抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析 .pdf

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1、1 抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。【知识梳理】1抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线2抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数 p 几何意义参数 p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向右左上下标准方程22(0)ypx p22(0)ypx p22(0)xpy p22(0)xpy p焦点位置X正X负Y正Y负焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px2px2py2py范围0,xyR0,xyR0,yxR

2、0,yxR对称轴X轴X轴Y轴Y轴顶点坐标（0,0 ）离心率1e通径2p 焦半径11(,)A x y12pAFx12pAFx12pAFy12pAFy焦点弦长AB12()xxp12()xxp12()yyp12()yyp焦点弦长AB以AB为直径的圆必与准线l相切精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 的补充11(,)A x y22(,)B xy若AB的倾斜角为，22sinpAB若AB的倾斜角为，则22cospAB2124px x212y yp112AFBFABAFBFAFBFAFBFp3抛物线)0(22ppxy的几何性质：(

3、1) 范围因为p0，由方程可知x 0，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y| 也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸(2) 对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向(3) 顶点（ 0，0），离心率：1e，焦点(,0)2pF，准线2px，焦准距p(4) 焦点弦：抛物线)0(22ppxy的焦点弦AB，),(11yxA,),(22yxB, 则pxxAB21|弦长 |AB|=x1+x2+p, 当 x1=x2时，通径最短为2p。4焦点弦的相关性质：焦点弦AB，),(11yxA,),(22yxB，焦点(,0)2pF(1) 若 AB是抛物线22(0)ypxp的焦点弦（过焦点的弦），且11( ,

4、)A x y，22(,)B xy，则：21 24pxx，21 2y yp。(2) 若 AB是抛物线22(0)ypxp的焦点弦，且直线AB的倾斜角为 ，则22sinPAB（ 0） 。(3) 已知直线AB是过抛物线22(0)ypx p焦点 F,112AFBFABAFBFAFBFAFBFp(4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径(5) 两个相切：1 以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.2 过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5弦长公式：),(11yxA,),(22yxB是抛物线上两点，则221212()()ABxxyy|11

5、|1212212yykxxk【经典例题】（ 1）抛物线二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率 e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中. 由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 【例 1】P为抛物线pxy22上任一点， F为焦点，则以PF为直径的圆与y 轴（）.A相交.B相切.C相离.D位置由 P确定【解析】如图，抛物线的焦点为,02pF，准线是:2plx.

6、 作 PH l于 H，交 y 轴于 Q，那么PFPH，且2pQHOF. 作 MN y 轴于 N则 MN是梯形 PQOF 的中位线，111222MNOFPQPHPF. 故以PF为直径的圆与y 轴相切，选B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的. （ 2）焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关. 理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的. 【例 2】过抛物线022ppxy的焦点 F 作直线交抛物线于1122,A x yB xy两点，求证：（1）12ABxxp（2）pBFAF211【证明】（1）如图设抛物线的准线为l，作1AAl1

7、1111,2pA BBlBAAx于，则 AF，122pBFBBx. 两式相加即得：12ABxxp（2）当 AB x 轴时，有AFBFp，112AFBFp成立；当 AB 与 x 轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：2pykx.代入抛物线方程：2222pkxpx. 化简得：222222014pk xp kxk方程（ 1）之二根为x1，x2，1224kxx. XYPHMNO(,0)2pF:2plx = -22ypx=QXYFA(x,y)11B(x,y)22A1B1l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 12211121212

8、1111112224xxpppppAFBFAABBxxx xxx121222121222424xxpxxppppppxxpxx.故不论弦AB与 x 轴是否垂直，恒有pBFAF211成立 . （ 3）切线抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功. 【例 3】证明：过抛物线22ypx上一点 M （ x0， y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）【证明】对方程22ypx两边取导数：22.py ypyy，切线的斜率00 xxpkyy.由点斜式方程：20000001pyyxxy ypxpxyy20021ypx ，代入（）即得：y0y

9、=p（x+x0）（ 4）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获. 例如： 1.一动圆的圆心在抛物线xy82上，且动圆恒与直线02x相切，则此动圆必过定点（）. 4,0. 2,0. 0,2. 0, 2ABCD显然 . 本题是例 1 的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2. 抛物线22ypx的通径长为2p；3. 设抛物线22ypx过焦点的弦两端分别为1122,A x yB xy，那么：212y yp以下再举一例【例 4】设抛物线22ypx的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定

10、点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p ，而 A1B1与 AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点 . 由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点. 以下我们对AB的一般情形给于证明. 【证明】如图设焦点两端分别为1122,A x yB xy，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 那么：22121112.y ypCACByyp设抛物线的准线交x 轴于 C，那么.CFp2111111.90A FBCFCACBA FB中故. 这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点. 通法特法妙法（

