2022年数字信号处理复习总结 .pdf

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1、1 绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念。0.1 信号、系统与信号处理1.信号及其分类信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。分类：周期信号 /非周期信号确定信号 /随机信号能量信号 /功率信号连续时间信号 /离散时间信号 /数字信号按自变量与函数值的取值形式不同分类：2.系统系统定义为处理（或变换）信号的物理设备，或者说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。3.信号处理信号处理即是用系统对信号进行某种加工。包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。所谓“ 数字信号处理 ” ，就是用数值计算的方法，

2、完成对信号的处理。0.2 数字信号处理系统的基本组成数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。不仅应用于数字化信号的处理，而且也可应用于模拟信号的处理。以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。（1）前置滤波器精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 40 页2 将输入信号xa(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。（2）A/D 变换器在 A/D 变换器中每隔T 秒（抽样周期）取出一次xa(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。在A/D 变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。（3）数字信号处

3、理器（DSP）（4）D/A 变换器按照预定要求，在处理器中将信号序列x(n)进行加工处理得到输出信号y(n)。由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步。（5）模拟滤波器把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号ya(t)。0.3 数字信号处理的特点（1）灵活性。（2）高精度和高稳定性。 （3）便于大规模集成。 （4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。0.4 数字信号处理基本学科分支数字信号处理（DSP）一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术DigitalSignalProcessing，另一层是狭义的理解，为数字信

4、号处理器 DigitalSignalProcessor。0.5 课程内容该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“ 经典 ” 处理方法，包括：（1）离散傅里叶变换及其快速算法。 （2）滤波理论（线性时不变离散时间系统，用于分离相加性组合的信号，要求信号频谱占据不同的频段）。在研究生阶段相应课程为“ 现代信号处理 ” （AdvancedSignalProcessing） 。信号对象主要是随机信号，主要内容是自适应滤波（用于分离相加性组合的信号，但频谱占据同一频段）和现代谱估计。第一章：本章概念较多，需要理解和识记的内容较多，学习时要注意。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

5、归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 40 页3 1.1 离散时间信号1.离散时间信号的定义离散时间信号是指一个实数或复数的数字序列，它是整数自变量n 的函数，表示为x(n)。一般由模拟信号等间隔采样得到：( )()aat nTx nxxnTn。时域离散信号有三种表示方法：1）用集合符号表示2）用公式表示3）用图形表示2.几种基本离散时间信号（1）单位采样序列（2）单位阶跃序列（3）矩形序列（4）实指数序列（5）正弦序列是正弦序列数字域的频率，单位是弧度。对 连 续 信 号 中 的 正 弦 信 号 进 行 采 样 ， 可 得 正 弦 序 列 。 设 连 续 信 号 为， 它 的

6、采 样 值 为，因此（重点）这个式子具有一般性，它反映了由连续信号采样得到的离散序列，其数字频率与模拟频率的一般关系。另外需要说明的是， 的单位为弧度，的单位为弧度 /秒。本书中，我们一律以表示数字域频率，而以及 f 表示模拟域频率。例：已知采样频率FT = 1000Hz, 则序列 x（n） = cos(0.4 n) 对应的模拟频率为( 400 ) 弧度 /s。说明：本题旨在理解数字频率与模拟频率之间的关系：TF。（6）复指数序列复指数序列是以余弦序列为实部、正弦序列为虚部所构成的一个复数序列。（7）周期序列 (重点 ) 所有n存在一个最小的正整数N,满足：)()(Nnxnx,则称序列)(nx

7、是周期序列，周期为N。(注意：按此定义，模拟信号是周期信号，采用后的离散信号未必是周期的) 例：正弦序列)sin(0n的周期性：当kN20，k为整数时，)sin()(sin00nNn，即为周期性序列。周期02 kN，式中，k、N限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 40 页4 取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数。可分几种情况讨论如下： （1）当0/2为整数时，只要1k，0/2N就为最小正整数，即周期为0/2。 （2）当0/2不是整数，而是一个有理数时，设QP /20，式中，P、Q是互为素数的整数（互为素数就是两个数没有

