断裂力学——3裂纹尖端应力场和位移场计算ppt课件.ppt
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1、1Shanghai University断裂力学Fracture Mechanics郭战胜郭战胜办公地点:延长校区力学所办公地点:延长校区力学所317室室平时答疑:每周一:平时答疑:每周一:5-6节节晚修答疑晚修答疑:每周一:每周一:18:00-20:30地点:地点:HE108或或HE104b2裂纹尖端附近的应力场和位移计算裂纹尖端附近的应力场和位移计算343cos(1 sinsin)2222xKr3cos(1 sinsin)2222yKr3cossincos2222xyKr0 xzyzReImxZyZReImyZyZ0z(平面应力) ()2RezxyZ (平面应变) RexyyZ 2Iiji
2、jKfr用张量标记可缩写成型裂纹求解53(21)coscos4222KrukG3(21)sinsin4222KrvkG0w平面应变 ()xywdzE 平面应力 3431k平面应变平面应力1(1)Re(1) ImuZyZE12Im(1) RevZyZE平面应力1(12 )ReImuZyZE12(1)ImRevZyZE平面应变型裂纹求解60ra IZ需要注意的是,推导过程中,使用了这个条件,所以。对于稍远处,应该用 所示的来确定应力分量和位移分量。前面得到的应力场和位移场公式只适用于裂纹尖端附近区域,即要求( )( )(2 )afZa ( + )型裂纹求解7型裂纹求解 设无限大板含长2a的中心裂纹
3、,无穷远受剪应力作用8第一步:解第一步:解IIII型型WestergaardWestergaard应力函数应力函数求解方法与求解方法与I I型基本相同,主要差别是无穷远处边界上受力条件不型基本相同,主要差别是无穷远处边界上受力条件不同。选取应力函数同。选取应力函数 所以所以 ReIIIIyZzx ReImIIIIIIZzyZzy ReReZ zZzx ReImZ zZzy ImReZ zZzy因为因为 22ReIIIIyZzx 222ImReIIIIIIZzyZzy 2ReImIIIIIIZzyZzxy ReZIIy型裂纹求解 9得到得到IIII型裂纹问题各应力分量表达式为型裂纹问题各应力分量
4、表达式为 ReIm2ZyZxReZyyZyZxyImRe进而可得到位移分量进而可得到位移分量ZyZEvZyZEuImRe)21 ()1 (ReIm)1 (2)1 (平面应变平面应变 型裂纹求解 10第二步:选第二步:选IIII型裂纹的型裂纹的 ( )Zz边界条件:边界条件: 0 xyy0yax 0 zyxyz, 在 处在处选取选取 22( )zZzza能够满足全部边界条件。能够满足全部边界条件。型裂纹求解 112223/222lim( )limlim( )lim0zzzzzZzzaaZzza在裂纹表面在裂纹表面 处处 0yax 2222( )zxZzzaxa虚数虚数 Re( )0Zz0 xyy
5、ReIm2ZyZxReZyyZyZxyImRez 只有实部且为一常数 0IIZz0 xyxy满足平板周围的边界条件 满足裂纹表面处的边界条件 型裂纹求解 12将坐标原点移到右裂尖,采用新坐标将坐标原点移到右裂尖,采用新坐标 az ( )( )2afZa 当当 0)(f趋于常数趋于常数, ,设设: : , 00lim( )lim( )2KfZ右裂尖附近右裂尖附近, , 在很小范围内时在很小范围内时 0lim2( )KZ用解析函数求解II型裂纹尖端应力强度因子的定义式 型裂纹求解 13第三步:用第三步:用 求求IIII型裂尖附近的应力场和位移场型裂尖附近的应力场和位移场 ( )Zz 应力强度因子是
6、在裂尖时应力强度因子是在裂尖时 存在极限,若考虑裂尖附近存在极限,若考虑裂尖附近的一个微小区域,则有:的一个微小区域,则有:02( )KZ( )2KZ若以极坐标表示复变量若以极坐标表示复变量 )sin(cosirrei( )(cossin)222KZir则可得到则可得到 332233cossin22222 2IIIIIIIIKKKZrir sin2 sincos22yrr型裂纹求解 143sin(2coscos)2222xKr 3cossincos2222yKr 3cos(1 sinsin)2222xyKr0 xzyz()zxy 平面应变 0z平面应力 3(23)sinsin4222KrukG
