专题23.6旋转综合问题大题专练（重难点培优）-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典.docx

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1、2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题22.6旋转综合问题大题专练（重难点培优）姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷试题共24题，解答24道答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、解答题（本大题24题解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1（2020全国九年级专题练习）在中，是的中点，将绕点C旋转得到，使点落在的延长线上（1）请画出；（2）求的长【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）所求作如解图（2），是的中点，如解图，过点作于点E，2（2020全国九年级专题练习）如图，在四边形中，将绕点C顺时针旋转

2、一定角度后，得到，点B的对应点恰好与点A重合（1）请求出旋转角的度数；（2）请判断与BD的位置关系，并说明理由；（3）若，试求出四边形的对角线的长【答案】（1）旋转角的度数为；（2），理由见解析；（3）【详解】解：（1）是由绕点C顺时针旋转得到的，旋转角的度数为（2）理由如下：如解图，在中，即又，（3）如解图，连接，由旋转的性质可知，旋转角，在中，在中，3（2021浙江七年级期中）将三角板与三角板摆放在一起；如图，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角（1）当为_度时，并画出相应的图形；（2）在旋转过程中，试探究与之间的关系；（3）当旋转速度为/秒时，且它的一边与的某一边平行（不

3、包括共线，不考虑）时，直接写出时间的所有值并画出相应的图形【答案】（1），作图见解析；（2）当 时，；当 时，；（3）t的值可以为2秒，3秒，5秒，11秒，图形见解析【分析】（1）由平行线性质结合三角板可知，再根据周角即可求出，即旋转角的大小（2）分类讨论当 时和当 时，分别用表示出和，即可找出它们的关系（3）分类讨论、和，分别求出旋转角的大小，即可得出答案【详解】（1）如图即为所作，（2）当 时，如图：根据图形可知：，当 时，如图：根据图形可知：，综上可知，当 时，；当 时，（3）当时，秒当时，秒当时，秒当时，秒综上，可知t的值可以为2秒，3秒，5秒，11秒4（2021山东济南市九年级一模）

4、已知是等边的高，点O为直线上的动点（不与点A重合），连接，将线段绕点O顺时针旋转，得到线段，连接、（1）问题发现如图1，当点O在线段上时，线段与的数量关系为_，的度数是_；（2）问题探究：如图2，当点O在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？请说明理由；（3）问题解决：当时，求出线段的长【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）BO2或2【分析】（1）证明ABOCBE（SAS），则AOCE，BAOBCE，进而求解；（2）和（1）的方法相同；（3）当点O1在线段AD的延长线上时，证明点A、B、E1在一条直线上，进而求解；当点O2在线段DA的延长线上时，通过画图确定BO为位置，进而求解【

5、详解】解：（1）AOCE，ACE90，理由：线段BO绕点O顺时针旋转60，得到线段OE，故BOOE，BOE60，BOE为等边三角形，OBE60，BEBO，OBE60OBD+DBE，ABC60ABO+OBD，ABOCBE，在ABO和CBE中，ABOCBE（SAS），AOCE，BAOBCE，AD是等边三角形ABC的高，故AD也是BAC的平分线，故BAO30BCE，ACEBCE+ACB30+6090，故答案为：AOCE，ACE90；（2）成立，理由如下：连接BE线段BO绕点O顺时针旋转了60得EO，BOE是等边三角形，BOBE，OBE60，ABC是等边三角形，BABC，ABC60，ABC+OBCOB

6、E+OBC，即ABOCBE，ABOCBE（SAS），AOCE，BCEBAO，AD是等边ABC的高，BCEBAO30，BCA60，ACEBCA+BCE90，AOCE，ACE90；（3）当点O1在线段AD的延长线上时，由（1）和（2）知：BO1E1是等边三角形，ACE190，ACE190，AE1C30，E1AC60，BAC60，点A、B、E1在一条直线上，在RtACE1中，AC2，AE1C30，A E14，BO1BE12；当点O2在线段DA的延长线上时，ACE290，AE2C30，AC2，ABO2CBE2（SAS），AD是等边ABC的高，ABAC2，BD1，AD，在RtO2DB中，BD1，而O2D