8、公约数） ，取Qk，则PN，即周期为P。 （3）当0/2是无理数时，则任何k皆不能使N为正整数，这时，正弦序列不是周期性的。例：X(n) = cos(0.4 n)的基本周期为 ( 5 )。说明 基本周期的定义即计算公式：kN2，其中 N 和 k 均为整数， N 为基本周期 （使得 N 为最小整数时k 取值）。本题 = 0.4 ，代入上式得到：1,5kN。3.信号运算（1）加法：两个信号之和由同序号的序列值逐点对应相加得到。（2）乘法：两个信号之积由同序号的序列值逐点对应相乘得到。（3）移位：当，序列右移（称为延时） ；当，序列左移（称为超前） 。（4）翻转：4.信号分解（重点）任一信号 x(n

9、)可表示成单位脉冲序列的移位加权和：简记为1.2 时域离散系统时域离散系统定义()().x ny nT( )( )y nT x n1 线性系统（重点）判定公式：若1( )y n=1( )T x n,2( )yn=2( )T xn则1212( )( )( )( )( )y nT ax nbxnay nbyn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 40 页5 2 时不变系统（重点）判定公式： y(n)=Tx(n) y(n-0n)=Tx(n-0n) 例：判断下列系统是否为线性、时不变系统。（1）( )( )2 (1)3 (2)y nx

10、 nx nx n；（2）2( )( )y nxn；解：（1）令：输入为0()x nn，输出为0000000( )()2 (1)3 (2)()()2 (1)3 (2)( )y nx nnx nnx nny nnx nnx nnx nny n故该系统是时不变系统。12121212( )( )( )( )( )2(1)(1)3(2)(2)y nT ax nbx nax nbx nax nbx nax nbx n1111( )( )2(1)3(2)T ax nax nax nax n2222( )( )2(1)3(2)T bxnbxnbxnbxn1212( )( )( )( )T ax nbxnaT

11、x nbT xn故该系统是线性系统。（2）2( )( )y nxn令：输入为0()x nn，输出为20( )()y nxnn，因为200()()( )y nnxnny n故系统是时不变系统。又因为21212122212( )( )( )( )( )( )( )( )T ax nbxnaxnbxnaT x nbT xnaxnbxn因此系统是非线性系统。3 线性时不变系统（LTI 系统）输入与输出之间关系（重点）：( )( )h nTn( )() ()my nx mnm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 40 页6 ( )()

12、()my nTx mnmy（n）=() ()mx m h nm=x（n）*h （n）重点：线性离不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应的卷积【说明】离散时间LTI 系统的单位冲激响应h(n)为系统对单位冲激序列(n)的零状态响应。单位冲激响应的概念非常重要。在时域，LTI 系统可以由其单位冲激响应h(n)唯一确定，因此，我们常常用单位冲激响应描述LTI 系统。在这种情况下，LTI 系统的输入输出关系可以由卷积运算描述：y（n）=() ()mx m h nm=x（n）*h（n）物理意义 ： 卷积和运算具有显式意义，即可以用来确定系统的输出。如果系统确定，则其单位冲激响应是唯一的。由此，

13、可求系统对任意输入的响应。注意： 计算卷积和的关键是求和区间的确定。因此，常常需要绘制序列x(m) 和 h(n-m)的图形。利用序列x(m) 和 h(n-m)的图形可助我们方便地确定求和区间。卷积的求解方法：线性卷积是一种非常重要的一种运算，对它的求解，一般我们采用作图法。线性卷积满足交换律，设两序列长度分别是N 和 M，线性卷积后序列的长度为NM1。卷积的计算过程包括翻转、移位、相乘、相加四个过程。1）将和用和表示，画出和这两个序列；2）选择一个序列，并将其按时间翻转形成序列；3）将移位 n，得到；4）将和相同 m 的序列值对应相乘后，再相加。例：已知 x(n)=4R(n),h(n)=4R(

