第五章--弯曲应力.doc

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1、_第五章 弯曲应力内容提要一、梁的正应力、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。 横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x的函数，这种弯曲称为横力弯曲。、纯弯曲梁正应力的分析方法： 1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3. 由静力学关系得出正应力公式。、中性层和中性轴 中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。 中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形

2、心。中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为 (5-1)式中：为变形后中性层的曲率半径，为弯矩，为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。、梁的正应力公式 1. 横截面上任一点的正应力为 (5-2)正应力的大小与该点到中性轴z的距离y成正比，试中M和y均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断是拉应力或压应力。 2. 横截面上的最大正应力，为 (5-3) (5-4)为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，的公式应熟记。 3. 弯曲正应力公式的适用范围： 1)在线弹性范围内，在小变形条件下的平面弯曲弯。 2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，

3、当梁的跨高比时，误差。、梁的正应力强度条件 拉、压强度相等的等截面梁 (5-5)式中，为料的许用正应力。当梁内，且材料的时，强度条件应为，、提高梁正应力强度的措施1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。可使梁的最大正应力降低，从而提高梁的承载能力。2)对于的梁，应使横截面的中性轴偏于受拉一侧，最好使，使和同时达到其许用应力。3)采用等强度梁或变截面梁，使每个横截面上的最大正应力同时达到许用应力或接近许用应力。二、梁的切应力 梁的切应力公式的分析方法是，首先对切应力在横截面上的分布规律作出部分假设，再根据微段的平衡条件导出切应力公式。横截面形状态不同，对切应力在横截面分布规律的假设不

4、同，必须按不同横截面形状分别导出其切应力公式。、矩形截面梁 假设切应力的方向平行于剪力，其大小沿宽度b均匀分布(图b)，由图a中带阴影线部分微段的平衡条件，得 (5-6)式中，为横截面上的剪力，b为横截面的宽度，为横截面上距中性轴为y的横向线以下(或以上)的部分面积对中性轴z的静面矩，其值为，可见切应力沿横截面高度h按抛物线规律变化，处，(中性轴处)时，其值为 (5-7)、工字形截面梁1. 腹板上的切应力切应力的分布假设同矩形截面梁，由微段(图5-2b)的平衡条件，得 (5-8)式中，为横截面上的剪力，d为腹板的宽度，为整个工字形截面对中性轴的惯性矩，为距中性轴z为y的横向线以下(或以上)的部

5、分横截面面对对中性轴z的静面矩，可见剪应力沿腹板高按抛物规律分布(图5-2，d)，在腹板和翼缘交界处，在中性轴处，其值为 (5-9)式中，为中性轴以下(或以上)的半个横截面对中性轴z的静面矩，计算时，为下(或上)翼缘的面积对中性轴z的静面矩。型钢时为型钢表中的。腹板的主要功能之一是抗剪切，腹板承受铅垂剪力的约95%97%。 2. 翼缘上的切应力翼缘上的水平切应力沿其厚度均匀分布，由图c所示微段的平衡条件得 (5-10)式中，为翼缘的厚度，和的意义和(5-8)式相同，为距翼缘端部为的部分翼缘面积对中性轴z的静面矩，可见沿翼缘宽度按线性规律变化(图5-2，d)。 3. 切应力流 根据剪力的指向确定

6、腹板上切应力的指向，按顺流方向确定翼缘上的切应力方向，例如：设的方向向下，上翼缘上的切应力犹如水流一样由其两端的两股水流流向腹板，经由腹板，再分成两股流入下翼缘两端。根据切应力流的概念可以判断开口薄壁杆的切应力方向。、由狭长矩形组合的组合截面梁的切应力对于图5-3所示的几种形状的薄壁截面梁，其腹板和顶板及底板上的切应力公式仍为(5-8)和(5-10)式，切应力的分布规律及切应力流如图所示。、圆截面梁及薄壁圆环截面梁图5-4a所示圆截面梁，其最大切应力在中性轴处，其方向与剪力平行，其值为 (5-11)式中，。图5-4，b所示薄壁圆环截面梁，其最大在中性轴处，其方向与剪力平行，其值为 (5-12)

7、式中，。、切应力强度条件对于等直梁，横截面的最大切应力发生在最大剪力所在的横截面上，一般位于该该截面的中性轴处，中性轴处的正应力为零，即所在的点为纯剪切应力状态，剪切强度条件为 (5-13)式中，为中性轴一侧的横截面对中性轴的静面积；b为横截面在中性轴处的宽度，为横截面对中性轴电惯性矩。 梁应同时满足正应力强度条件和切应力强度条件，通常梁的强度由正应力强度条件起控制，当梁的跨度较小，荷载离支座较近时，切应力强度条件也可能为梁强度的控制条件。三、非对称截面梁的平面弯曲，开口薄壁截面的弯曲中心、非对称截面梁平面弯曲的条件梁的横截面没有纵向对称轴时，只要荷载作用在梁的形心主惯性平面xy内(横向力沿形