7、A O2+AD，；综上，BO2或25（2020全国九年级专题练习）如图，在中，以为边向外作等边，把绕点D顺时针方向旋转后得到若（1）试判断的形状，并说明理由；（2）求的度数；（3）求的长【答案】（1）是等边三角形，理由见解析；（2）60；（3）12【详解】解：（1）是等边三角形理由如下：是由绕点D顺时针旋转得到的，A，C，E三点共线是等边三角形（2）是等边三角形，（3）是等边三角形，6（2020全国九年级专题练习）如图，在矩形中，把矩形绕点旋转得到矩形，且点落在边上，连接交于点（1）如图，求证：（2）如图，连接，若平分，则满足2倍关系的线段有几对?写出这几对线段，并说明理由 图 图【答案】（1

8、）见解析；（2）满足2倍关系的线段有4对，分别是和和和和，见解析【详解】（1）证明：如解图，过点作于点，连接把矩形绕点旋转得到矩形，在与中，在与中，（2）解：满足2倍关系的线段有4对，分别是和和和和理由：由（1）得，平分，是等腰直角三角形，设，在中，解得，7（2020全国九年级专题练习）如图，正方形和正方形的边长分别为和，正方形绕点旋转连接（1）猜想与的关系，并证明你的结论；（2）用含的式子表示【答案】（1），见解析；（2）【详解】解：（1）证明：如解图，连接，且与的交点为与的交点为四边形和四边形为正方形，即（2），在和中，8（2020全国九年级专题练习）（1）如图，已知正方形和分别是边上的点

9、，且，连接和，交于点猜想与的位置关系，并证明你的结论；（2）如图，将图中的绕点逆时针旋转得到延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由 图 图【答案】（1），见解析；（2）四边形是正方形，见解析【详解】解：（1）证明：四边形是正方形，又，（2）四边形是正方形理由：由（1）知，由旋转的性质知，四边形是正方形9（2021重庆九年级期末）在菱形中，E是对角线上一点，F是线段延长线上一点，且，连接、（1）如图1，若E是线段的中点，求的长；（2）如图2，若E是线段延长线上的任意一点，求证：（3）如图3，若E是线段延长线上的一点，将菱形绕着点B顺时针旋转，请直接写出在旋转过程中的最大值【答案】（1）；（2

10、）见解析；（3）【分析】（1）根据菱形的性质证明ABC是等边三角形，BCA=60，AB=2，求出BE，由等边三角形的性质和已知条件得出CE=CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出CBE=F，即可得出BE=EF；（2）作EHBC交AB的延长线于H，证明BHEECF，得到BE=EF；（3）以BD为半径，B为圆心画弧，连接BD，设AC、BD交于O，得到当D、B、E共线时，DE最大，即为DE，利用勾股定理求出BE，加上BD即可得到结果【详解】解：（1）四边形ABCD是菱形，AB=BC，ABC=60，ABC是等边三角形，BCA=60，E是线段AC的中点，BEAC，AE=CE=AB=2，CBE=A

11、BE=30，AE=CE，BE=，CF=AE，CE=CF，F=CEF=BCA=30，CBE=F=30，BE=EF=；（2）如图，作EHBC交AB的延长线于H，ABC是等边三角形，AHE是等边三角形，BH=CE，在BHE和ECF中，BHEECF（SAS），EB=EF；（3）如图，以BD为半径，B为圆心画弧，当D、B、E共线时，DE最大，即为DE，连接BD，设AC、BD交于O，则DE=DB+BE，BD=2BO=，OE=OC+CE，CO=AO=AB=2，CE=AC=2，OE=4，在BOE中，BE=，DE的最大值为DE=10（2021北京九年级二模）在等腰三角形ABC中，点P是内一动点，连接AP，BP，

12、将APB绕点逆时针旋转，使边与重合，得到ADC，射线BP与CD或CD延长线交于点（点与点D不重合）（1）依题意补全图和图2；由作图知，BAP与CAD的数量关系为 ；（2）探究与APM的数量关系为 ；（3）如图1，若DP平分ADC，用等式表示线段BM，AP，CD之间的数量关系，并证明【答案】（1）相等；（2）ADMAPM或ADM APM180；（3），证明见解析【分析】（1）按要求作图即可；（2）APB绕点A顺时针旋转得到ADC可得ADC=APB，即可得到答案；（3）由旋转的性质可知ABPACD由全等三角形的性质得出APB=ADC，AP=AD，BP=CD，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得出P

