第一型曲面积分【高等数学PPT课件】.ppt

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1、一、第一型曲面积分的概念与性质一、第一型曲面积分的概念与性质 二、第一型曲面积分的计算法二、第一型曲面积分的计算法第四节第四节 第一型曲面积分第一型曲面积分 第十一章 oxyz一、第一型曲面积分的概念与性质一、第一型曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求平面薄片质量的思想类似求平面薄片质量的思想, 采用采用kkkkS),(可得可得nk 10limM),(kkk求质求质 “分割分割, 近似近似, 求和求和, 取极限取极限” 的方法的方法,量量 M.其中其中, 表示表示 n 小块曲面的直径的小块曲面的直径的最大值最大值 (曲面的直径为

2、其上任意两点间距离的最大者曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). ( , , )dM x y zS 定义定义: 设设 为光滑曲面为光滑曲面,“乘积乘积和式极限和式极限” kkkkSf),(nk 10lim都存在都存在,曲面积分曲面积分,Szyxfd),(其中其中 f (x, y, z) 叫做叫做被积被积据此定义据此定义, 曲面形构件的质量为曲面形构件的质量为曲面面积为曲面面积为dSS f (x, y, z) 是定义在是定义在 上的一上的一 个有界个有界函数函数,记作记作若对若对 做做任意分割任意分割和局部区域和局部区域任意取点任意取点, 则称此极限为函数则称此极限为函数 f (x, y,

3、z) 在曲面在曲面 上上第一型第一型函数函数, 叫做叫做积分曲面积分曲面则第一型曲面积分存在则第一型曲面积分存在. 对积分域的可加性对积分域的可加性.,21则有则有( , , )df x y zS 1( , , )df x y zS 2( , , )df x y zS 12( , , )( , , ) dk f x y zk g x y zS 线性性质线性性质.12,k k设设为为常常数数 则则12( , , )d( , , )dkf x y zSkg x y zS( , , )f x y z若若在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续, 第一型第一型曲面积分与曲面积分与第一型第一型曲线积分性质类似

4、曲线积分性质类似. 积分的存在性积分的存在性. 若若 是分片光滑的是分片光滑的,例如分成两例如分成两片光滑曲面片光滑曲面oxyz定理定理: 设有光滑曲面设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在在 上连续上连续,存在存在, 且有且有( , , )df x y zS ( , ,)x yDf x y ( , , )df x y zS ),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、第一型曲面积分的计算法二、第一型曲面积分的计算法 则则曲面积分曲面积分证明证明: 略略()kxy (,)kkk yxDoxyz定理定理: 设有光滑曲面设有光滑曲面yxDyxyxzz)

5、,(),(:f (x, y, z) 在在 上连续上连续,存在存在, 且有且有( , , )df x y zS ( , ,)x yDf x y ( , , )df x y zS ),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、第一型曲面积分的计算法二、第一型曲面积分的计算法 则则曲面积分曲面积分证明证明: 由定义知由定义知( , , )df x y zS kkkkSf),(nk 10lim()kxy (,)kkk yxDkS22()1( , )( , )d dkx yxyzx yzx yxy yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),()

6、,(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(12222( , ,)1( , )( , )d dxyxyDf x yzx yzx yx y ),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzf( , , )df x y zS 而而( 光滑光滑)记忆记忆);,(,( ),(),(:yxzyxfzyxfyxzz ; ),(),(122dxdyyxzyxzdSyx . xyDxoy面投影，得面投影，得向向将曲面将曲面 ;1),(, ),(22dxdyzzyxzyxfdSzyxfxyDyx );,(:. 1yxzz 若曲面若曲面则则二代：二代：三换：三换：一投：一投：;1),(,

7、22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),();),(,( ),(),(:zzxyxfzyxfzxyy ; ),(),(122dxdzzxyzxydSzx . xzDxoz面投影，得面投影，得向向将曲面将曲面 则则二代：二代：三换：三换：一投：一投：);,(:. 2zxyy 若曲面若曲面.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面则则二代：二代：);,),( ),(),(:zyzyxfzyxfzyxx 三换：三换：; ),(),(122dydzzyxzyxdSzy 一投：一投：. yzDyoz面投影，得面投影，得向向将

8、曲面将曲面 注：这里曲面函数均是单值函数注：这里曲面函数均是单值函数.yxD例例1 1. . 计算曲面积分计算曲面积分d,Sz 其中其中 是球面是球面222zyx被平面被平面)0(ahhz截出的顶部截出的顶部.解解: :222:,( , )x yzaxyx yD2222:x yDxyah 221xyzz222aaxy dSz 20da0)ln(2122222haraahaaln2222d dx yDax yaxy 22022dhararr2aoxzyha思考思考:若若 是球面是球面2222azyx被平行平面被平行平面 z =h 截截出的上下两部分出的上下两部分,) (dzS) (dzS0hln

9、4aa则则hhoxzy例例2.2. 计算计算d,x yzS 其中其中 是由平面是由平面坐标面所围成的四面体的表面坐标面所围成的四面体的表面. ozyx111解解: 设设上的部分上的部分, 则则4321,4dx yzS ,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx与, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx1234 Szyxd 原式原式 = 分别表示分别表示 在平面在平面 xozy例例3.3. 设设2222:azyx),(zyxf计算计算( , , )d.If x y zS 解解: 锥面锥面22yxz的222yxaz2222122,.xyaza1设,)

10、,(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面与上半球面交线为交线为为上半球面夹于锥面间的部分为上半球面夹于锥面间的部分, 它在它在 xoy 面上的面上的投影域为投影域为1yxD则则 122() dIxyS 122() dIxyS 22()xyDxy rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD思考思考: 若例若例3 中被积函数改为中被积函数改为),(zyxf,22yx ，022yxz当22yxz当计算结果如何计算结果如何 ? 例例3. 计算计算22() d,IxyS 其中其中 是球面是球面22yx 利用对称性可知利用对称性可知222dddxSySzS ?2222() d3IxyzS 4() d3xyzS 4dxS 4dxS 48)3(4142解解: 显然球心为显然球心为, ) 1 , 1 , 1 (半径为半径为3x利用重心公式dxS dS ).(22zyxzdddxSy SzS ?