11、1）解析法为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）. 【例 5】 （ 10. 四川文科卷 .10 题）已知抛物线y=-x2+3 上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点A、B，则 |AB|等于（）A.3B.4C.32D.42【分析】直线AB必与直线x+y=0 垂直，且线段AB 的中点必在直线x+y=0 上，因得解法如下. 【解析】点 A、 B关于直线 x+y=0 对称， 设直线 AB 的方程为：yxm.由223013yxmxxmyx设方程（ 1）之两根为x1，x2，则121xx.设 AB的中点为 M （x0，y0） ，则120

12、122xxx. 代入 x+y=0：y0=12. 故有1 1,2 2M. 从而1myx. 直线 AB的方程为：1yx.方程（ 1）成为：220 xx.解得：2,1x，从而1,2y，故得： A（-2，-1 ） ，B（ 1，2）.3 2AB，选 C. （ 2）几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏 . 针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法. 【例 6】 （11.全国 1 卷 .11 题） 抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方

13、的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积（）A4 B3 3C4 3D8【解析】如图直线AF的斜率为3时 AFX=60 . AFK为正三角形 . 设准线l交 x 轴于 M ，则2,FMpXYABFA1B11MCXOYABM0lxy+=?XYOF(1,0)AK60Y2=2pxL:x=-1M精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 xyM(x,y)F1( -c , 0)F2(c,0)OH2:alxc= -r1r2r2且 KFM=60 ，234,44 34AKFKFS. 选 C. 【评注】（1）平面几何知识：边长为a

14、的正三角形的面积用公式234Sa计算 . （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A 的坐标，再计算正三角形的边长和面积. 虽不是很难，但决没有如上的几何法简单 . （ 3）定义法追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难. 但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单. 【例 7】 （ 07. 湖北卷 .7 题）双曲线22122:1(00)xyCabab，的左准线为l，左焦点和右焦点分别为1F和2F；抛物线2C的线为l，焦点为21FC；与2C的一个交点为M，则12112F FMFMFMF等于（）A1B1C12D12【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用

15、不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧. 如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距 c，离心率为e，作MHlH于，令1122,MFrMFr.点 M 在抛物线上，1112222,MFMFrMHMFreMHMFr故，这就是说：12|MFMF的实质是离心率e. 其次，121|F FMF与离心率e有什么关系？注意到：1212111122111F Fe rrceaeeMFrrre. 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于12112|11|F FMFeeMFMF.选 A. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 （ 4）

16、三角法本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源. 利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”达到解题目的. 因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算. 抛物线xy82的【例 8】 （09. 重庆文科 .21 题）如图， 倾斜角为 a 的直线经过焦点 F，且与抛物线交于A、B 两点。（）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点 P，证明 |FP|-|FP|cos2 a 为定值，并求此定值。【解析】（）焦点F（2，0） ，准线;2l x. （

17、）直线AB：tan21 .yx28yx代入（ 1） ，整理得：2tan816tan02yy设方程（ 2）之二根为y1，y2，则12128tan16yyyy. 设 AB中点为1200020044cot,2tancot24cot2yyyMxyxy则AB的垂直平分线方程是：24cotcot4cot2yx. 令 y=0，则224cot64cot6xP，有，0故2224cot624 cot14cosFPOPOF于是 |FP|-|FP|cos2 a=2224csc1cos24csc2sin8，故为定值 .（ 5）消去法合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题. 其中最值得推荐的

18、优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”. 【例 9】是否存在同时满足下列两条件的直线l： （1）l与抛物线xy82有两个不同的交点A和 B； （2）线段 AB被直线1l：x+5y-5=0 垂直平分 . 若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程 . 【解析】假定在抛物线xy82上存在这样的两点1122.A xyB xy，则有：AM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 211121212222888yxyyyyxxyx1212128AByykxxyy线段 AB被直线1l： x+5y-5=0 垂

19、直平分，且1155lABkk，即1285yy1285yy.设线段 AB的中点为12000425yyMxyy，则. 代入 x+5y-5=0 得 x=1. 于是：AB中点为415M，. 故存在符合题设条件的直线，其方程为：4512552105yxxy，即：（ 6）探索法奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”. 这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想证明再猜想再证明. 终于发现“无限风光在险峰”. 【例 10】 （10. 安徽卷 .14 题）如图，抛物线y=-x2+1 与 x 轴的正半轴交于点A，将线段OA 的 n 等分点从左至右依次记为P1,P2,Pn-

20、1,过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2， Qn-1，从而得到n-1 个直角三角形 Q1OP1,Q2P1P2, ,Qn-1Pn-1Pn-1,当 n时，这些三角形的面积之和的极限为.【解析】11OAn， 图中每个直角三角形的底边长均为设 OA 上第 k 个分点为2220 .11.kkkPyxynn， 代入：第 k 个三角形的面积为：21 11.2kkann22212212114111212nnnnSnnnn. 故这些三角形的面积之和的极限21411111limlim 1412123nnnnSnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页