含参变量的积分 .pdf

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1、1 12.3 . 含参变量的积分教学目的掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则教学要求(1) 了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式(2) 掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明一、含参变量的有限积分设二元函数( , )f x u在矩形域(,)R axbu有定义，,u一元函数( , )f x u在 , a b可积，即积分( , )baf x u dx存在.,u都对应唯一一个确定的积分（值）( , )baf x u dx . 于是，积分( , )baf x u dx是定义在区间,的函数，表

2、为( )( , ), ,bauf x u dxu称为含参变量的有限积分 ，u 称为参变量 . 定理 1. 若函数( , )fx u在矩形域(,)R axbu连续，则函数( )( , )bauf x u dx在区间,也连续. 说明： 若函数( , )fx u满足定理 1 的条件， 积分与极限可以交换次序. 定理 2 . 若函数( , )f x u与fu在矩形域(,)R axbu连续，则函数( )( , )bauf x u dx 在区间,可导，且,u，有( , )( )badf x uudxduu，或( , )( , )bbaadf x uf x u dxdxduu. 简称积分号下可微分 . 说明

3、： 若函数( , )fx u满足定理 2 的条件， 导数与积分可以交换次序. 定理 3 . 若函数( ,)fx u在矩形域(,)R axbu连续，则函数( )( , )bauf x u dx 在区间,可积，且名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2 ( , )( , )bbaaf x u dx duf x u du dx. 简称积分号下可积分 . 说明： 若函数( , )fx u满足定理 3 的条件， 关于不同变数的

4、积分可以交换次序. 一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即( ),( )aa ubb u. 但,u，对应唯一一个积分 （值）()( )( , )b ua uf x u dx，它仍是区间,的函数，设()()( )( , ),b ua uuf x u dxu. 下面给出函数( )u在区间,的可微性 . 定理 4. 若函数( , )f x u与fu在矩形域(,)R axbu连续，而函数( )a u与( )b u在区间,可导，,u，有( ),( )aa ub ab ub，则函数()()( )( , ), ,b ua uuf x u dx u在区间,u可导，且

5、()( )( , )( ) ( ),( ) ( ),( )b ua udf x uudxf b uu b uf a uu a uduu二、例（ I ）例 1. 求函数1220( )ln()F yxydx 的导数(0)y解：0y，暂时固定，0，使1y，显然，被积函数22ln()xy与22222ln()yxyyxy在矩形域1(01,)Rxy都连续，根据定理2，有112222002( )ln()yFyxydxdxyxy11200122arctan2tan1xdyxatrcyyxy. 因为0,0,y使1y，所以0y，有1( )2tanFyatrcy. 例 2 . 求0( )ln(1cos ),1I r

6、rx dxr. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3 解：:1rr，暂时固定，0k，使1rk，显然，被积函数及其关于r 的偏导数，即( , )ln(1cos )f x rrx与cos1cosfxrrx在矩形区域(0,)Rxkrk连续，根据定理2 ，有00cos( )ln(1cos )1cosxIrrx dxdxrrx=0011cos111(1)1cos1cosrxdxdxrrxrrx01.(0)1cosdxrrr

7、rx设tan2xt（万能换元），有222222111cos(1)(1)11dxtdtdttrxrr trt=22221arctantan111211dtrxCrrrrtr从而，220021arctantan1cos1211dxrxrxrrr. 于是，2( ).(0)1Irrrrr（3）又有200lim( )lim01rrIrrrr. 将( )Ir在0r做连续开拓 . 令(0)0.I函数( )Ir在区间,k k连续，对等式（ 3）等号两端求不定积分，有2211( )()(lnln)1rI rdrrCrrrr2ln(11)rC . 已知(0)0.I，有1ln 2ln2C. 于是 ，22111( )

8、ln(11)lnln22rI rr. 例 3 . 证明：若函数( )f x在区间 , a b连续，则函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 4 11( )()( ), , (1)!xnay xxtf t dtxa bn是微分方程( )( )( )nyxf x 的解，并满足条件(1)( )0,( )0,( )0ny ay aya. 证明： 逐次应用定理 4，求函数( )y x的 n 阶导数，有2211( )(1)()

