空间向量及其运算知识总 .pdf

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1、1 空间向量及其运算1空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：空间的一个平移就是一个向量向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2空间向量的运算定 义 ： 与 平 面 向 量 运 算 一 样 ， 空 间 向 量 的 加 法 、 减 法 与 数 乘 向 量 运 算 如 下baABOAOB;baOBOABA;)(RaOP运算律：加法交换律：abba加法结合律：)()(cbacba数乘分配律：baba)(3平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到DCBA的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体， 并记作：ABCD

2、DCBA它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量向量 b 与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使 b a. 要注意其中对向量a的非零要求5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量a平行于 b 记作ba /当我们说向量a、 b 共线（或a/ b ）时，表示a、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线6 共线向量定理：空间任意两个向量a、 b （ b 0 ） ，a/ b

3、的充要条件是存在实数 ，使a b . 推论：如果l为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线， 那么对于任意一点O，点 P 在直线l上的充要条件是存在实数t 满足等式tOAOPa其中向量a叫做直线l的方向向量 . 空间直线的向量参数表示式：tOAOPa或)(OAOBtOAOPOBtOAt)1(，中点公式)(21OBOAOP7 向量与平面平行： 已知平面和向量a， 作 O Aa， 如果直线O A平行于或在内，那 么我 们说向 量a平行于 平面，记作：/a通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8共面向量定理：如果两个向量,a b不共线，p与向量,a b共面的

4、充要条件是存在实数,xy使pxayb推论：空间一点P位于平面M AB内的充分必要条件是存在有序实数对,x y，使M Px M Ay M B或对空间任一点O，有O POMx M Ay M B或,(1)O PxO AyO BzO Mxyz上面式叫做平面M AB的向量表达式9 空间向量基本定理：如果三个向量,a b c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,x y z，使pxaybzcaCBADDABCApbaOPABM名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页

5、，共 4 页 - - - - - - - - - 2 ykiA(x,y,z)Ojxz若三向量, ,a b c不共面，我们把,a bc叫做空间的一个基底，,a b c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,OA B C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数,x y z，使O PxO AyO BzO C10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b， 在空间任取一点O，作,OAa OBb，则AOB叫做向量a与 b 的夹角，记作,a b； 且规定0,a b， 显然有,a bba； 若,2a b，则称a与 b 互相垂直，记作：ab . 11向量的

6、模：设OAa ，则有向线段OA 的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a. 12 向 量 的 数 量 积 ： 已 知 向 量,a b， 则|c o s,abab叫 做,a b的 数 量 积 ， 记 作 a b ， 即a b| | cos,aba b已知向量 ABa 和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射 影B， 则A B叫 做 向 量AB在 轴l上 或 在e上 的 正 射 影 . 可 以 证 明A B的 长 度| c o s,|ABA Baeae13空间向量数量积的性质：（1）| cos,aeaa e （ 2）0abab（3）2|aaa14空间向量数量积运算

7、律：（1）()()()ababab （2） a bba （交换律）（3）()abcabac（分配律）空间向量的直角坐标及其运算1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 ,ij k表示；（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底 ,ij k，以点O为原点，分别以,ij k的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫原点， 向量,ij k都叫坐标向量 通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zO x平面；2空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxy

8、z中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(,)xy z，使O Axiyjzk，有序实数组(,)xy z叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作(,)A x y z， x 叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标常见坐标系正方体如图所示，正方体ABC DA B CD的棱长为 a ，一般选择点D为原点，D A、D C、D D所在直线分别为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则各点坐标为亦可选A点为原点 . 在长方体中建立空间直角坐标系与之类似. 正四面体如图所示，正四面体ABCD的棱长为 a ，一般选择A在BC D上的射影为原点，O C、O D（或O B） 、O A所在直线分别为x 轴

9、、y轴、z轴建立AADBBDCCyzxBCADOzxyABCDPOxyz名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3 空间直角坐标系Oxyz，则各点坐标为正四棱锥如图所示，正四棱锥PABC D的棱长为 a ，一般选择点P在平面ABC D的射影为原点，O A（或O C） 、O B（或O D） 、OP所在直线分别为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则各点坐标为正三棱柱如图所示， 正三棱柱ABCA B C的底面边长为

10、a ，高为h，一般选择A C中点为原点，O C（或O A） 、O B、O E（E为O在A C上的射影） 所在直线分别为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则各点坐标为3空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,)aaaa，123(,)bb bb，则112233(,)abababab，112233(,)abababab，123(,)()aaaaR，112233a ba ba ba b ，112233/,()ababababR，1122330aba ba ba b（2）若111(,)A xyz，222(,)B xyz，则212121(,)ABxxyyzz一个向量在直角坐标系中的坐标等于

11、表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若123(,)aaaa，123(,)bbbb，则222123|aaaaaa，222123|bb bbbb5夹角公式：112233222222123123cos| |a ba ba ba ba babaaabbb6两点间的距离公式：若111(,)A xyz，222(,)B xyz，则2222212121|()()()ABABxxyyzz，或222,212121()()()A Bdxxyyzz空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量. 在空间直角坐标系中，由111(,)A xyz与222(

12、,)B xyz确定直线AB的方向向量是212121(,)ABxxyyzz. 平面法向量如果 a，那么向量a 叫做平面的法向量 . 二、证明平行问题1证明线线平行：证明两直线平行可用112233/,()ababababR 或312123/aaaabbbb. 2.证明线面平行直线l的方向向量为a ，平面的法向量为n ，且l，若 an 即0a n则/a.3.证明面面平行平面的法向量为1n，平面的法向量为2n，若12/nn 即12nn则/. 三、证明垂直问题1证明线线垂直证明两直线垂直可用1122330aba ba ba ba b2证明线面垂直BCACABxyzOE名师资料总结 - - -精品资料欢迎

13、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4 直线l的方向向量为a ，平面的法向量为n ，且l，若/an 即 an 则 a. 3.证明面面垂直平面的法向量为1n，平面的法向量为2n，若12nn即120nn则. 四、夹角1求线线夹角设123(,)aaaa，123(,)bbbb，(0 ,90为一面直线所成角，则：| | cos,ababa b；112233222222123123cos,| |a ba ba baba babaaabbb；cos| cos,|a

14、b. 2求线面夹角如图，已知PA为平面的一条斜线， n 为平面的一个法向量， 过P作平面的垂线PO，连结OA则PAO为斜线PA和平面所成的角，记为易得sin|sin(,) |2O PAP| cos,|O PAP| cos,|nAP| cos,|n PA|nP AnPA. 3求面面夹角设1n、2n分别是二面角两个半平面、的法向量，当法向量1n、2n同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小为12,nn；当法向量1n、2n一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角的大小为12,nn.五、距离1求点点距离设111(,)A xyz，222(,)B xyz，222,212121()()()A Bdx

15、xyyzz222212121|()()()ABABABxxyyzz2求点面距离如图，A为平面任一点， 已知PA为平面的一条斜线，n 为平面的一个法向量， 过P作平面的垂线PO，连结OA则PAO为斜线PA和平面所成的角，记为易得| | sin| | cos,|POPAPAPAn| |PAnPAPAn|P Ann.3求线线距离求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算. 如图，设两条异面直线a 、b的公垂线的方向向量为n , 这时分别在a 、b上任取A、B两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线a 、b的距离 . 即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量

16、的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值. 直线 a 、b的距离|nABndABnn. 4求线面距离一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离. 5.求面面距离和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线. 公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段. 公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离. 平面和平面间的距离可转化为求点到平面的距离. nOPA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -