2022年2022年函数的单调性-知识点与题型归纳 2.pdf

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1、1 高考明方向1. 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2. 会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 备考知考情1. 函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用2. 题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理名师一号P15 注意：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1

2、 页，共 30 页 - - - - - - - - - 2 研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集单调区间不能并！知识点一函数的单调性1. 单调函数的定义2. 单调性、单调区间的定义若函数 f(x) 在区间 D上是增函数或减函数，则称函数 f(x) 在这一区间上具有 (严格的 )单调性，区间 D叫做 f(x) 的单调区间 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 30 页 - - - - - - - - - 3 注意：1、 名师一号 P

3、16 问题探究问题 1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？(1) 定义中 x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值(2) 函数的单调区间必须是定义域的子集；(3) 定义的两种变式：设任意 x1，x2a ，b 且 x10 ? f(x) 在a ，b 上是增函数； (x1x2)f(x1)f(x2)0 ? f(x) 在a ，b 上是减函数2、 名师一号 P16 问题探究问题 2 单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

4、- - 第 3 页，共 30 页 - - - - - - - - - 4 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结知识点二单调性的证明方法：定义法及导数法名师一号 P16 高频考点例 1 规律方法 (1) 定义法 : 利用定义证明函数单调性的一般步骤是：任取 x1、x2D，且 x10 ，则 f(x) 在区间 D内为增函数；如果f (x)0 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 30 页 - - - - - - - - - 6 则1f

5、x为减(增) 函数，fx为增(减) 函数3互为反函数的两个函数有相同的单调性4yfg(x)是定义在 M上的函数，若 f(x) 与 g(x) 的单调性相同，则其复合函数 fg(x)为增函数；若 f(x) 、g(x) 的单调性相反，则其复合函数 fg(x)为减函数简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 30 页 - - - - - - - - - 7 函数

6、单调性的应用名师一号 P17 特色专题(1) 求某些函数的值域或最值(2) 比较函数值或自变量值的大小(3) 解、证不等式(4) 求参数的取值范围或值(5) 作函数图象二、例题分析：（一) 函数单调性的判断与证明例 1. （1） 名师一号 P16 对点自测 1 判断下列说法是否正确(1) 函数 f(x) 2x1 在(， )上是增函数( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 30 页 - - - - - - - - - 8 (2) 函数 f(x) 1x在其定义

7、域上是减函数( ) (3) 已知 f(x) x，g(x) 2x，则 yf(x) g(x) 在定义域上是增函数 ( ) 答案：例 1.（2） 名师一号 P16 高频考点例 1（1）(2014北京卷 )下列函数中，在区间 (0，)上为增函数的是 ( ) Ayx1 By(x 1)2Cy2x Dylog0.5(x 1) 答案： A. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 30 页 - - - - - - - - - 9 例 2.（1） 名师一号 P16 高频考点例 1（

8、2）判断函数 f(x) axx1在( 1，)上的单调性，并证明法一：定义法设1x1x2，则 f(x1)f(x2) ax1x11ax2x21ax12ax21121x2121x1x2，x1x20，x210. 当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 yf(x) 在(1，)上单调递增名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 30 页 - - - - - - - - - 10 同理当 a0，即 f(x1)f(x2)，函数 yf(x) 在(1，)上

9、单调递减法二：导数法注意： 名师一号 P17 高频考点例 1 规律方法1. 判断函数的单调性应先求定义域；2. 用定义法判断 ( 或证明 )函数单调性的一般步骤为：取值作差变形判号定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；3. 用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视（二）求复合函数、分段函数的单调性区间例 1. 名师一号 P16 高频考点例 2（1）求函数 yx|1 x| 的单调增区间；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 30 页 -

10、 - - - - - - - - 11 yx|1 x| 1，x1，2x1，x0.则 x3. 函数 ylog13 (x24x3)的定义域为 ( ，1)(3，)又 ux24x3 的图象的对称轴为x2， 且开口向上，ux24x3 在(， 1) 上是减函数，在(3，)上是增函数而函数 ylog13 u 在(0 ，)上是减函数，ylog13 (x24x3) 的单调递减区间为 (3 ，)，单调递增区间为 ( ， 1)注意： 名师一号 P17 高频考点例 2 规律方法求函数的单调区间的常用方法(1) 利用已知函数的单调性，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

