错位相减法的起源-浙江嘉兴第一中学.doc

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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流错位相减法的起源-浙江嘉兴第一中学【精品文档】第 4 页“错位相减法”的起源兼谈等比数列的教学设计嘉兴市秀州中学 屠新跃在传统的数学教学中，教师往往注重于对数学解题思路和方法的分析总结，注重一题多解，变式训练等，这些已被实践证明是行之有效的。但是在具体的数学教学过程中，如何加大学生对教学的参与度，充分体现学生的主体地位，恰如其分地发挥教师的主导作用，还数学知识的本来面目，让学生真正体验数学知识的形成和发展过程，从而培养学生的数学思维能力，是需要我们教师反思和探讨的。而数学研究（探究）性学习是高中数学课程中一种新的教学和学习方式，它有助于学生了解数学概念和

2、结论产生的过程，理解直观和严谨的关系，尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯。培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力。下面结合等比数列前项和的教学案例，谈一谈在数学教学中笔者是如何开展研究性学习的。一、问题的提出设置情境：古代印度时，为了奖赏国际象棋的发明者，当时的国王答应了发明者的一个要求：在棋盘的第1个格子放上1颗麦粒，第2个格子放2颗麦粒，第3个格子放4颗，第4个格子放8颗，依此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子放的麦粒数的2倍，直到第64个格子上放颗麦粒。国王认为这件事能办

3、到，就欣然同意了，你认为国王能满足他的要求吗？教师应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料。以这个实际问题为背景来引入，有利于增强学生的学习兴趣，激发学生的探究欲望。64个格子上的麦粒构成了一个等比数列，因此问题转化为求的和，就涉及到怎样求等比数列前项和这个课题。二、问题的探究在教学过程中，不少教师以课本为依照，采用“错位相减法”来推导的公式，并注意归纳这种求和的方法，把教学重点放在如何正确使用求和公式，明确区分公比和两种情况，渗透了分类讨论的数学思想，总体设计较合理。可惜没有对求和公式的推导过程进行探究，特别是不能解决“错位相减法”的由来，是怎么想到要两边同乘以公比的呢？这对学生

4、数学自主探究能力、实践能力和合作交流能力的培养，无疑是一种资源的浪费。要突破这个难点，教师必须要进行适合学生的研究性教学的设计，教师应成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者。引导和帮助他们而不是代替学生发现和提出探究课题，特别应该鼓励和帮助学生独立地发现和提出问题；组织和鼓励学生合作地解决问题；一方面应该鼓励学生独立思考，帮助学生建立克服困难的毅力和勇气，另一方面应该指导学生在独立思考的基础上用各种方式寻求帮助；中学生需要的时候，教师应该成为学生平等的合作者，教师要有勇气和学生一起进行探究。通过对教材的分析、研究，有这样的设计：想要探求等比数列前项和公式，即即 ，先让学生尝试能否用等差数

5、列的求法倒序相加，这样的类比迁移行不通，就要找另外的思路。想一想已学的知识中，一般数列中与有什么关系？是（n2），那么在等比数列中，于是有学生把式写成，但这样不能求出；重新探究式的右边，由 =，就可以得到，将代入，则，有 ，即，能否两边同除以呢？不能。当即时，是常数数列，显然；只有当即时，又研究：得到的式子对任意的都成立吗？回顾前面探索过程中的n2，所以还要验证n=1，当，当， 都成立，到这完成公式推导，再把通项公式代入，就得当时，公式的另一种表达式为。 深入探究式左边中的，而，你能发现它与式中右边有哪些相同的项？是，所以有左右两边作差就是式了。反思上面的过程，原来只要在式两边同乘以（除以行吗

6、？可以）公比，就能出现相同的项（为什么？等比数列的定义可知），于是相减就可以了。从形式上看，这些相同项的位置错开了，所以我们把这种方法叫做“错位相减法”。再应用求和公式解，约重1700亿吨麦子，国王十辈子也完不成这个承诺了。 以上的研究性学习设计，巩固了等比数列定义、通项公式，结合运用了与的重要关系，而且通过启发学生对思维过程的反思、监控和调整，优化了学生自身的思维品质，也从中“享受”到了数学知识的形成过程，从而主动地建构了“错位相减法”。三、意外的收获在第一个班教学时，教师如愿以偿地完成了以上的设计。但到第二个班教学时，却发生了意外，情境引入刚结束，就有学生表示他能求的值，这是教师事先没有预

7、想到的，大大出乎意料。为了让学生充分展示和暴露自己的思维过程，并没有打断学生的发言：由于，按此规律得，教师评价：很好的一次归纳猜想！干脆来个顺藤摸瓜，也体现了教学民主。沿着学生的思路，请同学们一起来探究：结论推广到一般， 成立吗？有同学发现不成立，举出反例：当，时不相等。启发学生，能不能进行逆向思维，考察这些式子的右边，取的特殊值，当时，再当时，归纳猜想出 ，只要把式左边展开就证明了。，在式两边同乘以（），则，即，这就是前面的式，以下就类同了。研究性学习的开展，可以提高学生探究、分析和解决问题的能力，也迫使教师改变陈旧过时的教学方法，认真自觉地钻研教学，才能紧跟教学改革的步伐，适应新课程标准的要求。在研究性学习教学中，教师应努力成为数学探究的创造者，要有比较开阔的数学视野，了解与中学数学知识有关的扩展知识和内存的数学思想，认真思考其中的一些问题，加深对数学的理解，提高数学能力，为指导学生进行数学探索做好充分的准备，并积累指导学生进行数学探究的资源。还要注重倾听学生的心声，尊重学生的想法，应具有较强的教学应变能力和教学机智，这样的研究性学习才是学生自己的真正的主动的探究。甚至于表面上的一次教学“失败”，都能让教师领悟到“教学相长”的真谛所在！