13、AD=ADM=，APM=M证得OP=OA，OM=OD，则可得出结论【详解】解：（1）依题意补全图1和图2；由作图知，BAP与CAD的数量关系为相等；故答案为：相等；（2）ADM=APM或ADM+APM=180当M在线段CD延长线上时，如上图1，将APB绕点A顺时针旋转得到ADC，ADC=APB，ADM=APM，当M在线段CD上时，如上图2，将APB绕点A顺时针旋转得到ADC，ADC=APB，APB+APM=180，ADM+APM=180，故答案为：ADM=APM或ADM+APM=180；（3）如图，线段MC，AE，BD之间的数量关系是：MC=AE+BD证明：将APB绕点A逆时针旋转，使AB边与

14、AC重合，得到ADC，ABPACDAPB=ADC，AP=AD，BP=CD，ADM=APMDE平分ADC，ADP=PDCAP=AD，APD=ADPAPD=PDCAPCMPAD=ADM=，APM=M又由（2）知，ADM=APM=，OP=OA，OM=OD，OP+OM=OM+OD，PM=AD=AP，BM=BP+PMBM=CD+AP11（2021河北秦皇岛市九年级一模）如图，、三点在线段上，且，将线段绕点按顺时针方向旋转度（），点的对应点为点同时将线段绕点按逆时针方向旋转度（），点的对应点为点，连接和（1）若（如图1），和的交点为求证：求证：为等腰三角形（2）若，当时，_【答案】（1）见解析；见解析；（

15、2）【分析】（1）由旋转的性质，得到，然后根据SAS即可证明结论成立；由知，再根据等角对等边即可得到结论成立；（2）由题意，由，则，然后解关于的方程即可【详解】（1）证明：即，；，为等腰三角形（2）根据题意，若，当时，如图，故答案为：12012（2021山东济南市九年级二模）（1）如图1，在中，是直线上的一点，将线段绕点逆时针旋转至，连接，求证：；（2）如图2，在图1的条件下，延长，交于点，交于点，求证；（3）如图3，是内一点，直接写出的面积为_【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6【分析】（1）由已知条件根据SAS可以证得ABDACE ；（2）过点D作DKDC交FB的延长线于K，则由已

16、知和（1）的结论可以证得ECGDFK，从而得到 DF=EG，进一步得到FG=EG+EF=DE=AE （3）过点A作AEAD交BD于E，连接CE，与（1）（2）同理可得ABDACE，由此可得CE=BD=2，CED=CEB=90，从而可以得到的面积【详解】（1）证明：如图1，在和中，（2）证明：如图2，过点作交的延长线于，KFAC，在和中，即（3）如图3中，过点A作AEAD交BD于E，连接CE，ADB=45，DAE=90，ADE与ABC都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，DAB=EAC，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），CE=BD=2，AEC=ADB=45，CED=CEB=90，=

17、613（2021河南郑州外国语中学八年级期中）某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60角的直角三角板和按如图1所示位置放置，且的较短直角边为4，现将绕点按逆时针方向旋转（），如图2，与交于点，与交于点，与交于点（1）初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角_时，是等腰三角形；（2）深入探究：教学小组的同学提出在旋转过程中如果连接，那么所在的直线是线段的垂直平分线，请帮他们证明；（3）再探究：在旋转过程中，当旋转角时，求与重叠的面积；（4）拓展延伸：旋转过程中，是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角的度数；若不能，说明理由【答案】（1）60；（2）见解析；（3）；（4）能，或【分

18、析】（1）分两种情况，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）由题意可知，AB=AF，B=F，E=C，AE=AC，根据折叠的性质得到BAM=FAN，根据全等三角形的性质得到AM=AN，PE=PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论；（3）根据已知条件得到ABM是直角三角形，求得EM=，根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论；（4）当CNP=90时，依据对顶角相等可求得ANF=90，然后依据F=60可求得FAN的度数，由旋转的定义可求得的度数；当CPN=90时由C=30，CPN=90，可求得CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到ANF的度数，然后由F=60，依据三角形的内角和定理

19、可求得FAN的度数，于是可得到的度数【详解】解：（1）当AM=CM，即CAM=C=30时，AMC是等腰三角形；BAC=90，=90-30=60，当AC=CM，即CAM=CMA时，AMC是等腰三角形，C=30，CAM=AMC=75，BAC=90，=15，综上所述，当旋转角=60或15时，AMC是等腰三角形，故答案为：60或15；（2）由题意可知，AB=AF，B=F，E=C，AE=AC，现将RtAEF绕A点按逆时针方向旋转（090），BAM=FAN，在ABM与AFN中，ABMAFN（ASA），AM=AN，AE=AC，EM=CN，E=C，MPE=NPC，MPENPC（AAS），PE=PC，点P在CE