11、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 30 页 - - - - - - - - - 13 即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2) 定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3) 图象法：如果 f(x) 是以图象形式给出的，或者 f(x) 的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4) 导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间例 2. （2）(补充 )21122log4logyxx答案：增区间：1,4；减区间：10,4练习:222loglogyxx答案：增区间：2,；减区间：0, 2（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小名师资料

12、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 30 页 - - - - - - - - - 14 例 1. （1） 名师一号 P17 特色专题典例(1) 已知函数 f(x) log2x11x，若 x1(1,2) ，x2(2，)，则 ( ) Af(x1)0，f(x2)0 B f(x1)0 Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0 【规范解答】函数 f(x) log2x11x在(1 ，)上为增函数，且f(2) 0，当 x1(1,2) 时， f(x1)f(2) 0，即 f(x1)

13、0. 例 1. （2） 名师一号 P17 特色专题典例(2) 已知函数 f(x) x24x3，x0，x22x3，x0，则不等名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 30 页 - - - - - - - - - 15 式f(a24)f(3a) 的解集为 ( ) A(2,6) B(1,4) C (1,4) D(3,5) 【规范解答】作出函数f(x) 的图象，如图所示，则函数f(x) 在 R上是单调递减的由f(a24)f(3a) ，可得 a243a，整理得 a23a4

14、0即(a1)(a 4)0，解得 1a4，所以不等式的解集为 ( 1,4) 注意: 本例分段函数的单调区间可以并! （四）已知单调性求参数的值或取值范围例 1.(1) 名师一号 P17 特色专题典例(3) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 30 页 - - - - - - - - - 16 已知函数2,211,22xax xfxx满足对任意的实数 x1x2，都有1212()()0f xf xxx成立，则实数 a的取值范围为 ( ) A(， 2) B.，138

15、 C (， 2 D.138，2【规范解答】函数f(x) 是 R上的减函数，于是有a20，1221，由此解得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 30 页 - - - - - - - - - 17 a138，即实数 a 的取值范围是 ，138. 例 2.(1) （补充）如果函数f(x) ax22x3 在区间(， 4)上单调递增，则实数a 的取值范围是_ 答案 14，0 解析 (1) 当 a0 时，f(x) 2x3，在定义域R上单调递增，故在 (，4) 上单调递增

16、；(2) 当 a0时，二次函数 f(x) 的对称轴为直线x1a，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 30 页 - - - - - - - - - 18 因为 f(x) 在( ，4)上单调递增，所以 a0，且1a4，解得14a0， 则由 f (x) 0得 x2a， 当 x2a时，f (x)0 ，f(x) 单调增，当2a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

17、- - - 第 18 页，共 30 页 - - - - - - - - - 19 x2a时，f(x) 单调减，f(x) 的单调减区间为 ( 2a， 2a) ，从而2a2，a2. 变式：若 f(x) x36ax 在区间 (2,2) 单调递减，则 a 的取值范围是？ 点评 f(x) 的单调递减区间是 ( 2,2) 和 f(x) 在( 2，2)上单调递减是不同的，应加以区分本例亦可用 x2是方程 f (x) 3x26a0 的两根解得 a2. 例 2.(3) （补充）若函数)2, 3()(log)(321在axxxf上单调递减，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

18、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 30 页 - - - - - - - - - 20 则实数a的取值范围是（）A9 ，12 B 4 ，12 C4 ，27 D9 ，27 答案： A 温故知新 P23 第 9 题若函数212log3fxxaxa在区间2,上单调递减，则实数a的取值范围是计时双基练 P217 基础 7 计时双基练 P217 基础 8、10 8、设函数12axfxxa在区间2,上是增函数, 那么 a的取值范围是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

19、 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 30 页 - - - - - - - - - 21 答案: 1,10、设函数xfxxaxa（2）若0a且 fx 在区间 1,内单调递减 , 求a的取值范围 . 答案: 1,（五）抽象函数的单调性例 1. （补充）已知 f(x) 为 R上的减函数，那么满足f(|1x|)f(1)的实数 x 的取值范围是 ( ) A(1,1) B(0,1) C(1,0) (0,1) D(， 1) (1 ，) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

