大学物理 机械振动.ppt

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1、第6章 机 械 振 动,振动：,机械振动：,任何一个物理量随时间的周期性变化,物体在某一中心位置附近来回往复运动。,例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动,任何复杂的振动都可以看做是由若干个简单而又基本的振动的合成。这种简单而又基本的振动形式称为简谐运动。,6.1 简谐振动,6.1.1 弹簧振子：,弹簧原长时小球m所在位置为坐标原点O.对小球进行受力分析：,简谐振动的动力学方程,其解为：,证明一个运动是简谐振动的三个判据。,简谐振动的运动学方程,振幅A：,即振子偏离平衡位置的最大值。,速度：,为速度振幅。,加速度：,为加速度振幅。,6.2 简谐振动的周期、频率 和相位,1.周

2、期：物体完成一次全振动所用的时间。,2.频率：单位时间内完成全振动的次数。,一个周期后，振子振动状态完全相同,角频率,3. 相位,初相位：,相位差：两个振动的相位之差；,设有两个简谐振动：,位相或周相,确定质点在任一时刻运动状态的物理量,它们的相位差为：,则两质点振动的步调完全相同。二者同相。,（3）当 时， 振动2超前振动1 ；,（4）当 时， 振动2落后振动1 。,相位可以用来比较不同物理量变化的步调,则两质点振动的步调完全相反。二者反相。,O,T,速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相位比位移 的相位超前 。,6.2.4由初始条件确定简谐振动的振幅和初相,取,小球受到的切向分力为：,规

3、定在平衡位置右侧为正,其解为：,弹簧振子：,单摆：,固有周期,复摆,令,*,（C点为质心）,C,O,简谐振动的实例分析,角谐振动,扭 摆,以圆盘为研究对象,在（扭转角）不太大时，,（刚体绕定轴转动定律）,令,结论:,在扭转角不太大时，扭摆的运动是谐振动.,周期和角频率为：,金属丝,x,y,z,（D为金属丝的扭转系数）,圆盘受到的力矩为,例 . 一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上， 弹簧伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击 力，使它具有 的向下的速度，它就上下振动起 来。试证明物体是作简谐振动，并写出其振动方程式。,注意： （1）解题中O点的确定原则：物体保持平衡的位置。 （

4、2）解得的初相要结合初始速度作正确取舍。,用旋转矢量确定振动初相,6.3 简谐振动的旋转矢量表示法,例 . 已知一简谐振动的 位移曲线如图所示，写 出振动方程。,例1 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为12 cm，周期为2s。当t = 0时, 位移为6 cm，且向x 轴正方向运动。求:(1)振动方程；(2)t = 0.5 s时，质点的位置、速度和加速度；(3)如果在某时刻质点位于x = -6 cm，且向 x 轴负方向运动，从该位置回到平衡位置所需要的时间。,解：,设简谐振动表达式为,已知：A =12 cm , T = 2 s ，,初始条件：,t = 0 时， x0 = 0.06 m , v0 0

5、,0.06 =0.12 cos ,振动方程：,设在某一时刻 t1， x = - 0.06 m,代入振动方程：,例2 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数 ，物体的质量 . （1）把物体从平衡位置向右拉到 处停下后再释放，求简谐运动方程；,（3）如果物体在 处时速度不等于零，而是具有向右的初速度 ，求其运动方程.,（2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；,解 （1）,由旋转矢量图可知,解,由旋转矢量图可知,（负号表示速度沿 轴负方向）,（2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；,解,（3）如果物体在 处时速度不等于零，而是具有向右的初速度 ，求其运动方程.,因为

6、，由旋转矢量图可知,线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒,以弹簧振子为例,（振幅的动力学意义）,6.4 简谐振动的能量,简谐振动动力学方程的另外一种推导,例 质量为 的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为 ，求：,（1）振动的周期；,（2）通过平衡位置的动能；,（3）总能量；,（4）物体在何处其动能和势能相等？,解 （1）,（2）,（3）,（4）,时，,由,1）三角函数法,设一质点同时参加如下两振动：,结论：两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍为同频率的简谐振动,6.5 简谐振动的合成,6.5.1 两个同方向同频率简谐运动的合成,两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动,6.5