14、n),求 y(n)=x(n)*h(n) 。解： （翻转，移位，相乘，相加）y(n)=() ()mx m h nm=44()()mRm Rnm例：设( ),x nn04n，4( )( )h nRn, ( )x n和( )h n如图 1 所示。求( )x n和( )h n的卷积( )y n。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 40 页7 n 0 1 2 3 R4(n)1 0 1 2 3 4 4 n ( )x n图 1 解方法一：用图解法求卷积和。(1) 将( )x n和( )h n用()x m和()h m表示 (图 2 中(a)

15、、(b)图)。m)( mx40 1 2 3 4)(am)(4mR- 3 -2 - 1 0)(cm)1(4mR-2 - 1 0 1)( d- 1 0 1 2n)( ny)( g10 0 1 2 3 4 5 6 7 m)5(4mR0 1 2 3 4 5)( fm)(4mR0 1 2 3 )(bm)2(4mR(e )图 2 图解法求卷积过程(2) 将()h m进行反折，形成()hm(图 2 中(c)图)；将()hm移位n，得到()h nm(图 2 中(d)、(e)、(f)图)。(3) 将()x m和()h nm相同m的序列值相乘，再相加，得到( )y n(图 2 中(g)图)。( )1,3,6,10

16、,9,7,4y n17n再讨论解析法求线性卷积。用式( )() ()my nx m h nm求解上式首先要根据()x m和()h nm的非零值区间确定求和的上下限，()x m的非零值区间为14m，()h nm的非零值 区 间 为03nm， 或3nmn， 由 两 个 非 零 值 区 间 可 得n的 取 值 区 间 为17n， 它 们 的 乘 积()()x mh nm的非零值区间应满足：14m和3nmn因此当1n、7n时，( )0y n；当13n时，0(1)( )12nmn ny nm；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 40

17、页8 当47n时，43(1)(8)( )12m nnny nm。与图解法结果一致。y(n)用公式表示为(1)/ 2( )(1)(8) /20n ny nnn1347nn其他方法二：当序列( )x n和( )h n的长度分别为有限长N和M时，可采用“不进位乘法”求两序列线卷积。如图 1所示：( )0,1,2,3,4x n，( )1,1,1,1h n( )0,1,3,6,10,9,7,4y n例：两线性时不变系统级联，其单位取样响应分别为)(1nh和)(2nh，输入为)(nx，求系统的输出)(ny。已知：)()(nunx，)4()()(1nnnh，)()(2nuanhn。解：设第一个系统的输出为)

18、(n，则) 3()2() 1()()4()()4()()()()()(1nnnnnununnnunhnxn因而输出为)3()2() 1()()()3()2() 1()()()()(3212nuanuanuanuanuannnnnhnnynnnnn4. 系统因果性和稳定性的判定（重点）1)稳定系统： 有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若| ( ) |x n，则|( )|y n（记住 ! ）线性移不变系统是稳定系统的充要条件：| ( ) |nh n（记住 !）或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

19、- -第 8 页，共 40 页9 2)因果系统：0n时刻的输出0()y n只由0n时刻之前的输入0( ),x n nn决定（记住 ! ）线性移不变系统是因果系统的充要条件：( )0,0h nn（记住 !）或：其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|Rx 3）稳定因果系统 ：同时满足上述两个条件的系统。线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：|( )|nh n，( )0,0h nn或：H(z) 的极点在单位园内H(z)的收敛域满足：|,1xxzRR例：判断线性时不变系统的因果性、稳定性，并给出依据。(1)101( )()Nky nx nkN；（2）00( )( )n nkn ny nx

20、k；解：（1）只要1N，该系统就是因果系统， 因为输出只与n 时刻的和 n 时刻以前的输入有关。 如果( )x nM，则( )y nM，因此系统是稳定系统。（2）如果( )x nM，000( )( )21n nkn ny nx knM，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关。注意：如果给出的是h(n) ，用上面要求记住的充要条件判断！1.3 线性常系数差分方程1 差分方程定义卷 积 和 是 一 种LTI 系 统 的 数 学 模 型 ， 一 般 情 况 下 ， 我 们 可 以 用 差 分 方 程 描 述LTI系 统 的 输 入 输 出 关 系 。MkkNkkknxbk