20、的垂直平分线上，AE=AC，点A在CE的垂直平分线上，AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；（3）=30，B=60，AMB=90，ABM是直角三角形，AB=4，BM=ABsin30=2，AM=ABcos30=，AE=AC=ABtan60=4，AM=，EM=，BAE=E=30，EMP=AMB=90，AMBEMP（ASA），由（2）可知ABMAFN，SAEF=AFAE=44=8，ABC与AFE重叠的面积=SAEF-SAFN-SEPM；（4）如答题图1所示：当CNP=90时CNP=90，ANF=90，又AFN=60，FAN=180-60-90=30，=30；如答题图2所示：当CPN=90时C=30，

21、CPN=90，CNP=60ANF=60又F=60，FAN=60=60综上所述，=30或6014（2021北京九年级一模）在中，点E是内一动点，连接，将绕点A顺时针旋转a，使边与重合，得到，延长与射线交于点M（点M与点D不重合）（1）依题意补全图1；（2）探究与的数量关系为_；（3）如图2，若平分，用等式表示线段之间的数量关系，并证明【答案】（1）图见解析；（2）=；（3），证明见解析【分析】（1）依据题中语句根据旋转的性质作出图形即可；（2）根据旋转前后对应角相等，再利用邻补角和等角的补角相等即可得出结论；（3）根据角平分线和旋转的性质可证AE/BM，再利用（2）中的结论和平行线的性质进一步证

22、明MEA=DAE，DME=MDA，根据等角对等边可得AN=NE,MN=DN，利用线段的和差可得结论【详解】解：（1）补全图如下：（2）绕点A顺时针旋转a，使边与重合，AEC=ADB，AEC+AEM=180，ADB+ADM=180，ADM=AEM，故答案为：=；（3），证明如下：绕点A顺时针旋转a，使边与重合，EC=BD,AE=AD，ADE=AED，又DE平分ADB,ADE=BDE，AED=BDE，AE/BD，MDA=DAE，DME=MEA，由（2）得MEA=MDA，MEA=DAE，DME=MDA，AN=NE，MN=DN，ME=AD，15（2021全国八年级专题练习）在ABC中AB=AC，点P在

23、平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ；（发现问题）如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 ；（探究猜想）如图2，如果点P为平面内任意一点前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；（二）拓展应用（拓展应用）如图3，在ABC中，AC=2，ACB=90，ABC=30，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值【答案】发现问题：BQ=PC；探究猜想：BQ=PC仍然成立，

24、理由见解析；拓展应用：线段CQ长度最小值是1【分析】发现问题：由旋转知，AQ=AP，PAQ=BAC，可得BAQ=CAP，可知BAQCAP（SAS），BQ=CP即可；探究猜想：结论：BQ=PC仍然成立，理由：由旋转知，AQ=AP，由PAQ=BAC，可得BAQ=CAP，可知BAQCAP（SAS），可得BQ=CP；拓展应用：在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EFBC于F，由旋转知，AQ=AP，PAQ=60，可求CAQ=EAP，可证CAQEAP（SAS），CQ=EP，当EFBC（点P和点F重合）时，EP最小，在RtACB中，ACB=30，AC=2可求AB=4，由AE=AC=2，可求

25、BE=AB-AE=2，在RtBFE中，EBF=30，BE=2，可得EF=BE=1即可【详解】发现问题：由旋转知，AQ=AP，PAQ=BAC，PAQ-BAP=BAC-BAP，BAQ=CAP，在BAQ和CAP中，BAQCAP（SAS），BQ=CP，故答案为：BQ=PC；探究猜想：结论：BQ=PC仍然成立，理由：由旋转知，AQ=AP，PAQ=BAC，PAQ-BAP=BAC-BAP，BAQ=CAP，在BAQ和CAP中，BAQCAP（SAS），BQ=CP；解：拓展应用：如图，在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EFBC于F，由旋转知，AQ=AP，PAQ=60，ABC=30，EAC=60

26、，PAQ=EAC，CAQ=EAP，在CAQ和EAP中，CAQEAP（SAS），CQ=EP，要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是AB上的动点，当EFBC（点P和点F重合）时，EP最小，即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，在RtACB中，ACB=30，AC=2，AB=4，AE=AC=2，BE=AB-AE=2，在RtBFE中，EBF=30，BE=2，EF=BE=1故线段CQ长度最小值是116（2021甘肃白银市九年级一模）如图1，在正方形ABCD中，EF分别是BC，CD上的点，且EAF45，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是将ABE绕A点旋转90

