[高等教育]机械工程控制基础系统数学模型chapter2.ppt

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1、高等教育高等教育机械工程控机械工程控制基础系统数学模型制基础系统数学模型chapter2数学模型：描述系统特性，揭示变量之间的关系第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程建立数学模型的方法 分析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 实验法 线性系统满足叠加原理，非线性系统不满足叠加原理第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程线性系统与非线性系统：能用性线微分方程描述的系统是线性系统否则 是非线性系统。线性定常系统：线性时变系统：线性系统的叠加原理： 线

2、性系统在多个输入的作用下，其总输出等于各个输入单独作用下所产生的输出之和。非线性定常系统：)(5)(4)(7)(3)(2.txtxtxtxtxiiooo微分方程：时域中描述系统动态特性的数学方程第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程列写微分方程式的一般方法：1、确定系统的输入量、输出量。（注意：输入量包括给定输入量和扰动量）2、按照信号的传递顺序，从系统的输入端开始，根据各变量所遵循的物理定理写出各个环节的微分方程；(负载效应，非线性系统的线性化)3、消去中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程；4、变换成标准形式。将与输入有关的项写在微分方程的右边，与输出有关的项写在微分方程的左边，并

3、且各阶导数项按降幂排列； 典型所遵循的物理定律第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程机械系统：质量元件：弹性元件：阻尼元件：电网络：典型所遵循的物理定律第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程容性元件：dttiCtu)(1)(感性元件：dttdiLtu)()(阻性元件：)()(tRitu例2-1：试列出如图所示机械系统的微分方程。 微分方程举例第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程1、明确系统的输入和输出输入为f，输出为x。2、根据牛顿第二定律列出原始微分方程3、整理微分方程举例第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程例2-2：试列出如图所示机械系统的微分方程。 1、明确系统的输入和输出输

4、入为T，输出为x（t）。2、列出原始微分方程3、消除中间变量，并整理得：J 旋转体转动惯量；K1 扭转刚度系数B1 粘性阻尼系数)(oKTrfBJKo.1.)(xxxmfkB2.2.rxrTxrkxrBBxmrJ22.221.2)()(微分方程举例第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程例2-3：试列出如图所示机械系统的微分方程。 1、明确系统的输入和输出输入为ui（t），输出为uo（t）。2、列出原始微分方程3、消除中间变量，并整理得：dttiCiRdtdiLtui)(1)(u uo o( (t t) )L LR RC Cu ui i( (t t) )i i( (t t) )R-L-CR-L

5、-C无源电路网络无源电路网络dttiCtuo)(1)(dtduCio或)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo微分方程举例第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程例2-4：试列出如图所示机械系统的微分方程。 1、明确系统的输入和输出输入为ui，输出为uo。2、列出原始微分方程负载效应iudtiiCRi)(121111dtiiCdtiCRi)(112112222oudtiC2213、消除中间变量，并整理得：ioouudtduCRCRCRdtudCRCR2212211222211)(本例中如果看成两个RC电路,不考虑后一级RC电路的负载作用,结果就错误了。 微分方程举例第二

6、章 系统数学模型第一节 系统微分方程例2-4：直流电机驱动力系统。 1、明确系统的输入和输出输入为ua，干扰输入为ML,输出为。2、列出原始微分方程电枢回路电压平衡方程为: daaaaedtdiLiRuddkecd为电动机的反电势系数 daaaakdtdiLiRu2.1.1设J为转动部分折算到轴上的总的转动惯量,M为电动机的电磁力矩,则电机转子运动方程为:力矩平衡方程为: LMMdtdJamikM M与电流i成正比:Km为电动机电磁力矩常数。LamMikdtdJdtdkJMkimLma1daaaakdtdiLiRu3、消除中间变量：中间变量damLmLmaakdtdtdkJMkdLdtdkJM

7、kRu)1()1(电枢回路电压平衡方程为4、整理得：dmLmaLmaakdtdkLJdtdMkLdtdkJRMkRu22LdmaLdmaddmadmMkkRdtdMkkLukdtdkkJRdtdkkLJ1225、标准形式：LmLamadmmaMCdtdMTCuCdtdTdtdTT22aaRRdamLmLmaakdtdtdkJMkdLdtdkJMkRu)1()1(微分方程的增量化表示第二章 系统数学模型例2-5：直流电机驱动力系统。 第一节 系统微分方程LmLamadmmaMCdtdMTCuCdtdTdtdTT22若电机处于平衡状态，有： LmadMCuC（静态数学模型电机处于平衡状态，对应的输