9、( )()( ).( )(1)!(1)!xnnay xnxtf t dtxtf xxnn=21()( )(2)!xnaxtf t dtn，31( )()( ),(3)!xnay xxtf t dtn(1)( )( ),xnayxf t dt( )( )( )nyxf x ，即函数( )y x是微分方程()( )( )nyxf x 的解，显然，当 xa时，()( )0,( )0,( )0ny ay aya. 例 4. 证明：若函数( )f x存在二阶导数，函数( )F x存在连续导数，则函数11( , )()()( )22x atz atu x tf xatf xatF z dza是弦振动方程2

10、2222uuatx的解. 证明： 根据定理 4，有11()()() ()()()22ufxatafxat aF xat aF xatata1()()()()22afxatfxatFxatF xat222()()()()22uaafxatfxatFxatFxatt11()()()()22ufxatfxatF xatF xatxa2211()()()()22ufxatfxatFxatFxatxa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - -

11、- - - 5 于是，22211()()()()22uafxatfxatFxatF xatxa222uax即( , )u x t是弦振动方程22222uuatx的解例 5 . 求积分10,0lnbaxxdxabx. 解法一 应用积分号下积分法 . 解： 函数( )lnbaxxy xx的原函数不是初等函数，函数( )y x在 0 与 1 没定义，却有极限0lim0lnbaxxxx. 11111limlimlim()1lnbababaxxxxxbxaxbxaxbaxx. 将函数( )y x在 0 与 1 作连续开拓，即0,0,( ),01,ln,1.baxxxy xxxbax从而，函数( )y x

12、在区间0,1连续. 已知( )lnlnbbaybyaaxxxy xx dyxx而函数( ,)yf x yx 在闭矩形域(01,)Rxayb连续，根据定理 3，有111000lnbabbyyaaxxdxx dy dxx dx dyx1101ln111ybbaaxdybdyyya. 解法二应用积分号下微分法 . 解： 设10( ),lnyaxxydxaybx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 6 根据定理 2，有111

13、10001( )ln11yayyyxxxydxx dxxyy. 两端求不定积分，有( )ln(1).1dyyyCy令ya，有( )0ln(1)aaC，即ln(1).Ca于是，1( )ln(1)ln(1)ln.1yyyaa令yb，有101( )ln.ln1baxxbbdxxa三、含参变量的无穷积分设二元函数( , )f x u在区域(,)D axu有定义。,a，无穷积分( , )af x u dx都收敛，即,u都对应唯一一个无穷积分 （值）( , )af x u dx. 于是，( , )af x u dx是区间,的函数，表为( )( , ), ,auf x u dxu，称为含参变量的无穷积分 ，

14、有时也简称 无穷积分 ，u是参变量 .定义 设uI，无穷积分( , )af x u dx收敛，若000,(0,AAAuI通用）有( , )( , )( , )AaaAf x u dxf x u dxf x u dx则称无穷积分( , )af x u dx在区间 I 一致收敛 。例 6 . 证明：无穷积分dxuexu0在区间 a,b(a0)一致收敛 . 证明： 设0A, 求无穷积分（将 u 看做常数）xuAuedx设1,xut dxdtu有1xuttAaAAaAauedxuedte dteu已知,aub有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

15、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 7 xuAuAaAuedxee0,使不等式Aae成立，解得11lnAa。取011ln.Aa于是，00110,ln, , ,AAAua ba有xuAaAuedxe即无穷积分0( , )f x u dx在区间 , a b一致收敛 . 定理 5 （柯西一致收敛准则） 无穷积分0( , )f x u dx在区间 I 一致收敛0( , )f x u dx010200,0,AAAAAuI与，有21( , )AAf x u dx. 定理 6 . 若0,BxBuI有( , )( )f