27、使得B与D重合，连接AG，由此得到 ，再证明 ，可得出结论，他的结论应是 拓展延伸：如图2，等腰直角三角形ABC中，ABC90，ABBC，点G，H在边AC上，且GBH45，写出图中线段AG，GH，CH之间的数量关系并证明【答案】（1）BE=DG，EF=FG，EF=BE+DF；（2）GH2=AG2+CH2，证明见解析【分析】（1）结论：EF=BE+DF证明AFEAFG（SAS）即可解决问题（2）结论：GH2=AG2+CH2将BCH绕点B逆时针旋转90得到BAM证明MAG=90，BGHBGM（SAS）即可解决问题【详解】解：（1）结论：EF=BE+DF由旋转的性质可知：DG=BE，BAE=DAG，

28、AE=AG，EAF=45，BAD=90，FAG=DAG+DAF=BAE+DAF=45，FAG=EAF，AF=AF，AFEAFG（SAS），EF=FG，FG=DF+DG=DF+BE，EF=BE+DF（2）结论：GH2=AG2+CH2如图：将BCH绕点B逆时针旋转90得到BAMBA=BC，ABC=90，BAC=C=45，由旋转的性质可知：BH=BM，C=BAM=45，ABM=CBH，MAG=BAM+BAC=90，HBG=45，GBM=ABG+ABM=ABG+CBH=90-HBG=45，HBG=MBG，BG=BG，BGHBGM（SAS），GH=GM，MAG=90，AM2+AG2=GM2，GH2=AG

29、2+CH217（2020浙江八年级期末）在中，将的顶点放在斜边的中点P处，将此直角绕点P旋转，两直角边分别交射线于点D、点E，图，是旋转得到的两种图形（1）以图为例，连接，猜想线段和之间的有怎样的大小关系；并说明理由（2）以图为例，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由（3）在旋转过程中是否能构成等腰三角形？若能，指出所有的情况，并直接求出为等腰三角形时的长【答案】（1）PD=PE，理由见解析；（2），理由见解析；（3）能，0或1或2-或2+【分析】（1）证明DPCEPB，即可得出PD=PE（2）根据DPCEPB，得到CD=BE，可得AD=CE，根据勾股定理得到，替换可得结果；（3）分EP=EB

30、、EP=PB、BE=BP三种情况，画出图形进行解答【详解】解：（1）ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点，PC=PB，CPAB，DCP=B=45，又MPN=DPC+CPE=90，CPE+EPB=90，DPC=EPB，DPCEPB（ASA），PD=PE；（2），理由是：DPCEPB，CD=BE，又AC=BC，AD=CE，ACB=90，；（3）在RtABC中，AC=CB=2，C=90，AB=，P是AB中点，PB=PA=，当EP=EB时，EBP=EPB=45，即PEB=90，BE=PE=1，CE=BC-BE=1；当EP=PB时，点E在BC上，则点E和C重合，CE=0；当BE=BP时，若点E在B

31、C上，则CE=2-；若点E在CB的延长线上，则CE=2+；综上：PBE能构成等腰三角形，此时CE的长为：0或1或2-或2+18（2021福建三明市九年级一模）如图，Rt中，绕点顺时针旋转，得到，（1）求证：垂直平分；（2）是中点，连接，若，求四边形的面积【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）由，得ABC=30，根据旋转角的定义，得ACD=60，故BCD=30，BCE=60，因此ABC=BCD，DB=DC，问题得证；（2）四边形ACFB的面积是三角形ACD面积的3倍，计算三角形ADC的面积即可【详解】（1），ABC=30，根据旋转角的定义，得ACD=60，BCD=30，BCE=60，ABC=

32、BCD，DB=DC，ACD=A=CDE=60BDE=60DE平分BDC点D在线段BC的垂直平分线上，DE垂直平分BC；（2）如图，过点D作DGAC，垂足为G，CA=CD，A=60，ACD是等边三角形，AD=CD=AC，DE垂直平分BC，DB=DC，FB=FC，DB=DC=DA=CA=AB，是中点，CF=DF=EF=DE，DB=DC=DA=CA= CF=DF=BF，四边形ACFD是菱形，四边形DCFB是菱形；四边形ACFB的面积是三角形ACD面积的3倍， AC=AD=2，AG=1，DG=，四边形ACFB的面积：3ACDG=32=319（2021北京北师大实验中学九年级其他模拟）四边形ABCD是正