21、nya00差分方程给出了系统响应yn 的内部关系。为得到yn 的显式解，必须求解方程。2 差分方程求解（重点） ：1 经典法2 递推法3 变换域法例：设系统的差分方程为)(5.1)1(5.0)(nxnyny，输入序列为)()(nnx，求输出序列)(ny。解：一阶差分方程需一个初始条件。设初始条件为：0)1(y则5 .1)0(5.1)1(5 .0)0(xyy75.0)1(5.1)0(5.0)1 (xyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 40 页10 375.0)2(5.1)1(5 .0)2(xyy)()5.0(5.1)(nu

22、nyn设初始条件改为：1) 1(y则2)0(5.1) 1(5 .0)0(xyy1) 1(5 .1)0(5.0)1 (xyy5 .0)2(5.1)1 (5 .0)2(xyy)()5.0(2)(nunyn该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。1.4 模拟信号数字处理方法1 模拟信号数字处理框图（重点）( )axt：模拟信号输入预滤波：目的是限制带宽（一般使用低通滤波器）1 采样：将信号在时间上离散化A/DC ：模/数转换2 量化：将信号在幅度上离散化（量化中幅度值=采样幅度值）3 编码：将幅度值表示成二进制位（条件2scff）数字信号处理：对信号

23、进行运算处理D/AC ：数/模转换（一般用采样保持电路实现：台阶状连续时间信号在采样时刻幅度发生跳变）平滑滤波：滤除信号中高频成分（低通滤波器），使信号变得平滑( )yat：输入信号经过处理后的输出信号2连续信号的采样对连续信号进行理想采样，设采样脉冲，则采样输出（重点表达式 ）在讨论理想采样后，信号频谱发生的变化时，可遵循下面的思路：1）由；2）由；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 40 页11 3）根据频域卷积定理，由计算出。计算过程：1）2）周期信号可以用傅里叶级数展开，因此其中系数所以其傅里叶变换3）(重点表达式

24、 ) 因此，采样后信号频谱产生周期延拓，周期为s ，同时幅度为原来的1/T 倍。这是一个非常重要的性质，应熟练掌握。（重点）3 时域抽样定理 （重点）一个限带模拟信号( )ax t，若其频谱的最高频率为0F，对它进行等间隔抽样而得( )x n，抽样周期为T，或抽样频率为1/sFT；只有在抽样频率02sFF时，才可由( )ax t准确恢复( )x n。例：有一连续信号( )cos(2),axtft式中，20,2fHz（1）求出( )ax t的周期。（2）用采样间隔0.02Ts对( )axt进行采样，试写出采样信号( )axt%的表达式。（3）求出对应( )axt%的时域离散信号(序列 ) ( )

25、x n，并求出( )x n的周期。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 40 页12 解： （1）)(txa周期为sfT05.01（2）)05.0)()2cos()()()(sTnTtfnTnTttxtxnn（3）x(n)的数字频率=0.8，故258.022，因而周期N=5，所以 x(n)=cos(0.8 n+/2)简答题：1是不是任意连续信号离散后，都可从离散化后的信号恢复出原来的信号？为什么？2一个连续时间信号经过理想采样以后，其频谱会产生怎样的变化？在什么条件下，频谱不会产生失真？3离散信号频谱函数的一般特点是什么？第

26、二章：本章涉及信号及系统的频域分析方法，概念较多，但很基础，学习时要注意。2.1 序列的傅里叶变换的定义及性质1.定义DTFT 是一个用来确定离散时间序列频谱的重要数学工具。物理意义：傅里叶变换是将对信号的时域分析转换为对其在频域的分析，便于研究问题。若序列满足绝对可和条件则其傅里叶变换（DiscreteTimeFourierTransform-DTFT ）定义为nnjjenxeX)(-记住 ! 反变换定义为 ：deeXnxnjj)(21-记住 ! 傅里叶变换对精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 40 页13 2.性质1）