8、心主轴)，或荷载作用面和梁的形心主惯性平面平行(横向力平行于形心主轴)，荷载和梁的挠曲线位于同一平面内(图5-5a)或荷载的作用面和挠曲面平行(图5-5b)。梁产生平面弯曲。当荷载的作用面和梁的形心主惯性平面不平行时，梁产生斜弯曲(图5-5c)。、开口薄壁截面的弯曲中心A1. 弯曲中心：横力弯曲时，横截面上由切应力所组成的合力(剪力)的作用点，称为弯曲中心，简称为弯心，用A表示。当横向力通过弯心时梁只产生弯曲变形，不产生扭转变形。若横向力不通过弯心，梁在发生弯曲变形的同时还要产生扭转变形。2. 几种常见开口薄壁截面弯曲中心的位置图5-6a,b中，弯心A和形心C重合；图5-6c中，弯心A位于对称

9、轴z上；图5-6d,e中，弯心A位于两狭长矩形中心线的交点处。3. 弯曲中心仅与截面的形状和尺寸有关，是截面的几何性质，与横向力的大小及材料的性能无关。例5-1 一铸铁梁如图a所示，已知材料拉伸时的强度极限为，压缩时的强度极限为。试求梁的安全因数。解：梁的弯矩图如图b所示。以横截面的下底边为参考轴，形心C的y坐标为横截面对形轴z的惯性矩为B、C截面上正应力的分布规律如图 c所示，最大拉应力发生在B的上边缘或C截面的下边缘，由于，所以最大拉应发生B截面的上边缘。由 得 式中，为拉应力达到强度极限时的安全因数。最大压应力显然发生在C截面的上边缘，由 得 式中，为压应力达到强度极限时的安全因数。 由

10、于，可见该题的强度由拉应力强度条件控制，梁的安全因数为例5-2 横截面如图所示的铸铁简支梁，材料的许用拉应力为st=30MPa，许用压应力sc=90MPa，试确定截面尺寸d值。解：设形心C距截面下底边的距离为于是 截面对中性轴z的惯性矩为C截面的弯矩为由 得 由 得 由于，所以取 。讨论：由以上计算结果可见该题的强度是由拉应力强度条件控制的，即拉应力先达到危险状态，也可以用以下方法判断拉应力先达到危险状态。，可知，选达到危险状态,只需按拉应力强度条件确定即可。例5-3 一平顶凉台如图a所示，其长度，顶面荷载集度，由间距的木次梁AB支持。木梁的许用弯曲正应力，木次梁为bh的矩形截面，且。试求：(

11、1)在木次梁用料最经济的情况下，确定主梁位置x值；(2)选择木次梁的尺寸。解：1. 次梁的计算简图如图b所示，四根次梁中以中间两根所受的荷载最大，以此为强度计算的依据，中间次梁的荷载集度为2. 求次梁用料最经济时，主梁位置x用叠加法作出次梁的弯矩图如c所示，当时，次梁用料最经济。由 得 3. 选择b和h当时由 得 讨论：上面分析次梁用料最经济时，利用了，为梁的最大弯矩的近似值，得到主梁位置也是近似的，实际上最大正弯矩应位于剪力等于零的横截面处，若用实际的最大弯矩等于，得到的主梁位置，可见二者误差甚小，但用第二种方法计算时，计算工作量较大。例5-4 起重机大梁由两根25a工字组成如图a所示，起重

12、机自重，起重机起吊的重量为。梁材料的许用应力，单根25a号工字钢的，设全部荷载平均分配在两根梁。试校核梁的正应和切应力强度。解：1. 求起重机的支反力 起重机的受力图如图b所示 由 得 由 得 2. 校核梁的正应力梁的受力图如图c所示，由于荷载是移动的，必须确定最不利位置，梁在集中力和作用下，其最大弯矩必在C或D截面处，设C轮距支座A的距离为x，梁的支反力为 (kN) ， (kN) (1)C截面的弯矩为由 ，得 即 (2) D截面的弯矩为由 ，得 即 (3)由于，所以最不利位置为，梁的弯矩图如图d所示。稍大于，但其误差5%，所以梁满足正应力强度条件。3. 校核切应力 当两个集中力移动至使紧靠B