8、入量和输出量分别表示为： 000;LLaaMMuu000LmadMCuC若某一时刻，输入量发生变化，其变化值为： ，电机的平衡状态被破坏，输出亦发生变化，其变化量为： ，这时，输入量和输出量可表示为： LaMu;000,LLLaaaMMMuuu)()()()()()(000000202LLmLLamaadmmaMMCdtMMdTCuuCdtdTdtdTT化简并整理得： )()()()()()(000022LLmLamaadmmaMMCdtMdTCuuCdtdTdtdTTLmLamadmmaMCdtMdTCuCdtdTdtdTT022000LmadMCuC考虑到于是有： 讨论：LmLamadmm

9、aMCdtdMTCuCdtdTdtdTT22LmLamadmmaMCdtMdTCuCdtdTdtdTT0221、增量方程与实际坐标方程形式相同； 2、当平衡点为坐标原点时两者等价，否则两者不等价； 第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程非线性方程线性化条件：1、非线性函数是连续函数； 2、系统在预定工作点附近作小偏差运动，即变量的变化范围很小； 1、确定预定工作点； 2、在工作点附近将非线性方程展开成Taylor组长数形式； 非线性方程线性化方法：3、忽略高阶项； 4、表示成增量方程形式； 非线性微分方程在一定条件下可以线性化处理Apycym.第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程例2-6

10、：液压伺服机构。 1、明确系统的输入与输出：输入 为x，输出为y 2、列写原始方程：设 P=P1-P2.yAq ),(pxqq3、非线性方程线性化：、确定系统的预定工作点：设为（x0，p0，q0）、展开成Taylor级数形式：ppqxxqpxqpxqxxppxxpp0000),(),(00、表示成增量化形式：pKxKqCq)(1qxKKpqc)(1.yAxKKpqc.yAq Apycym.、P代入动态方程：xkAKyKAcymcqc.2.)(非线性微分方程在一定条件下可以线性化处理非线性微分方程在一定条件下可以线性化处理第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程讨论：1、非线性项线性化后得到的微

11、分方程是增量形式的微分方程。 2、线性化的结果与系统预定的工作点有关式作点不同所得的线性方程的系数不同。 3、非线性项线性化后必须满足连续性和小偏差的条件。 0 0 x xy y= =f f( (x x) )y y0 0 x x0 0 x x yy y yA A传递函数：复数域中描述系统的数学模型第二章 系统数学模型第二节 系统的传递函数线性定常系统微分方程的一般形式为（其中y为输出，x为输入）。iimimmmimmoononnnonnxbdtdxbdtxdbdtxdbxadtdxadtxdadtxda01)1()1(101)1()1(1在零初始条件下，方程两边分别取拉氏变换，有：)()()(

12、)(01110111sXbsbsbsbsXasasasaimmmmonnnn于是有：)()()()(01110111mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio传递函数的定义 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。.)()()(sXsXsGio)(SG)(Sxi)(Sxo传递函数的特点： 1、传递函数是关于复变量S的复变函数； 2、传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性， 传递函数的因子反映了系统与外界的联系； 3、当输入确定时系统的输出完全取决于系统的传递函数； xo=L-1xo(s)=L-1G(s) xi(s)

13、 4、物理性质不同的系统可以有相同的传递函数（相似系统）)()()()(01110111mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio传递函数的零点、极点和放大系数第二章 系统数学模型第二节 系统的传递函数传递函数)()()()(01110111mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio传递函数的零、极点模型).()().()()()()(2121nmiopspspszszszsKsXsXsG零点：mzzz.,21极点：nppp.,21放大系数（增益）：0).()().()()()()(02121abpppzzzKsXsXsGnmio使用传递函数模型后，

14、对系统的研究可转化为对系统传递函数的零点、极点和放大系数的研究。若系统输入为单位阶跃响应，即Xi(s)=1/s, 由拉氏变换终值定理得: 0000)0()()()()()()(limlimlimlimbaGsGsXssGssXxtxosisosoot传递函数：复数域中描述系统的数学模型第二章 系统数学模型第二节 系统的传递函数例2-7：求图示系统的传递函数。 1、确定系统的输入和输出量：u1，u22、列定原始微分方程：121111)(1UIIsCRI)(112112222IIsCIsCRI2221UIsC121111)(1udtiiCRidtiiCdtiCRi)(1121122222221ud

