基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题,推荐文档 .pdf

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1、1基本不等式及其应用1基本不等式若 a0,，b0，则ab2 ab，当且仅当时取“ ” 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正； （一正）(2)和或积为定值；（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值（三相等）2常用不等式(1)a2b2 ab2(a，bR)(2)2abab0,ba注：不等式 a2b22ab 和2baab它们成立的条件不同，前者只要求a、b 都是实数，而后者要求a、b 都是正数 .其等价变形： ab （2ba）2.(3)ab22ba(a，bR)(4)baab2( a，b 同号且不为

2、 0)(5)22baa2b22(a，bR).（6）baabbaba11222220,ba(7)abca3b3c33;, ,0a b c(8)abc33abc；, ,0a b c3利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值： a0，b0，当 ab 为定值时， ab，a2b2有，即 ab，a2b2.(2)求最大值： a0，b0，当 ab 为定值时， ab 有最大值，即；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2或 a2

3、b2为定值时， ab 有最大值 (a0，b0)，即.设 a，bR，且 ab3，则 2a2b的最小值是 ()A.6 B.42C.2 2 D.2 6解： 因为 2a0， 2b0， 由基本不等式得2a2b22a2b22ab4 2，当且仅当 ab32时取等号， 故选 B.若 a0，b0，且 a2b20，则 ab 的最大值为 ()A.12B.1 C.2 D.4解：a0，b0，a2b2，a2b22 2ab，即 ab12.当且仅当 a1，b12时等号成立 .故选 A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和 b(ab)， 其全程的平均时速为v，则()A.avabB.vabC. abvab2D.vab2解：设甲

4、、乙两地之间的距离为s.ab，v2ssasb2abab2ab2 ab ab.又 va2ababaaba2aba2a2ab0，va.故选 A.(2014上海)若实数 x，y 满足 xy1，则 x22y2的最小值为 _.解：由 xy1 得 x22y2x22x22 2，当且仅当 x42时等号成立 .故填2 2.点(m，n)在直线 xy1 位于第一象限内的图象上运动，则 log2mlog2n的最大值是 _.解：由条件知， m0，n0，mn1，所以 mnmn2214，当且仅当 mn12时取等号，log2mlog2nlog2mnlog2142，故填2.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

5、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3类型一利用基本不等式求最值(1)求函数 y（x5）（x2）x1(x1)的值域 .解：x1， x10，令 mx1， 则 m0， 且 y（m4）（m1）mm4m52m4m59，当且仅当 m2 时取等号，故 ymin9.又当 m或 m0 时，y，故原函数的值域是 9，).(2)下列不等式一定成立的是()A.lg x214lgx(x0) B.sinx1sinx2(xk ，kZ)C.x212| |x (xR) D.1x211(xR)解：A

6、中，x214x(x0)，当 x12时，x214x.B 中，sinx1sinx2(sinx(0，1)；sinx1sinx2(sinx1，0).C 中，x22|x|1(|x|1)20(xR).D 中，1x21(0，1(xR).故 C 一定成立， 故选 C.点拨：这里(1)是形如 f(x)ax2bxcxd的最值问题，只要分母xd0，都可以将f(x)转化为 f(x)a(xd)exdh(这里 ae0；若 ae0，可以直接利用单调性等方法求最值 )，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在 .(1)已知 t0，则函数 f(t)t24t1t的最小值

7、为.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 4解：t0，f(t)t24t1tt1t42，当且仅当 t1 时，f(t)min2，故填 2.(2)已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求：()xy 的最小值；()xy 的最小值 .解：()由 2x8yxy0，得8x2y1，又 x0，y0，则 18x2y28x2y8xy，得 xy64，当且仅当 x4y，即 x16，y4 时等号成立 .()解法一：由 2x8yxy0，得 x8y

8、y2，x0，y2，则 xyy8yy2(y2)16y21018，当且仅当 y216y2，即 y6，x12 时等号成立 .解法二：由 2x8yxy0，得8x2y1，则 xy8x2y(xy)102xy8yx1022xy8yx18，当且仅当 y6，x12 时等号成立 .类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于 x 的不等式 (1k2)xk44 的解集是 M， 则对任意实常数k，总有()A.2M，0MB.2?M，0?MC.2M，0?MD.2?M，0M解法一： 求出不等式的解集： (1k2)xk44? xk44k21(k21)5k212? x（k21）5k212min2 52(当且仅当 k251 时取等号

9、 ).解法二 (代入法 )：将 x2，x0 分别代入不等式中， 判断关于 k 的不等式解集是否为 R.故选 A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 5对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住 几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)af(x)恒成立 ? af(x)max；(2)af(x)恒成立 ? af(

10、x)min；(3)af(x)有解? af(x)min；(4)af(x)有解? af(x)max.已知函数 f(x)exex，其中 e 是自然对数的底数 .若关于 x 的不等式mf(x)exm1 在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围 .解：由条件知 m(exex1)ex1 在(0，)上恒成立 .令 tex(x0)，则 t1，且 mt1t2t11t11t11对任意 t1成立.t11t112（t1）1t113，1t11t1113，当且仅当 t2，即 xln2 时等号成立 .故实数 m的取值范围是，13.类型三利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为 360 m2的矩形场地， 要求矩形场地的一面利用

11、旧墙(利用旧墙需维修 )，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45 元/m， 新墙的造价为 180元/m， 设利用的旧墙的长度为x(单位：元)， 修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元 ).(1)将 y 表示为 x 的函数；(2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m，则 y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知 xa360，得 a360 x，所以 y225x3602x360(x2).名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