27、周期性（重点）： DTFT 是关于 的周期为 2的周期函数。(2)(2)()( )()jjMnjMnX ex n eX eM为整数2)线性（重点）：设11()( )jXeFT x n，22()( )jXeFT xn，那么1212( )( )()()jjFT ax nbxnaXebXe3）时移特性4）频移特性5）时域卷积定理（重点）6）频域卷积定理7）帕斯瓦尔定理时域总能量等于频域一周期内总能量。7) 幅度频谱为的偶函数，相位频谱为的奇函数。8) X(ej)的实部为 的偶函数，X(ej) 的虚部为 的奇函数。例：设系统的单位取样响应( )( ),01nh na u na，输入序列为( )( )2

28、 (2)x nnn，完成下面各题：（1）求出系统输出序列( )y n； （2）分别求出( )x n、( )h n和( )y n的傅里叶变换。解： （1）2( )( )*( )( )*( )2 (2)( )2(2)nnny nh nx na u nnna u nau n（2）202() ( )2 (2)1 21()( )11 2()()()1jwjwnjwnjwnjwnnjwnjwnnjwjwjwjwjwX enneeH ea u n ea eaeeY eH eX eaeg2.2 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系：()()jTaX eXj1()()jTaskX eXjjkT

29、式中22ssFT精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 40 页14 2.3 序列的 Z 变换1 Z 变换定义Z 变换为离散时间信号与LTI 系统分析的重要数学工具。给定一离散时间序列x(n)，其 z 变换定义为：( )( )nkX zx n zxxRzR- 记住! 其中，sez,js。z 变换存在情况下的Z 变量取值范围称为 收敛域 (ROC)。注意： Z 变换+不同收敛域对应不同收敛域的不同序列序列唯一（Z 变换 +收敛域） (重点) 例：求以下序列的Z 变换及收敛域：（1）2(1)nun；（2）2()nun；（3）2 (

30、 )(10)nu nu n解： （1）110112( )2( )2,122nnnnnnnZTu nu n zzzz（2）1111 2(1)2(1)22211,12122nnnnnnnnnnZTununzzzzzzz（3）901010112( )(10)212,012nnnnZTu nu nzzzz说明 上题也可以改为求序列的傅立叶变换。可以利用jezjzXeX)()(。2 Z 变换和 DTFT 之间的关系 (重点 ) DTFT 为单位圆上的z 变换。数学表达为：jezjzXeX)()(- 记住并理解 ! 3. 序列特性与X(z)的收敛域 ROC 的关系。 (重点) 收敛区域要依据序列的性质而定

31、。同时，也只有Z 变换的收敛区域确定之后，才能由Z 变换唯一地确定序列。一般来来说，序列的Z 变换的收敛域在Z 平面上的一环状区域：xxRzR|精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 40 页15 有限长序列：其它021NnNnxnx)()(，| z0右序列：1( )( )0 x nNnx n其它，|Z|Rx- 左序列：2( )( )0 x nnNx n其它，（|z|0 时：0|Z|Rx+；N20 时： 0|Z|Rx（牢记此结论 !）3）稳定因果系统 ：同时满足上述两个条件的系统。线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：|(

32、)|nh n，( )0,0h nn或：H(z) 的极点在单位园内（牢记此结论 !）H(z)的收敛域满足：|,1xxzRR例：.一因果 LTI 离散时间系统的传输函数15 .011)(zzH, 则系统的单位冲激响应为( 0.5nu（n）)。说明： 根据传递函数求系统的单位冲激响应，其实就是将传递函数进行逆z 变换，但要注意系统的因果性如何。例：因果 IIR 离散时间 LTI 系统，其传输函数15.011)(zzH，则系统 ( 稳定 )。例：一 FIR 离散时间LTI 系统总是 ( 稳定)。说明： 系统的稳定性如何判断？按照教材中的说法，就是系统传递函数的收敛域如果包括“单位圆”，则系统是稳定的。