13、支座时，为剪力的最不利位置，即时由(1)和(2)式，得，梁的剪力图如图e所示。梁满足切应力强度条件。讨论：梁在两个移动的集中力作用下，最大弯矩部是发生集中力作用点处，最大剪力总是发生在集中力位于支座附近处的情形。例5-5 图所示吊车梁由36a号工字钢在其中间区段焊上两块的矩形钢板制成。电葫芦重，起吊的重物的重量为，材料的许用应力为，。1. 校核梁的正应力强度；2. 求加强板的长度；3. 校核梁的切应力强度。解：由于梁上受移动荷载作用，必须确定荷载的最不利位置，在进行正应力强度校核时，集中力应位于跨度的中间截面处；求加强板长度时，集中力应位于C(或D)截面处；进行切应力强度校核时集中力应在紧靠支

14、座处。1. 校核正应力梁上受到的移动的集中力为设F力位梁的跨度中央截面处，该截面的弯矩为36a号工字钢的，考虑加强板时整个截面的惯性矩为跨中截面的最大正应力为2. 求加强板长度 设集中力F位于C(或D)截面处，由 ，得 ；36a号工字钢的，梁在C截面处的许用弯矩为令，即解得 加强板的长度为3. 校核梁的切应力当集中力F紧靠支座时，最大剪力为36a号工字钢的，梁的最大切应力为梁的正应力和切应力强度条件均满足，该梁是安全的。例5-6 T形截面外伸梁,受移动荷载F作用,支座A为滚轴支承(活动铰支座)。支座B为用销钉连接两块支承板(固定铰支座)，如图a所示。已知：，T形截面对形心轴z的惯性矩，销钉的直

15、径，许用切应力。1. 求梁的最大拉应力和最大压应力；2. 求梁的最大切应力；3. 校核销钉的剪切强度。解：1. 求和。F力位于C截面和D截面时， 梁的剪力图和弯矩图分别如图b、c、d、e所示，位于C截面的下边缘，由于，所以发生在A截面的下边缘，2. 求梁的最大切应力。由剪力图可见，当F力位于D时，最大切应力为，3. 校核销钉的切应力强度 当F力位于B支座处时，销钉受力最大，其剪切为。销钉满足切应力强度条件。例5-7 箱形截面悬臂梁由四块木板胶合而成如图所示。已知横截面对中性的惯性矩；材料为红松，其许用弯曲正应力，许用顺纹切应力；胶合缝的许用切应力。试校核梁的强度，并画出危险截面上切应力的分布规

16、律以及切应力流的指向。解：1. 校核梁的正应力强度2. 校核顺纹切应力强度。3. 校核胶合缝的切应力强度。上水平板和两块竖直板有两条胶合缝，求其切应力的公式中，为上水平板对中性轴z的静面矩，因为有两胶合缝，其宽d为。 下水平板和两块竖直板也有两条胶合缝，下水平板的dx微段的分离体如图b所示，可见求胶合缝的切应的公式中，为下水平板对中性轴z的静面矩，因为有两条胶合缝，其宽度为。 可见，梁满足正应力、顺纹切应力及胶合缝处的切应力强度。4. 横截面上切应力的分布规律及切应力流的方向如图c所示，上、下水平板中点处的水平切应力为零，可从分离体的平衡条件或水平切应力是反对称分布的，可以得到该结论。例5-8

17、 矩形截面悬臂梁，受均布荷载q作用(图a)，沿梁的中性层截出其下半部分(图b)，试求：1. 图b 中顶面上的切应力及其由组合的水平力；2. 研究下半部分梁(图b)的平衡条件，并导出梁的挤压应力的公式。解：1. 求图b中顶面上的及梁的x横截面上的剪力及切应力分别为 (1) (2)由切应力互等定理，得图b顶面上的切应力为 (3)切应力形成的合力为 (4)2. 研究下半部分梁(图b)的平衡条件，并导出的公式。 B截面处的最大压应力为由B截面处的压应力组合的合力为 (5)的作用线距中性层的距离为 。由(4)式和(5)式可见，和满足平衡方程 B截面上的剪力为 下半部分梁(图b)，仅在、及作用下不能满足平

18、衡方程 及，要满足该两平衡方程，应在图b的顶面上有作用。因为dx微段(图c)上有荷载q作用，其左、右两侧的剪力不相同，图c中带阴影线部分的立体图如图d所示，其左、右两侧面上的剪力分别为 (6) (7)设图d的顶面上有作用，由， 即 梁的挤压应力为 (8)当时，；时，；当时，即中性层处的挤压应力为。中性层上组成的合力为 (9) 下半部分梁上各力如图e所示，其平衡方程为可见，图b所示下半部分梁满足所有平衡方程。*例5-9 矩形截面悬臂梁，其顶、底两面受大小相等、指向相反的切向均布荷载作用。试导出横截面上切应力的计算公式，并画出的指向和沿高度的变化规律。解：用相距dx的两个横截面及距中性层为y的纵截