7、.1 两个同方向同频率简谐运动的合成,旋转矢量法,1）相位差,相互加强,2）相位差,相互削弱,例 两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) （1）求合振动的振幅；（2）求合振动的振动方程。,解：,补充：N个同方向同频率的简谐振动的合成,设它们的振幅都为 ，初位相依次相差一个 ， 其表达式为：,作外接圆，先求半经R及圆心角,由等腰三角形可知,由三角形外角等于不相邻内角之和，得,合振动仍为同频率的简谐振动。,极大值,极小值,(1),(2),2）,1）,个矢量依次相接构成一个闭合的多边形 .,6.5.2 两个同方向不同频率简谐运动的合成,频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时

8、而加强时而减弱的现象叫拍.,两个同方向不同频率简谐运动的合成,相对于 的转动角速度：,两矢量同向重合时：,合振动振幅 极大,合振动振幅 极小,两矢量反向重合时：,讨论 , 的情况,6.5.3 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成,消去时间t得质点运动轨迹：,1） 或,（椭圆方程）,2）,3）,用旋转矢量描绘振动合成图,6.5.4 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成,测量振动频率和相位的方法,李 萨 如 图,振幅（或能量）随时间逐渐减小的振动。,能量减小的原因：,2）引起邻近质点振动， 以波的形式向周围传播能量。,1）磨擦或介质阻力的存在；,摩擦阻尼,辐射阻尼,6.6 阻尼振动 受迫振动 共振,6

9、.6.1 阻尼振动,a）弱阻尼,阻尼振动的周期,b）过阻尼,c）临界阻尼,讨论：,1. 阻尼较小时（ ），振动为减幅振动，振幅 随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大，减幅越迅速。振动周期大于自由振动周期。,2. 阻尼较大时（ ），振动从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往复运动。,当（ ）时， 为“临界阻尼”情况。 是质点不做往复运动 的一个极限。,设想一余弦式驱动力 作用于有阻尼的弹簧振子上,6.6.2 受迫振动,系统在周期性的驱动力持续作用下所发生的振动。,则受迫振动的稳态解为：,得到A为极大值时对应的角频率为：,相应的最大振幅为：,即驱动力频率等于振动系统的固有频率时，振幅达到最大值。,受迫振

10、动的相位差：,2.共振,对其求极值,解得：,当策动力的频率与系统的固有频率相等时，速度振幅达到最大值,使速度振幅到达最大值的共振称为速度共振。,受迫振动中速度：,共振现象的应用,我国古代就有大量的应用:,天坛的回音壁,磨擦铜盆时水的共振表演,收音机：电磁共振；核磁共振仪：核磁共振,不利：例如共振时因为系统振幅过大会造成机器设备的损坏。 典型：1940年美国塔科马海峡大桥断塌的部分原因就是大风与 桥的共振。,1940年，Tacoma Narrows大桥在通车4个月零6天后因大风引起扭转振动，又因振动频率接近于大桥的共振频率而突然坍塌。,非线性系统及混沌的基本概念,一、小角度单摆的运动,线性系统（

11、数学定义）：,线性,当 很小，,非线性,相图法：即运用一种几何的方法来讨论非线性问题。,将质点的位置（或角位置）作为横坐标轴； 将质点的速度（或角速度）作为纵坐标轴。,相平面：,相：某种运动状态,相点 ：在相平面内表征运动状态的一个点。,相迹（相图）： 相点的运动轨迹（反映运动状态的变化）。,单摆做小角度摆动：,一次积分后,单摆作小角度摆动时，其相迹为一正椭圆。,封闭的相迹表示运动是周期性的往复运动。,C：初始条件决定,小角度阻尼摆动：,一条向内旋进的螺旋线，曲线最终趋向中心点。,吸引子：对应着系统的稳定状态（中心点）。,相图：,小角度受迫摆动：,吸引子（极限环）： 对应着系统的稳定状态（椭圆）。,二、较大角度受迫摆动：,设：,单周期振动,双周期振动,结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件下，其解可能具有不可预测的随机性。,在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在随机性。,支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确定 的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。,混沌：发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动。,混沌是非线性动力系统的固有特性，也是非线性系统普遍存在的现象。,非线性动力学方程对初始条件特别敏感，初始条件略微改变，将导致系统最终的运动状态与原来的完全不同。,