33、如果你熟悉了序列的 z 变换的 ROC 的性质，则此题不难回答。对于因果系统来说，其单位冲激响应为因果序列，故其z 变换的 ROC 一定是某圆外部的整个区域。而这个圆就位于离原点最远的极点上，所以，对于因果系统，如果系统传递函数的全部极点都位于单位圆以内的话，则系统是稳定的。对于 FIR 系统，其单位冲激响应是一个有限长序列 ，其 z 变换的 ROC 为除了无穷远和原点之外的整个z 平面，自然包括单位圆， 所以 FIR系统始终是稳定的。5 系统的频率特性可由系统函数零点及极点确定NkNkMiMiNkkMiiNkkkMiiizzzzzzAzzzzAzazbzX1111110011)()()()(

34、)(（式中， zk是极点， zi是零点；在极点处，序列x(n)的 Z 变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 40 页21 第三章： DFT 是为适应计算机分析傅里叶变换规定的一种专门运算，本章是数字信号处理课程的重点章节。3.1 离散傅里叶级数1.周期序列的离散傅里叶级数（DFS）连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示，离散周期序列也可以表示成傅里叶级数形式。周期为 N 的复指数序列的基频序列为k 次谐波序列为由于，即，因而， 离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N 个是独立的。 因

35、此在展开成离散傅里叶级数时，我们只能取 N 个独立的谐波分量，通常取 k=0 到(N-1)，即（*）式中， 1/N 是习惯上采用的常数，是 k 次谐波的系数 。利用将（*）式两端同乘以，并对一个周期求和即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 40 页22 由于所以也是一个以 N 为周期的周期序列。因此，时域离散周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍然是一个周期序列。令，则其中， 符号 DFS.表示离散傅里叶级数正变换，IDFS. 表示离散傅里叶级数反变换。2.周期序列的傅里叶变换思路：由利用和 DTFT 的频移特性，可得傅里叶变

36、换时域、频域对应关系：根据序列的傅里叶变换和离散傅里叶级数频域特性，再结合连续时间信号的傅里叶变换频域特性，我们可以得出傅里叶变换时、频域的一般对应关系： 连续非周期，离散 周期。这种对应关系很重要，要求熟记。3.2 有限长序列的离散傅立叶变换(DFT) 1 定义)()(nxDFTkX ()( )NNDFS xnRk10( )NknNnx n W，0k1N-记住!( )( )x nIDFTX k()( )NNIDFS XkRn101( )NknNkX k WN，0n1N-记住 ! 其中，NjNeW2应当注意， 虽然)(nx和( )X k都是长度为N得有限长序列，但他们分别是由周期序列)(nxp

37、和)(kXp截取其主周期得到的，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 40 页23 本质上是做DFS 或 IDFS，所以不能忘记它们的隐含周期性。尤其是涉及其位移特性时更要注意。DFT 的隐含周期性：,NkkmNNNWWk m为整数，为自然数例：设)()(4nRnx，求)(nx的 4 点 DFT 。解：)(nx的 4 点离散傅里叶变换为：)4sin()sin()()(433042102kkeeenxkXkjnknjNnknNj3,2, 1,0k2 离散傅立叶变换与DTFT 、Z 变换的关系 (重点 ) 22( )() |(

38、) |jkNkz eNX kXjX zDFT 的物理意义：X （k） 为 x(n)的傅里叶变换()jX e在区间0,2上的等间隔采样。)(kX为)(zX在 Z 平面单位圆上的N点等间隔采样。简答题：1一个序列的DFT 与序列的傅里叶变换之间的关系是什么？2序列的 DTFT 和序列的 z 变换间的关系是什么？序列的DFT 和序列的 Z 变换间的关系是什么？3 时域分析(重点!) 记住结论：时域抽样对应频域的周期拓展，频率抽样对应时域的以周期N 的周期拓展。这可以表述为如下公式：mmNnxny)()(重点!) 3.3 离散傅里叶变换的基本性质1 线性性质若12( )( )( )y nax nbxn