7、3(22)coscos4222KrvkG 把上面两式代入前面应力表达式中,应力和位移场得表达式把上面两式代入前面应力表达式中,应力和位移场得表达式3134k平面应力平面应变型裂纹求解 15对于I型和II型裂纹来说,是属于平面问题。但对于III型裂纹,由于裂纹面是沿z方向错开,因此平行于xy平面的位移为零,只有z方向的位移不等于零 型裂纹求解对于此类反平面问题,前面给出的平面问题的基本方程已不适用,因此不能沿用Airy应力函数求解,需要从弹性力学的一般(空间)问题出发,推导公式。弹性力学一般问题的基本方程,可以仿照平面问题的方法导出 16反平面(纵向剪切)问题, 其位移 ( , ),0ww x
8、y uv根据几何方程和物理方程:1xzxzwrxG1yzyzwryG0 xyxyz型裂纹求解问题描述:无限大板,中心裂纹(穿透) ,无限远处受与 方向平行的 作用.2az17单元体的平衡方程:0yzxzxy位移函数满足Laplace方程,所以为调和函数. 解析函数性质:任意解析函数的实部和虚部都是解析的.1( , )Im( )w x yZzGImImxzZwGZxxImReyzZwGZyy边界条件边界条件: :0,0yzyxa,0,xzyzz型裂纹求解222220wwwxy非零应力分量18选取函数 22( )lzZzza满足边界条件 型裂纹求解在裂纹表面在裂纹表面 处,处, 0yax IIIZ
9、z只有实部而无虚部,有 0yz满足裂纹表面处满足裂纹表面处的边界条件的边界条件 y x IITlZz ReIIIlZz Im0IIIZz ,0yzlxz 当或,都有,即由非零应力分量公式知,满足平板周围的边界条件。满足平板周围的边界条件。 19取新坐标 za ()1( )(2 )IIIaZfa 型裂纹求解同样,为计算方便,将坐标原点从裂纹的中心移到裂纹的右尖端 当当 0)(f趋于常数趋于常数, ,设设: : , II00lim( )lim( )2KfZ右裂尖附近右裂尖附近, , 在很小范围内时在很小范围内时 II0lim2( )KZ 用解析函数求解III型裂纹尖端应力强度因子的定义式 20 应
10、力强度因子是在裂尖时应力强度因子是在裂尖时 存在极限,若考虑裂尖附近存在极限,若考虑裂尖附近的一个微小区域,则有:的一个微小区域,则有:0II2( )KZ II( )2KZ若以极坐标表示复变量若以极坐标表示复变量 )sin(cosirrei则可得到则可得到 IIIIIIcossin222KZir Recos22Imsin22IIIIIIIIIIIIKZrKZr sin22cos22IIIxzIIIyzKrKr 这就是III型裂纹问题在裂纹尖端附近的应力场表达式 型裂纹求解21则可得到则可得到 IIIIIIcossin222KZir这就是III型裂纹问题在裂纹尖端附近的位移场表达式 1222co
11、ssin2222IIIIIIIIIIIIKKrZdKi 2Recos22Imsin2IIIIIIIIIIIIrZzKrZzK2sin2IIIKrwG型裂纹求解22( )(2 )aZa ( + ) 0 lim2IIKZa应力强度因子( )2aZa 0lim2( )KZa ()( )(2 )laZa II0lim2( )lKZa 注意:以上三种类型求解方法,仅适用于含贯穿裂纹的无限大板在注意:以上三种类型求解方法,仅适用于含贯穿裂纹的无限大板在载荷或位移对裂纹中点的坐标轴对称或反对称的情况。载荷或位移对裂纹中点的坐标轴对称或反对称的情况。23值得指出的是,上述三种裂纹问题的应力场表达式,虽然是根据
12、无限大半具有中心穿透裂纹且在均匀外加应力作用下获得的。进一步的分析表明,这些解具有普遍的意义,也就是说,对于其他有限尺寸板的穿透裂纹(包括中心裂纹和边裂纹),在非均匀受力条件下,裂纹尖端附近的应力场(更确切地说是应力场的奇异项)表达式也是相同的,其不同之处仅仅是应力强度因子的不同,因此,对于特定的含裂纹结构只需要确定相应的应力强度因子就可以了。24通过前面的推导,各种类型裂尖应力和位移场可表示为通过前面的推导,各种类型裂尖应力和位移场可表示为)(2) I () I (ijijfrK3 , 2 , 1,ji)() I () I (iigrKu3 , 2 , 1i若上标写成若上标写成IIII、II