33、方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2（4590），得到线段CE，连接DE，过点B作BFDE交DE于F，连接BE（1）依题意补全图1；（2）直接写出FBE的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明【答案】（1）见解析；（2）45；（3）DEAF，见解析【分析】（1）根据要求作出图形即可（2）利用圆周角定理解决问题即可（3）结论；DEAF作AHAF，交FB的延长线于点H，证明HABFAD（ASA），推出HBFD，AHAF，推出HFDE，H45，可得结论【详解】解：（1）图形如图所示：（2）结论：FBE45理由：连接BE四边形ABCD是正方形，CBCD，DCB90，CBCDCE

34、，E、B、D三点在以C为圆心CB为半径的圆上BEDBCD45，BFDE，BFE90，FBE904545（3）结论；DEAF理由：作AHAF，交FB的延长线于点H，由（2）得FBEFEB45FBFEAHAF，BAD90，HABFAD，BFDDAB90，ABHABF180，ABFADF180，ABHADF，HABFAD（ASA），HBFD，AHAF，HFDE，H45HFAFDEAF20（2021辽宁葫芦岛市九年级一模）在菱形中，点在的延长线上，点是直线上的动点，连接，将线段绕点逆时针得到线段，连接，.（1）如图1，当点与点重合时，请直接写出线段与的数量关系；（2）如图2，当点在上时，线段，之间有怎

35、样的数量关系？请写出结论并给出证明； （3）当点在直线上时，若，请直接写出线段的长.【答案】（1）AM=DF；（2），证明见解析；（3）1或5【分析】（1）可通过证明，即可利用全等三角形的性质得出结论；（2）通过作辅助线，构造等边三角形DMN，再通过全等证明出DF=EN，利用等边三角形得出DN=DM，DA=DB，求出AM=BN，即可证明题中三线段之间的关系；（3）分别讨论当E点在线段BD和DB的延长线上两种情况，利用全等以及等边三角形的相关结论即可求出DF的长【详解】解：（1）AM=DF；理由：菱形 ABCD 中， ABC=120 ，可得BCD和ABD都是等边三角形；BD=BA， DBA=60

36、，又由旋转可知ME=MF，EMF= 60，得MEF也是等边三角形，EF=EM，MEF= 60，MEA=FED，可证：；AM=DF（2）结论：证明：过点作交延长线于.四边形是菱形，是等边三角形，是等边三角形，是等边三角形，即：，.（3）1或5当E点在线段BD上时，由（2）知，AB=6，BD=AD=6，BD=2BE，AD=3AM，BE=3,AM=2,DF=5；当E点在线段DB的延长线上时，如图所示：作MNAB与DE交于点N，MDN=DAB=60，利用平行线的性质可得出DMN=60，则DMN是等边三角形，MN=MD，又由DMN=EMF，EMN=FMD,ME=MF，DF=ENEN=EB-BN= BD-

37、 AM=3- AD=3- 2= 1；综上可得：DF的长为1或521（2021山东临沂市九年级一模）如图1，点E为正方形内一点，现将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点G（1）试判断四边形是什么图形，并证明你的结论（2）连接，如图2若，试求的长；如图3，若，求证：【答案】（1）正方形，证明见解析；（2）9；证明见解析【分析】（1）先根据旋转的性质可得，从而可得，再根据矩形的判定、正方形的判定即可得证；（2）先根据正方形的性质可得，再在中，利用勾股定理即可得；如图（见解析），先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据旋转的

38、性质可得，最后根据正方形的性质可得，由此即可得证【详解】证明：（1）四边形是正方形，证明如下：由旋转的性质得：，四边形是矩形，又，四边形是正方形；（2）四边形是正方形，四边形是正方形，解得或（不符题意，舍去），；如图，过点作于点，四边形是正方形，在和中，由旋转的性质得：，又四边形是正方形，22（2021辽宁葫芦岛市九年级一模）如图，已知等腰，直线绕点A旋转，得直线，点B关于直线的对称点为E，连接，交直线于点F，连接（1）如图1，直接写出线段，之间的数量关系？不用说明理由：（2）当直线旋转到如图2位置时，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理出；（3）若，当时，直接写出线段的长？【答案】（1）；（2）不成立，应为，证明见解析；（3