39、则12( ) ( )( )( )Y kDFTy naXkbXk2 循环移位性质设)(nx是长度为M的有限长序列，则)(nx的N点循环移位定义为（MN） ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 40 页24 )()()(nRmnxnyNN循环移位的实现步骤：序列点数 M不够时补零，补到所需点数N(补充N-M个零点 )将x(n)以N为周期延拓为周期序列移位取主值序列)(nxNnxnx)()(Nmnxmnx)()()()()(nRmnxnyNN3 循环卷积定理（重点）1）设序列 h(n)和 x(n)的长度分别为N 和 M。h(n)

40、与 x(n)的 L 点循环卷积定义为10( )() () ( )LcLLmynh m x nmRn式中， L 称为循环卷积区间长度，LmaxN，M 。2) 循环卷积矩阵特点：（1）第 1 行是序列 x(0),x(1),x(L1)的循环倒相序列。注意，如果x(n)的长度 M乘加 移位 ：y（n）=x（n）*h （n）=h（k）x（n-k ）循环卷积：补零周期延拓 翻折 循环移位 对应值相加例：计算下面给出的两个长度为4 的序列 h(n)与 x(n)的 4 点和 8 点循环卷积。解：按照 循环卷积矩阵 写出 h(n)与 x(n)的 4 点循环卷积矩阵形式为cccc(0)(0)(1)(2)(1)(0

41、)(1)(1)(0)(1)(2)(1)(2)(2)(1)(0)(3)(2)(1)(1)(2)(3)(0)(1)yxx Lx Lxhyxxx Lxhyxxxxhy Lx Lx Lx Lxh LLLLMMMMOMMLcccc(0)1432110(1)2143110(2)3214110(3)4321110yyyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 40 页25 h(n)与 x(n)的 8 点循环卷积矩阵形式为【补充】计算h(n)与 x(n)的线性卷积？哪一种情况下计算的循环卷积结果就等于线性卷积？【说明】 当循环卷积区间长度L

42、大于等于y(n) = h(n)*x(n)的长度时，循环卷积结果就等于线性卷积。3） 时域循环卷积定理设 h(n)和 x(n)的长度分别为N 和 M，其 L 点循环卷积为( )( )cynh nL10( )() ()( )LLLmx nh m xnmRn且( ) ( )( ) ( )LLH kDFT h nX kDFT x n01kL则由 DFT 的循环卷积定理有( )( )( )( )ccLY kDFTynH k X k01kL4 复共轭序列的DFT （重点）性质：设*( )xn是 x(n)的复共轭序列，长度为N，( ) ( )NX kDFT x n，则*( )()01NDFT xkXNkkN

43、例：给定一16-点实序列 x（n）, 其 16-点 DFT 记为 X(k), 已知 X(13)= 2 + j3, 则X*(3) = ( 2 + j3 )。说明： DFT 的性质。实序列的DFT 的共轭对称性： X(k) X*(N-k) ，或 X(N-k) X*(k) 。 （牢记）3.4 频域采样定理离散傅里叶变换相当于信号傅里叶变换的等间隔采样，也就是说实现了频域的采样，便于计算机计算。那么是否任一序列都能用频域采样的方法去逼近呢？这是一个很吸引人的问题。我们考虑一个任意的绝对可和的序列x(n)，它的 z 变换为如果对 X(z)单位圆上进行等距离采样cccccccc(0)1110000432(

44、1)1321000043(2)1632100004(3)110432100000904321000(4)0043210007(5)00043210(6)0400004321(7)0yyyyyyyy0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 40 页26 现在要问，这样采样以后，信息有没有损失？或者说，采样后所获得的有限长序列xN(n)能不能代表原序列x(n)。为了弄清这个问题，我们从周期序列开始由于所以也即是原非周期序列x(n)的周期延拓序列， 其时域周期为频域采样点数N。在第一章我们看到， 时域的采样造成频域的周期延拓，这里又

45、对称的看到，频域采样同样造成时域的周期延拓。因此，如果序列x(n)不是有限长的，则时域周期延拓时，必然造成混叠现象，因而一定会产生误差。对于长度为M 的有限长序列，只有当频域采样点数N 大于或等于序列长度M 时，才有即可由频域采样值X(k)恢复出原序列x(n)，否则产生时域混叠现象，这就是所谓的频域采样定理。（重点记住！）内插公式：1101( )( )1NNkkNzX kX zNWz简答题：有限长序列)(nx的长度为 M ，对其进行频域采样，不失真的条件是什么？3.5 DFT 的应用举例1.用 DFT 计算线性卷积用循环（周期）卷积计算有限长序列的线性卷积(重点 ) 对周期要求：121NNN（