13、IIII,代表,代表IIII型或型或IIIIII型裂纹。型裂纹。裂纹尖端应力场是渐进解,仅仅适合于裂纹尖端附近裂纹尖端应力场是渐进解,仅仅适合于裂纹尖端附近25线弹性裂尖场特点线弹性裂尖场特点v三种变形情况下裂纹尖端应力场和应变场都具有奇异奇异性性,即在裂纹尖端处,应力和应变为无穷大,这种不真实的性质是由于所采用的本构关系所决定的,即认为材料能承受无限大的应力,且应变与应力呈线性关系。另外,在上述的分析中,裂纹假设成理想的尖裂纹,即裂纹尖端曲率为无穷大。实际上,裂纹尖端不可避免地会出现塑性区,并且裂纹尖端地曲率是有限的,但是在塑性区很小的情况下,在围绕裂尖的一个环状区域环状区域内K场场是适用的
14、。vK场内的位移与 成线性比例关系。12r26线弹性裂尖场特点线弹性裂尖场特点v三种情况下的K场有相似的形式,分别由应力强度因子决定着其场的强度。SIF取决于外加载荷,而且与构件几何、裂纹尺寸有关,但是与( )坐标无关。在K场范围内,应力和应变均正比于SIF,所以SIF是裂纹尖端附近应力、应变场强度的表征,是描述裂尖场强度的参数。v裂尖场与角分布函数成比例。角分布函数仅与角 有关,而与r无关,对于同一种变形模式,角分布函数是相同的。所以,无论构件的形状、尺寸以及裂纹的尺寸如何,裂尖场都是相同的。 r27o 应力不适宜作为判断含裂纹材料承载能力的力学参量应力不适宜作为判断含裂纹材料承载能力的力学
15、参量裂裂尖场应力具有奇异性,只要存在载荷,应力就趋于无穷大。尖场应力具有奇异性,只要存在载荷,应力就趋于无穷大。依照传统强度理论,含裂纹结构必定破坏。即依照传统强度理论,含裂纹结构必定破坏。即传统的强度传统的强度条件判断准则失去意义。条件判断准则失去意义。o 应力强度因子作为判定裂纹尖端应力场强度的物理参量引入。应力强度因子作为判定裂纹尖端应力场强度的物理参量引入。 线弹性断裂力学的主要任务之一就是确定含裂纹构件的线弹性断裂力学的主要任务之一就是确定含裂纹构件的应力强度因子。应力强度因子。应力强度因子是有限量,它是代表应应力强度因子是有限量,它是代表应力场强度的物理量,用其作为参量建立破坏条件
16、是力场强度的物理量,用其作为参量建立破坏条件是合适的。合适的。 应力强度因子应力强度因子28aYK名义应力,即裂纹位置上按无裂纹计算的应力名义应力,即裂纹位置上按无裂纹计算的应力aY裂纹尺寸,即裂纹长或深裂纹尺寸,即裂纹长或深 形状系数,与裂纹大小、位置有关形状系数,与裂纹大小、位置有关应力强度因子一般写为:应力强度因子一般写为:应力强度因子单位:应力强度因子单位:N.mN.m-3/2-3/2应力强度因子应力强度因子29应力强度因子 鉴于应力强度因子应力强度因子的重要性,在断裂力学这门科学近半个世纪的快速发展中,应力强度因子的分析计算一直是一个经久不衰的研究课题,这可从这方面的专著(如二十世纪
17、七十年代Sih的专著和近期的专著)和专门的应力强度因子手册可见一斑。从研究方法上,从解析的Westergaard stress function、 Muskhelishvili stress function 到解析的或半解析的Green Function、Singular Integral Equation、Conforming Mapping(保形映射), 及数值方法如Boundary Collocation Method, Finite Element Method (有限元法)和Boundary Element Method (边界元法)。 30脆性断裂的脆性断裂的K K准则准则应力强
18、度因子与应变能释放率的关系应力强度因子与应变能释放率的关系 根据前面所述的应变能释放率公式 与应力强度因子 可以发现它们之间应有一定关系。这关系将进一步揭示应力强度因子的物理意义。EaG21aK 以张开型裂纹为例,由于应变能释放率代表裂纹扩展以张开型裂纹为例,由于应变能释放率代表裂纹扩展单位面积所释放的应变能。那么逆向思维一下单位面积所释放的应变能。那么逆向思维一下31左图a所示裂纹原长为a,扩展微小长度 (图b)后,释放出的能量可用从图b状态闭合到图c状态所作的功来计算。闭合时作用在裂纹上表面上x位置的应力由图b中的0值,逐渐增加到图a中的 a)(xy利用上节的裂尖附近应力和位移场,可以计算
19、使裂纹闭合单位面积所利用上节的裂尖附近应力和位移场,可以计算使裂纹闭合单位面积所作的功,显然这部分功应该等于裂纹扩展单位面积所释放的能量。作的功,显然这部分功应该等于裂纹扩展单位面积所释放的能量。32由I型裂纹的应力表达式, 当 , 时 xr 0 xKxy2)(由图b看出,闭合时的位移最初为 其中 , ),(rvxar注意:图注意:图b b与图与图a a的坐标原点不同。的坐标原点不同。由I型裂纹的位移表达式: )22(24),(kxaKxav闭合后,位移为0。 闭合过程中,应力在 段所作的功为 avBdxya03(21)sinsin4222Krvk3cos1 sinsin2222yKr33闭合
20、单位面积所作的功裂纹扩展单位面积所释放的能量=由于:2200114aayvBdxKkaxGKdxB aaxE 其中, (平面应力), (平面应变) EE 21EE可见,应力强度因子与应变能释放率有对应关系: 不仅表示裂尖附近弹性应力场的强度,也可确定裂纹扩展释放的能量率,故:对于线弹性断裂问题, 与 等价KG0/ 2aaxdxax 34 同理,对于II型和III型裂纹同样可得到类似关系2EKG2(1)KGE 需要注意:对于需要注意:对于I I型和型和IIII型裂纹问题可分为平面应力和平面应变问题,型裂纹问题可分为平面应力和平面应变问题,而对于三型裂纹问题只是一种反平面问题。而对于三型裂纹问题只
21、是一种反平面问题。脆性断裂的脆性断裂的K K准则准则我们已经讲了脆性材料裂纹失稳扩展的临界条件为:CGG1135可以得到以应力强度因子表示的裂纹失稳扩展的临界条件为:可以得到以应力强度因子表示的裂纹失稳扩展的临界条件为:IICKK表示裂尖的应力强度因子表示裂尖的应力强度因子 达到达到 时,裂纹失稳扩展。时,裂纹失稳扩展。 与与 都是材料常数,称为材料的都是材料常数,称为材料的平面应变断裂韧度平面应变断裂韧度。在线弹性条件下在线弹性条件下1KCK1CG12EKGCC强调:强调: 与与 概念不同,概念不同, 是表示裂尖应力场强度的一个参量,可用弹性理论是表示裂尖应力场强度的一个参量,可用弹性理论方
22、法进行计算,由载荷及裂纹体形状和尺寸决定,方法进行计算,由载荷及裂纹体形状和尺寸决定, 断裂韧度,材料具有的一种机械性能,表示材料抵断裂韧度,材料具有的一种机械性能,表示材料抵抗脆性断裂的能力,由试验测定。抗脆性断裂的能力,由试验测定。IKICKICK脆性断裂的脆性断裂的K K准则准则CK1IK36注意:对于线弹性断裂问题,采用G准则和K准则所得的结果是一样的。但是由于利用弹性理论可直接计算应力强度因子,而且试验测定 比 测定方便,故工程一般常用K准则。CK1CG1 根据K准则,可以计算剩余强度(临界应力)和临界裂纹长度,进行断裂安全分析。 例如:对具中心裂纹无限大板,受双轴拉应力 CKaK1
23、11/CCKa)/(221CKa 对于其它结构, 表达式不同。1K可得 37 根据实验和理论分析,断裂韧度随试件厚度增加而下降,根据实验和理论分析,断裂韧度随试件厚度增加而下降,如下图。这是由于:如下图。这是由于:1 1)薄板的裂尖处于平面应力状态,断裂韧度较高,裂纹不易)薄板的裂尖处于平面应力状态,断裂韧度较高,裂纹不易扩展,用扩展,用 表示;表示;2 2)随板厚增加,裂尖处于平面应变状态的部分增加,裂纹较)随板厚增加,裂尖处于平面应变状态的部分增加,裂纹较易扩展,断裂韧度降低,当厚度降至一定值后,断裂韧度降易扩展,断裂韧度降低,当厚度降至一定值后,断裂韧度降至最小,称为平面应变断裂韧度,用
24、至最小,称为平面应变断裂韧度,用 表示。表示。CKICK断裂韧度与板厚的关系断裂韧度与板厚的关系需要注意:金属在平面应力条件下裂尖产生较大塑性变形,需要注意:金属在平面应力条件下裂尖产生较大塑性变形,K K准则(建立在线弹准则(建立在线弹性断裂力学基础上)不适用,而要采用第三章的弹塑性断裂力学的断裂准则。性断裂力学基础上)不适用,而要采用第三章的弹塑性断裂力学的断裂准则。但是当裂尖塑性变形区较小时,通过下一节的修正后,仍可用但是当裂尖塑性变形区较小时,通过下一节的修正后,仍可用K K准则。准则。38线弹性断裂力学在小范围屈服时的推广线弹性断裂力学在小范围屈服时的推广39屈服条件s1scf),(
25、321cf 单向拉压:薄壁圆筒扭转:在应力空间 在主应力主应力空间谓之屈服条件或屈服面方程单向应力复杂应力* 0, ffc或谓之屈服函数c塑性约束系数yssc有效屈服应力,材料屈服点(,)xyzxyxzyzfc 40特雷斯卡(Tresca)假设最大剪应力最大剪应力是屈服的控制因素 122331 , ccc即,0)()()(221322322221*cccf材料屈服,屈服函数为:在主应力空间是六棱柱,在12平面是六边形 时,41在 平面是六角形 C12c 12c1c1c 2c2c 122331 ,ccc即,12CC-C-C1242 米泽斯 (Mises)假设)()()(121213232221G
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