15、tiC3、在零初始条件下进行拉氏变换：3、在零初始条件下进行拉氏变换：121111)(1UIIsCRI)(112112222IIsCIsCRI2221UIsC4、消除中间变量并整理得：12212211222111)(UUsCRCRCRSCRCR于是有：121221122211121)(1)(sCRCRCRSCRCRUUsG典型环节的传递函数（比例、惯性、积分、微分、振荡、延时等环节）第二章 系统数学模型第二节 系统的传递函数1、比例环节：输出量与输入量成正比。动力学方程：xo(t)=Kxi(t)传递函数：G (s)=K特点：输入量与输出量成正比；不不失真，不延时。例如：典型环节的传递函数（比例

16、、惯性、积分、微分、振荡、延时等环节）第二章 系统数学模型第二节 系统的传递函数2、惯性环节：动力学方程：传递函数：特点：存有储能元件和耗能元件，在阶跃输入下，输出不能立即达到稳态值。例如：)()()(txtxdttdxTioo11)(TssG11)(RCssG11)(skcsG)()()(tutudttduRCioo)()()(tkxtkxdttdxcioo典型环节的传递函数（比例、惯性、积分、微分、振荡、延时等环节）第二章 系统数学模型第二节 系统的传递函数3、微分环节：输出正比于输入的微分。动力学方程：一般不能单独存在，反映输入的变化趋势；增加了系统阻尼；强化了系统噪声。)()(txTt

17、xio特点：例如：理想微分环节：一阶微分环节：传递函数：TssG)(Ts)(sXi)(sXo动力学方程：使输出提前R RC Cu ui i( (t t) )u uo o( (t t) )i i( (t t) )无源微分网络无源微分网络RtituRtidttiCtuoi)()()()(1)(RCTTsTsRCsRCssG,11)( 显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当|Ts|1时，才近似为微分环节。 除了上述纯微分环节外，还有一类一阶微分环节，其动力学方程为：无源微分网络 )()()(tnxtxTtxiio)1()()()(sKsXsXsGio其传递函数为：典型

18、环节的传递函数（比例、惯性、积分、微分、振荡、延时等环节）第二章 系统数学模型第二节 系统的传递函数4、积分环节环节：输出正比于输入对时间的积分。动力学方程：输出累加特性；输出滞后作用；记忆功能系统中凡有存储或积累特点的元件都有积分特性.例如：dttxTtxio)(1)(特点：积分环节输入输出关系当输入为单位阶跃信号时,sTsSXo11)(sSXi1)(对该式取拉氏反变换:tTtx1)(0设：dttQtAhtQtQtQ)()()()()(21或：ASSG1)()()()(21tQtQtQ输入输出水箱面积为A.dttduCRtuoi)()(RCSsUSUSGiO1)()()(传递函数：TsSXS

19、XsGiO1)()()(T第二章 系统数学模型第二节 系统的传递函数5、振荡环节（二阶振荡环节）：一般含有二个储能元件、一个耗能元件。传递函数：2222)()()(nnnosssXsXSG或：121)()()(22TssTsXsXSGo式中 无阻尼固有频率 为阻尼比， 为时间常数。 nnT/1二阶振荡环节系统框图典型环节的传递函数（比例、惯性、积分、微分、振荡、延时等环节）10),()()(2)(.2tKxtxtxTtxTio动力学方程：第二章 系统数学模型第二节 系统的传递函数5、振荡环节（二阶振荡环节）：典型环节的传递函数（比例、惯性、积分、微分、振荡、延时等环节）特点：、当 时，输出存在

20、振荡， 且 越小振荡越剧烈；10、当 时，输出无振荡，非振荡 环节是二个一阶惯性环节的组合。110传递函数：2222)(nnnssSG或：121)(22TssTSG式中 无阻尼固有频率, 为阻尼比， 为时间常数。 nnT/1例如旋转运动的J-C-K系统例如L-R-C电路CRLCRooLiiiidtiCRiuudtdiLu1iooouuuRLuLC.11)(2sRLLCsSGnLCn/1RCLCRLnn/1/2CLRLCRC2121典型环节的传递函数（比例、惯性、积分、微分、振荡、延时等环节）第二章 系统数学模型第二节 系统的传递函数传递函数：sisiiiiOeSXeSXtLxtxLtxtxLs

21、G)()()()()()()(6、延时环节（迟延环节）：输出滞后于输入时间 ，但不失真地反映 输入的环节。运动方程：)()(txtxio为延迟时间。特点：输出滞后于输入，但不失真。延迟环节的阶跃响应典型环节的传递函数（比例、惯性、积分、微分、振荡、延时等环节）第二章 系统数学模型第二节 系统的传递函数传递函数：sesG)(6、延时环节（迟延环节）：输出滞后于输入时间 ，但不失真地反映 输入的环节。运动方程：)()(txtxio为延迟时间。例如：扎钢时的带钢厚度检测示意图)()(12ththsesG)(1） 传递函数框图中的环节是根据动力学方程来划分的，一个环节 并不一定代表一个物理元件（物理环