46、N1、N2 分别为两个序列的长度）(记住!) 简答题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 40 页27 两个有限长序列Mnnx0),(1，Nnnx0),(2， 对它们进行线性卷积， 结果用)(ny表示，)(ny的长度是多少？如果进行圆周卷积，那么什么时候线性卷积和圆周卷积的结果相等？2.用 DFT 进行谱分析的误差问题（1）混叠现象利用 DFT 逼近连续时间信号的傅里叶变换，为避免混叠失真，按照抽样定理的要求，采样频率至少是信号最高频率的两倍。解决混叠问题的唯一方法是保证采样频率足够高。（2）频谱泄露任何带限信号都是非时限

47、的，任何时限信号都是非带限的。实际问题中遇到的离散时间序列可能是非时限的、无限长序列，在对该序列利用 DFT 进行处理时，由于作DFT 的点数总是有限的，因此就有一个必须将该序列截断的问题。序列截断的过程相当于给该序列乘上一个矩形窗口函数RN(n)。如果原来序列的频谱为，矩形窗函数的频谱为，则截断后有限长序列的频谱为由于矩形窗函数频谱的引入，使卷积后的频谱被展宽了，即的频谱“泄露”到其它频率处，称为频谱泄露。在进行DFT 时，由于取无限个数据是不可能的，所以序列的时域截断是必然的，泄露是难以避免的。为了尽量减少泄露的影响，截断时要根据具体的情况，选择适当形状的窗函数，如汉宁窗或汉明窗等。（3）

48、栅栏效应由于 DFT 是有限长序列的频谱等间隔采样所得到的样本值，这就相当于透过一个栅栏去观察原来信号的频谱，因此必然有一些地方被栅栏所遮挡，这些被遮挡的部分就是未被采样到的部分，这种现象称为栅栏效应。由于栅栏效应总是存在的，因而可能会使信号频率中某些较大的频率分量由于被“ 遮挡 ” 而无法得到反映。此时，通常在有限长序列的尾部增补若干个零值，借以改变原序列的长度。这样对加长的序列作 DFT 时，由于点数增加就相当于调整了原来栅栏的间隙，可以使原来得不到反映的那些较大的频率分量落在采样点上而得到反映。简答题：用DFT 进行谱分析带来哪些误差问题？采取什么措施可以减少这些误差？第四章：快速傅里叶

49、变换并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法。4.1 直接计算 DFT 的问题及改进的途径直接计算 DFT，需要次复数乘法，次复数加法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 40 页28 直接计算离散傅里叶变换，由于计算量近似正比于N2，显然对于很大的N 值，直接计算离散傅里叶变换要求的算术运算量非常大。我们可以利用系数WNnk的特性来改善离散傅里叶变换的计算效率。（1）的对称性（2）的周期性利用的对称性和周期性，将大点数的DFT 分解成若干个小点数的DFT ，FFT 正是基于这个基本思路发展起来的。分类：按时间

50、抽取（DIT ）算法和按频率抽取（DIF）算法。4.2 基 2FFT 的算法原理和FFT 运算特点1）数据要求：2MN2）计算效率（乘法运算次数：12NM，加法计算次数： NM ） （复数运算）（DFT 运算：乘法运算次数：2N，加法计算次数：2N） （复数运算）对于算法原理，要求能够看懂分解流图。1 时域抽取法如下 (重点 )：设序列 x(n)长度为 N，且满足 N=2M，M 为正整数。按n 的奇偶把 x(n)分解为两个N/2 点的子序列：1(2 )( )0,1,12Nxrx rrL2(21)( )0,1,12NxrxrrL则 x(n)的 DFT 为10( ) ( )( )NnkNnX kD