12、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 6(2)x0，225x3602x2225360210800，y225x3602x36010440，当且仅当 225x3602x，即 x24时等号成立 .答：当 x24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔排出，设箱体的长度为a m，高度为 b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b 的乘积 ab成反比

13、 .现有制箱材料 60 m2，问 a，b 各为多少 m 时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B 孔面积忽略不计 ).解法一： 设 y 为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知： ykab，其中 k是比例系数且 k0.依题意要使 y 最小，只需 ab最大.由题设得： 4b2ab2a60(a0，b0)，即 a2b30ab(a0，b0).a2b2 2ab，2 2abab30，得 0ab3 2.当且仅当 a2b 时取“”号，ab 最大值为 18，此时得 a6，b3.故当 a6 m，b3 m 时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二： 同解法一得 b30aa2，代入 ykab求解.1.若 a1，

14、则 a1a1的最小值是 ()A.2 B.aC.3 D.2 aa1解：a1，a1a1a11a112（a1）1a11213，当 a2 时等号成立 .故选 C.2.设 a，bR，ab，且 ab2，则下列各式正确的是 ()名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 7A.ab1a2b22B.ab1a2b22C.1aba2b22D.aba2b221解：运用不等式 abab22? ab1 以及(ab)22(a2b2)? 2a2b2(由

15、于 ab，所以不能取等号 )得，ab1a2b22，故选 A.3.函数 f(x)54xx22x在(， 2)上的最小值是 ()A.0 B.1 C.2 D.3解： 当 x 2 时， 2x0，因此f(x)1（44xx2）2x12x(2x)212x （2x）2， 当且仅当12x2x 时上式取等号 .而此方程有解 x1(，2)，因此 f(x)在(，2)上的最小值为 2，故选 C.4.(2014福建)要制作一个容积为4 m3，高为 1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20 元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ()A.80 元B.120 元C.160元D.240 元解：假设

16、底面的长、宽分别为x m，4xm，由条件知该容器的最低总造价为y8020 x80 x160，当且仅当底面边长x2 时，总造价最低，且为160 元.故选 C.5.下列不等式中正确的是 ()A.若 a，bR，则baab2baab2B.若 x，y 都是正数，则 lgxlgy2lgxlgyC.若 x0，则 x4x2x4x4D.若 x0，则 2x2x2 2x2x2解：对于 A，a 与 b 可能异号，A 错；对于 B，lgx 与 lgy 可能是负数， B 错；对于 C，应是 x4x（x）4x2（x）4x4，C 错；对于D，若 x0，则 2x2x22x2x2 成立(x0 时取等号 ).故选 D.6.(201

17、4重庆)若 log4(3a4b)log2ab，则 ab 的最小值是 ()A.62 3 B.72 3C.64 3 D.74 3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 8解：因为 log4(3a4b)log2ab，所以 log4(3a4b)log4(ab)，即 3a4bab，且3a4b0，ab0，即 a0，b0，所以4a3b1(a0，b0)，ab(ab)4a3b74ba3ab724ba3ab74 3，当且仅当4ba3ab时

18、取等号 .故选D.7.若对任意 x0，xx23x1a 恒成立，则 a 的取值范围是 .解：因为 x0，所以 x1x2(当且仅当 x1 时取等号 )，所以有xx23x11x1x312315，即xx23x1的最大值为15，故填 a15.8. (2014 四川)设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是 _.解：易知定点 A(0，0)，B(1，3).且无论 m取何值，两直线垂直 .所以无论 P 与 A，B 重合与否，均有|PA|2|PB|2|AB|210(P 在以 AB 为直径的圆上 ).所以|PA| |PB|12(

19、|PA|2|PB|2)5.当且仅当 |PA|PB|5时，等号成立 .故填 5.9.(1)已知 0 x43，求 x(43x)的最大值；(2)点(x，y)在直线 x2y3 上移动，求 2x4y的最小值 .解：(1)已知 0 x43，03x4.x(43x)13(3x)(43x)133x43x2243，当且仅当 3x43x，即 x23时“”成立.当 x23时，x(43x)取最大值为43.(2)已知点 (x，y)在直线 x2y3 上移动，所以 x2y3.2x4y22x4y22x2y2 234 2.当且仅当2x4y，x2y3，即 x32，y34时“”成立.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

20、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 9当 x32，y34时，2x4y取最小值为 4 2.10.已知 a0，b0，且 2ab1，求 S2 ab4a2b2的最大值 .解：a0，b0，2ab1， 4a2b2(2ab)24ab14ab.且 12ab2 2ab，即ab24，ab18，S2 ab4a2b22 ab(14ab)2 ab4ab1212.当且仅当 a14，b12时，等号成立 .11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成 .

21、(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为 y m，则由条件，知4x6y36，即 2x3y18.设每间虎笼的面积为S，则 Sxy.解法一： 由于 2x3y22x3y2 6xy，2 6xy18，得 xy272，即 S272.当且仅当 2x3y 时等号成立 .由2x3y，2x3y18，解得x4.5，y3.故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大.解法二： 由 2x3y18，得 x932

22、y.x0，0y6.Sxy 932y y32(6y)y.0y6，6y0.S32（6y）y22272.当且仅当 6yy，即 y3 时，等号成立，此时x4.5.故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使每间虎笼面积最大.(2)由条件知 Sxy24.设钢筋网总长为 l，则 l4x6y.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 1 0解法一： 2x3y22x3y2 6xy24，l4x6y2(2x3y)48，当且仅当 2x3y 时，等号成立 .由2x3y，xy24，解得x6，y4.故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长度最小.解法二： 由 xy24，得 x24y.l4x6y96y6y616yy 6216yy48，当且仅当16yy，即 y4 时，等号成立，此时x6.故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长度最小.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -