega = 15.*(t-12);omega = repmat(a_omega,1,365);a_delta = 23.45.*sind(2*p

29、i*(284+n)/365);for ii = 1:length(n) for jj = 1:length(t) delta(ii-1)*length(t)+jj) = a_delta(ii); endendphi = 40.1;sind_alpha = sind(phi).*sind(detia)+cosd(phi).*cosd(detia).*cosd(omega);alpha = asind(sind_alpha);cosd_A = (sind(detia)-sind(alpha).*sind(phi)./(cosd(alpha).*cosd(phi);附录三：PV电池类型产品型号面积（

30、）单价（）性价比PV电池类型产品型号面积（）单价（）性价比A单晶硅电池A1127664014.91.903381A2193839614.91.87244A3127664014.91.966151A4163779214.91.825588A5163515014.91.506378A6193839614.91.543326B多晶硅电池B1163515012.52.101654B2193839612.52.164594B3147014412.51.826107B4162688012.51.746656B5194035212.51.844779B6194035212.51.848737B7166800012.51.797362C薄膜电池C114300004.81.018357C29392314.80.793779C315751964.80.839843C415400004.80.711039C515400004.80.877976C61100504.80.274875C71107004.80.273261C82183254.80.2794C93266004.80.280159C102903904.80.355556C1111712404.80.379761