16、x uF x ，且无穷积分( )aF x dx 收敛，则无穷积分0( , )f x u dx在区间一致收敛。例 7. 证明：无穷积分20uxedx在区间 ,)a一致收敛(0)a证明： ,),ua有22uxaxee已知无穷积分20axedx收敛，根据定理6，则无穷积分20uxedx在区间 ,)a一致收敛 . 例 8. 证明： 无穷积分221cos xydxxy在 R一致收敛证明：yR，有222cos1xyxyx. 已知无穷积分211dxx，则无穷积分221cosxydxxy在 R一致收敛。定理 7 . 若函数( , )f x u在区域),(IuxaD(a0) ，连续且( , )( , )xaF

17、x uf t u dt在 D有界，即0,( , )Cx uD，有( , )( , )xaF x uf t u dtC则当0时，无穷积分dxxuxfa),(在区间 I 一致收敛 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 8 例 9 . 证明：无穷积分0sinyxxedxx在区间0,)一致收敛。证明： 因为0,),y有0sinlim1yxxxex，所以 0 不是被积函数的瑕点，因此将被积函数在 0 作连续开拓。首先证明无

18、穷积分1sinyxxedxx在区间0,)一致收敛由7.2 例 6 ，有211( sincos )( ,)sin1xytxyteyttF x yetdty22( sincos )( sin1cos1)11ytyeyxxeyyy( , )(1,0)x yDxy, 有222(1)(1)2(1)( . )0()111yxyyeyeyyF x yeyyyy于是，函数( , )F x y在区域 D有界，根据定理 7， 无穷积分11sinsin(10)yxyxxexedxdxxx在区间0,)一致收敛，再根据柯西一致收敛准则，无穷积分0sinyxxedxx在区间0,)一致收敛 . 定理 8.若函数( , )f

19、 x u在区域(,)D uxu，连续且无穷积分( )( , )auf x u dx在区间,一致收敛。则函数( )u在区间,连续。定理 9 . 若函数( , )f x u在区域(,)D uxu，连续且无穷积分( )( , )auf x u dx在区间,一致收敛，则函数( )u在区间,可积，且( )( , )au duf x u du dx，即( , )( , )aaf x u dx dufx u du dx. 简称积分号下可积分 . 定理 10. 若函数( , )f x u与( , )ufx u 在区域(,)D uxu，连续且无穷积分( )( , )auf x u dx在区间,收敛，而无穷积分(

20、 , )uafx u dx在区间,一致收敛， 则函数( )u在区间,可导，且名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 9 ( )( , )uaufx u dx即( , )( , )aadf x u dxf x u dxduu. 简称积分号下可微分 .四、例（ II ）例 10 . 证明：0ln,(0)axbxeebdxabxa证明： 将被积函数表积分，即baxbxbxaxyxaeeeeexxx- yxbbyxaayedy

21、edyx. 已知 , ,ya b有.yxaxee而无穷积分0axedx收敛。根据定理6，无穷积分0axedx 在区间 , a b一致收敛，根据定理9，交换积分次序，有000axbxbbyxyxaaeedxedy dxedx dyxlnlnlnbadybbaya例 11. 求无穷积分0sin xIdxx解：12.1 例 11 证明了无穷积分0sin xdxx收敛（条件收敛）因为被积函数sin xx不存在初等函数的原函数，所以不能直接求这个无穷积分，为此在被积函数中引入一个收敛因子(0)yxey，讨论无穷积分0sin( )(7)yxxI yedxx显然，(0)II。无穷积分（）的被积函数及其关于的

22、偏导数，即sinyxxex与sinsinyxyxxeexyx在区域(0,0)Dxy连续（连续开拓），已知无穷积分0sinyxxedxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 10 在区间0,)一致收敛（见例），下面证明。0，无穷积分00sinsinyxyxxedxexdxyx在区间 ,)一致收敛，事实上 ,),y有sinyxyxxexee已知无穷积分0 xedx收敛，由定理，无穷积分0sinxexdx在区间 ,)一致收

23、敛，根据定理 10， ,),y，有00sin( )sinyxyxxIyedxexdxyx220( sincos )111yxeyxxyy从而21( )arctan(8)1I ydyycy下面确定常数 C，0,y等式 8 都成立，有00sinsin( )yxyxxxI yedxedxxx0010()yxyxeedxyyy即lim( )0yI y，对等式（ 8）等号两端取极限()y，有lim( )lim arctanyyI yyc即02c或2C，于是( )arctan2I yy.下面证明函数( )I y在0y右连续，事实上，已知无穷积分（7）在区间0,)一致收敛，根据定理8，函数( )I y在(