20、- - 第 21 页，共 30 页 - - - - - - - - - 22 答案： C 解析：因为 f(x) 为减函数， f(|1x|)1， 则|x|1 且 x0， 即 x(1,0) (0 ,1) 练习：( )yf x是定义在1,1 上的增函数，解不等式2(1)(1)fxfx答案：0,1温故知新 P12 第 8 题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 30 页 - - - - - - - - - 23 注意：解抽象函数的不等式通常立足单调性定义或借助图像求解

21、例 2. 计时双基练 P216 培优 4 函数( )fx的定义域为0,，且对一切0,0 xy都有()( )xff xfyy， 当1x时， 有( )0f x。（1）求(1)f的值；（2）判断( )f x的单调性并加以证明；（3）若(4)2f，求( )fx在 1,16 上的值域 . 答案: 单调增 ; 0,4注意：有关抽象函数单调性的证明通常立足定义练习: 计时双基练 P218 培优 4 函数( )fx的定义域为0,，且对一切,x yR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23

22、 页，共 30 页 - - - - - - - - - 24 都有( )()f xfyf xy ，当0 x时，有2( )0,13f xf. (1) 求证: ( )f x在 R上是减函数；(2) 求( )f x在3,3 上的最大值与最小值 . 答案: 2; 2课后作业一、 计时双基练 P217 基础 1-10 课本 P16-17 变式思考 1、2；二、 计时双基练 P217 基础 11、培优 1-4 课本 P18对应训练 1、2、3 预习 第二章第四节函数的奇偶性与周期性补充：练习 1：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

23、- 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 30 页 - - - - - - - - - 25 函数 f(x) x3a，x0 且 a1)是 R上的减函数，则a 的取值范围是 ( ) A(0,1) B13，1) C(0，13 D(0，23 分析： f(x) 在 R上为减函数，故 f(x) ax(x 0)为减函数，可知0a1 ，又由 f(x) 在 R上为减函数可知， f(x) 在 x0 时的值恒大于 f(x) 在 x0时的值，从而 3a1.解析： f(x) 在 R上单调递减，0a1 ，3a1.13a1 ，又由 f(x) 在(， 1)上单增， 3a0，a3 ，又由于 f(x) 在

24、 R上是增函数，为了满足单调区间的定义， f(x) 在( ，1 上的最大值 35a 要小于等于 f(x) 在1 ，)上的最小值 0， 才能保证单调区间的要求， 35a0，即 a35，由可得1a3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 30 页 - - - - - - - - - 27 解法 2：令 a 分别等于35、0、1，即可排除 A、B、C ，故选 D. 点评 f(x) 在 R上是增函数， a 的取值不仅要保证 f(x) 在( ， 1)上和1 ，)上都是

25、增函数，还要保证 x11， x21 时，有 f(x1)f(x2)练习 3：若函数 f(x) 2x2lnx 在其定义域内的一个子区间(k 1，k1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 ( ) A1 ，) B1 ，32) C1,2) D32，2) 答案 B 解析 因为 f(x) 定义域为 (0 ，)，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 30 页 - - - - - - - - - 28 f (x) 4x1x，由 f (x) 0，得 x12. 据题意，k112

26、k1k10，解得 1k32，选 B. 练习 4: 已知函数322312yxaxx(1) 若函数在 R上是单调增函数，则a 的取值范围是 . 解析: 若函数在R上是单调增函数( )0Rx fx因为26612yxax开口方向向上，所以0,即236420,a即2 22 2a时条件成立；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 28 页，共 30 页 - - - - - - - - - 29 （2）已知函数322312yxaxx，若函数的单调递减区间是1,2 ，则 a的值是 . 解析:

27、 若函数的单调递减区间是1,2(1,2)( )0 x fx26612yxax所以1,2是方程266120 xax的两个实数根 ,由韦达定理，12,3aa(3) 若函数在2,)上是单调增函数，则 a 的取值范围是 . 解析: 若函数在2,)上是单调增函数2,( )0 x fx分类讨论： 当,0即236420,a即2 22 2a条件成立；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 29 页，共 30 页 - - - - - - - - - 30 当02 22 22423(2)0aaaaaf或，即32 2a或2 2a条件成立；综上，3a条件成立，3a为所求 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 30 页，共 30 页 - - - - - - - - -