19、面从梁中截取一微段如图b所示，图中， 式中， ，由 得 当时， 得，时，；时，。切应力指向和沿高度的变化规律如图c所示。*例5-10 开口薄壁圆弧形截面如图a所示，已知截面上的剪力铅垂向下。试求1.截面上的切应力及其方向；2.弯曲中心A的位置。解：1. 截面上的切应力取坐标Oyz 如图b所示，切应力的方向与截面的中线相切。图中仅画出截面上的方向。2. 弯曲中心位置。由 所以 例5-11 试判断图示各截面弯曲中心的大致位置。若各截面上的剪力指向向下，试画出各截面切应力流的方向。解：弯曲中心为截面上的剪应力所构成的合力作用点，各截面的弯曲中心A的位置和切应力流的方向如图b所示。图b中y、z为形心主

20、轴。例5-12 两根20a号工字钢用螺栓连在一起组成组合梁如图a所示。螺栓的间距，直径，。若梁横截面上的剪力。试校核螺栓的剪切强度(不计工字钢之间的摩擦力)。解：两根工字钢作为整体弯曲时，由于相邻两横截面上的弯矩不相等，使，上、下两工字钢有沿接触面相对错动的趋势(图b)，使螺栓受到剪力(图c)，由于梁的各横截面上剪力相等，螺栓间距及直径分别相同，故每个螺栓受的剪力相等。式中，为单根工字钢的面积，为对z轴的静矩。，研究图c所示各力的平衡条件，由，即得 螺栓的切应力为20a工字钢的，。故螺栓是满足切应力强度条件的。*例5-13 矩形截面的钢、木组合梁，其宽度b=10mm，木材部分地高度h=200m

21、m，钢板的厚度d=5mm，木材与钢板之间不能滑动。已知Me=8kN.m，木材的弹性模量E1=10GPa，钢材的弹性模量E2=210GPa。试求木材与钢板中得最大弯曲正应力。解：由于木材和钢板之间不能相对滑动，所以梁的横截面可以视为整体。试验表明，平面假设依然成立，设y为对称轴，z为中性轴(位置待定)如图(b)所示，纵向线应变沿着横截面高度呈线性规律变化如图(c)所示，任一点处地线应变为式中，r为中性层得曲率半径。由胡克定律得材料1、2两部分的正应力分别为， (1)正应力沿横截面高度变化规律如图(d)所示。静力学条件为 (2) (3)将(1)式带入(2)式，可得 (4)式中，Sz,1、Sz,2分

22、别表示材料1、2两部分面积对中性轴z的静面积。由(4)式确定中性轴位置。将(1)式带入(3)式，可得 (5)式中，Iz,1、Iz,2分别表示材料1、2两部分面积对中性轴z的惯性矩。将(5)式带入(1)式，可得， (6)设中性轴z到横截面底边得距离为如图(b)所示，材料1、2两部分对中性轴z的静面积分别为将E1、E2、Sz,1、Sz,2带入(4)式，得解得 材料1、2两部分面积对中性轴z的惯性矩图(e)分别为由(6)式可得木材和钢板的最大弯曲正应力分别为(压应力)两种材料的组合梁也可用相当截面求解将式的右端的分子和分母均除以，并令式成为 (g)式中。将材料(1)截面的宽度b折算为 材料(1)截面

23、的高度和材料(2)的截面保持不变。于是，将组合梁的截面变换成一种材料(材料2)的截面，该截面称为相当截面，其水平形心轴为原组合截面的中性轴，对水平形心轴的惯性矩称为相当惯性矩，记为。本例中，相当截面如图f所示。设形心距下底边的距离为相当惯性矩为钢板(材料(2)中的最大弯曲正应力为木材(材料(1)中的最大弯曲正应力为例5-14 图示矩形截面悬臂梁，由(1)和(2)两种材料组合而成，材料的弹性模量分别为和，且。若F力作用在梁的纵向对称平面内。试问梁是否发生平面弯曲？求梁的弯曲中心。解：设(1)和(2)两部分梁的剪力分别为和(图b)。 (1)弯矩为， (2)由于(1)、(2)两部分梁作为一个整体发生弯曲，所以它们的曲率相等，即 即 (3)将(2)式代入(3)式，并利用，得 即 (4)联立求解(1)和(4)式，得, (5)由于，所以，故和的合力作用线位置不在纵向对称平面内，但仍和形心主轴y平行，梁仍然产生平面弯曲。但同时还要产生扭转。设和的合力距y轴的距离为e，弯曲中心位于轴上，由得 (6)当F力通过弯曲中心A，并平行于形心主轴y时，梁只产生平面弯曲。23_