24、)I y在0y右连续，对等式（ 9）等号两端取极限 (0 )y, 有00lim( )lim ( arctan)2yyI yy，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 11 即(0)2I. 于是0sin(0)2xIIdxx例 12. 求无穷积分0sin yxdxx解：显然， y=0 时，0sin yxdxx=0 当0y，设1,yxt dxdty由例 11，有00sinsin0,2yxtydxdtxt000sinsins

25、in0,2yxtuydxdtduxtu于是，0,02sin0,02yyxdxyx例 13 . 求无穷积分2sin xdxx解： 被积函数2sin xx是偶函数，有22200sinsin1cos22xxxdxdxdxxxx由分布公式与例12，有2200sin1cos21(1cos2 )xxdxdxx dxxx001cos22sin2xxdxxx0sin 22.2xdxx五、函数和 B函数（一）函数函数10( )xxe dx 称为函数函数的两个性质 ：1、函数在区间(0,)连续名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心

26、整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 12 2、递推公式0,有00(1)xxxe dxx de100()xxx exe dx（二）函数函数1110( , )(1)pqp qxxdx 称为函数( , )p q的性质1. 对称性( , )( ,)p qq p101111011110( , )(1)(1)(1)( ,)pqpqpqp qxxdxttdtttdtq p2. 递推公式0,1,pq有1(, )( ,1)1qp qp qpq1111100( , )(1)(1)ppqqxp qxxdxxdp11112001(1)(1)pqpqxqxx

27、xdxpp111201(1)(1)ppqqxxxxdxp111121001(1)(1)qpqpqxxdxxxdxp11(,1)(, )qqp qp qpp即1(, )(,1)1qp qp qpq3、2121200,1,( , )2cossinpqpqp qd事实上，设2cos,2sincosxdxd，有1011212102( , )(1)(cos)(sin)( 2sincos)pqpqp qxxdxd名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - -

28、- - - - - - 13 2121202cossinpqd（11）由公式（ 11） ，在下面有几个简单公式：0,1pq，有2121201( ) ( )cossin( , )22 ()pqpqdp qpq（12）在公式（ 12）中，令12nq与12p，1,n有2011() ( )22sin2 (1)2nndn（13）在公式（ 13）中，令0n，有22011( ) ()1122()2 (1)22d或21( )2，即1( )2六、例（ III ）例 14. 求概率积分20 xedx与2xedx. 解：设2,2dtxt dxt有21200111( )2222xtedxte dt于是2202xxed

29、xedx例 15.求10,0,0(1)ppqxdx pqx解： 设211,1t dxdtxt，有11020111.(1)pppqp qxtdxtdtxtt1110(1)( , )qpttp q例 16. 证明：欧拉等式2114400.411dxx dxxx证明： 分别求等号左端的两个积分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 14 设3441,4txdxtdt，有311142400111 1(1)(,)444 21d

30、xttdtx1121142400113 1(1)(,)444 21x dxttdtx于是，211440011 1 13 1.(,)(, )44 2 44 211dxx dxxx113114242.351644113114242.31116444211424例 17. 证明：若0,0,ba有111()()baaxabxdxba. 证明：设,1,xauxaba u bxbaubadxba du，有11()()baaxabxdx1110()(1)aba ubauba du111101bauudu1,ba1ba例 18. 证明：勒让德公式：0,a有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

31、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 15 211222aa . 证明：1111100( , )(1) (1)aaa axxdxxxdx1111210211axxdxxxdx对等号右端第二个积分做变换，设1,xt dxdt，有1110112211axxdxttdt11201xxdx11211220011,21242a axxdxxdx设11.,224dtxx dxt有111221210111,1,222aaaa attdta由 公式（ 10）, 有211121222aaaaaa已知12，即211222aaaa ，特别是，令14a，有2113124422a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -