逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典).doc

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1、_逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且（E-A）= E + A + A+A证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A+ A)= E-A,因A= 0 ,于是得(E

2、-A)（E+A+A+A）=E，同理可得（E + A + A+A）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)= E + A + A+A.同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)= E -A + A+（-1）A.由此可知, 只要满足A=0，就可以利用此题求出一类矩阵EA的逆矩阵.例2设A =,求 E-A的逆矩阵.分析 由于A中有许多元素为零, 考虑A是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A的逆矩阵.解 容易验证A=， A=， A=0而(E-A)(E+A+ A+ A)=E,所以(E-A)= E+A+ A+ A=.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等

3、变换法.如果A可逆，则A可通过初等变换，化为单位矩阵I，即存在初等矩阵使 （1）A=I，用A右乘上式两端，得： （2） I= A比较（1）（2）两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵A.用矩阵表示（A I）为（I A），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A的逆矩阵.已知A=.解 A I 故 A=.在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A

4、不可逆，因为此时表明=0，则A不存在.例2 求A=.解 A E= .由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.3.伴随阵法定理 n阶矩阵A=a为可逆的充分必要条件是A非奇异.且A=其中A是中元素a的代数余子式. 矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记作A，于是有A= A.证明 必要性：设A可逆，由A A=I，有=，则=，所以0，即A为非奇异.充分性： 设A为非奇异，存在矩阵B=，其中AB= =I同理可证BA=I.由此可知，若A可逆，则A= A.用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角

5、线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA=I来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A、A都是非奇异矩阵，且A为n阶方阵，A为m阶方阵 证明 因为=0, 所以A可逆.设A=，于是有=,其中 X A=I ， Y A=0，Z A=0，W A=I.又因为A、A都可逆，用A、A分别右乘上面左右两组等式得：X= A，Y=0，Z=0，W= A故 A= 把上述结论推广到每一个子块

6、都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：=4.2.准三角形矩阵求逆命题设A、A都是非奇异矩阵，则有=证明 因为=两边求逆得=所以 =同理可证=此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA=E，把题目中的逆矩阵化简掉。 例1 计算（A+4E）（4E-A）（16E-A）的行列式，其中 A=解 令 =DD= =.虽然题目中出现了（4E-A）.但是经

7、过化简之后不再出现此式，因此得D=22500.例2 已知 n阶矩阵A满足A+2A-3E=0.求证：A+4E可逆并求出A+4E的逆.证明 把A+2A-3E=0变形为A+2A-8E=5E，即（A+4E）（A-2E）=-5E，可得（A+4E）（-A/5+2E/5）=E，所以存在一个矩阵B=-A/5+2E/5，使（A+4E）B=E，由定义得A+4E可逆，且（A+4E）=B=-A/5+2E/5.另外，有些计算命题中虽出现逆矩阵，但通过适当的矩阵运算可消去，因而不必急于求出逆矩阵.6利用线性方程组求逆矩阵 若n阶矩阵A可逆，则A A=E，于是A的第i列是线性方程组AX=E的解，i=1,2,n,E是第i个分

8、量是I的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B，其中B=（b,b,b）,然后把所求的解的公式中的b,b,b分别用E=（1,0,0,0），E=（0,1,0,0），E=(0,0,0,1)代替，便可以求得A的第1，2，n列，这种方法在某些时候可能比初等变换法求逆矩阵稍微简一点.下面例子说明该方法的应用.例 求矩阵A=的逆矩阵.解 设X=（x,x,x,x,x）,B=(b,b,b,b,b) 解方程组 AX=B，即：解得： 然后把B=（b,b,b）列，分别用E=（1,0,0,0），E=（0,1,0,0），E=(0,0,0,1)代入，得到矩阵A的第1，2 ，3，4，5列，分别用x=(,0,0,0,0

9、),x=(3,0,0,0),x=(3,3,0,0),x=(3,3,3,0),x=(3,3,3,3,)A=.这种方法特别适用于线性方程组AX=B比较容易求解的情形，也是很多工程类问题的解决方法.以上各种求逆方法只是我的一些粗浅的认识，也许有很多的不当之处，我希望我的这篇文章能给大家带来帮助，能帮助我们更快更准地解决好繁琐的求逆矩阵问题.同时，它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础.但我很希望各位老师和同学给于指导.能使我的这篇文章更加完善和实用.参 考 文 献1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数M . 北京: 高等教

10、育出版社, 2001.2 杨明顺. 三角矩阵求逆的一种方法J . 渭南师范学院学报, 2003.3 丘维声. 高等代数M . 北京: 高等教育出版社,2001.4 杨子胥. 高等代数习题集M . 济南:山东科学技术出版社,1984.5 赵树原. 线性代数M . 北京:中国人民大学出版社,1997.6 李宗铎. 求逆矩阵的一个方法 J . 数学通报,1983.7 贺福利等. 关于矩阵对角化的几个条件J . 高等函授学报(自然科学版) ,2004 , (1)8 张禾瑞.郝炳新.高等代数M. 北京: 高等教育出版社.1999.9 王永葆. 线性代数M.长春：东北大学出版社.2001.10 同济大学遍.线性代数（第二版）. 北京: 高等教育出版社，1982.11 王萼芳，丘维声编，高等代数讲义. 北京大学出版社，1983.13 华东师范大学数学系编.数学分析.人民教育出版社，198014 杜汉玲 求逆矩阵的方法与解析 高等函授学报(自然科学版) 第17卷第4期2004年8月15 苏敏 逆矩阵求法的进一步研究 河南纺织高等专科学校学报，2004 年第16 卷第2 期8_