22、节或子系统），一个物理 元件（物理环节或子系统）也不一定就是一个传递函数环节（也 许几个物理元件的特性才组成一个传递函数环节（环节间有负载 效有应） ，也许一个物理环节的特性分散在几个传递函数环节 中。）几点说明：2） 注意区别表示系统结构的物理框图和分析系统的传递函数的框图。3） 同一元件在不同的系统中作用不同时，其传递函数可以不同。（如：动力学方程： 取输入为位移 是微分环节，若取速度 为输入 是就成比例环节了。） )()(.txktxio)(txi)(.txi注意：求取传递函数时,一般假设网络输出端有无穷大的负载阻抗,输入内阻为零,否则应考虑负载效应. 图2-11中,两个RC网络不相连接

23、时,可视为空载, 传递函数分别为图2-11 负载效应示意图I2I1I若将 G1(s) 与 G2(s) 两方块串联连接,如图2-11右端, 其传递函数为 但是,若将两个RC网络直接连接,则由电路微分方程可求得连接后电路的传递函数为 将组成系统的各个环节用传递函数方框图表示，并将相应的变量按信号流向连接起来，就构成系统的方框图。第二章 系统数学模型第三节 系统的传递函数方框图及其简化方框图的结构要素：传递函数方框图相加点示意图分支点示意建立传递函数方框图的方法：列写原始微分方程；在零初始条件下，对各原始微分方程分别取Laplace变换；将变换的结果表示成各环节传递函数方框图的形式；根据信号在各环节

24、传递和变换的流向，依次连接上述各个方框图， 构成整个系统的方框图。传递函数方框图的建立示例。液压伺服机构传递函数的方框图。 第二章 系统数学模型第三节 系统的传递函数方框图及其简化Apycym.1、列写原始方程：.yAq 3、绘制上述各传递函数方框图：4、连接各个环节：)(1qxKKpqc2、取Laplace变换)()()(2sAPsYcsms)()(sAsYsQ)()(1)(sQsXKKsPqc)(sX)(sP)(sX)(sP)(sQ)(sY传递函数方框图的建立示例。直流电机传递函数的方框图。 第二章 系统数学模型第三节 系统的传递函数方框图及其简化1、列写原始方程：adaaaueiLiRd

25、dkeLMMJamikM 2、取Laplace变换adaaUEILsR)(ddkELMMJsamIkM 3、绘制上述各传递函数方框图：传递函数方框图的等效变换。 所谓等效变换是指变换前后输入输出总的数学关系保持不变 第二章 系统数学模型第三节 系统的传递函数方框图及其简化1、串联环节的等效变换：2、并联环节的等效变换：X2(s)传递函数方框图的等效变换。 所谓等效变换是指变换前后输入输出总的数学关系保持不变 第二章 系统数学模型第三节 系统的传递函数方框图及其简化3、反馈环节用其等效变换规则： 前向通道传递函数：)(/)()(sEsXsGo反馈通道传递函数：)(/)()(sXsBsHo开环传递

26、函数：)()()(/)()(sHsGsEsBsGK闭环传递函数：)(/)()(sXsXsGioB)()()()()()(sHsXsXsBsXsEoii)()()()()()()()(sHsXsGsXsGsEsGsXoio因为：所以：)()(1)()(sHsGsGsGB即：说明：1、前向通道、反馈通道、开环传递函数都只是闭环系统的部分环节（或环节组合的传递函数），闭环传递函数才是系统的传递函数。2、相加点B（s）处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈。所谓等效变换是指变换前后输入输出总的数学关系保持不变 第二章 系统数学模型第三节 系统的传递函数方框图及其简化4、分支点移动规则：所谓等效

27、变换是指变换前后输入输出总的数学关系保持不变 第二章 系统数学模型第三节 系统的传递函数方框图及其简化4、相加点移动规则：所谓等效变换是指变换前后输入输出总的数学关系保持不变 第二章 系统数学模型第三节 系统的传递函数方框图及其简化4、分支点之间、相加点之间相互移动规则：所谓等效变换是指变换前后输入输出总的数学关系保持不变 第二章 系统数学模型第三节 系统的传递函数方框图及其简化例2-8：所谓等效变换是指变换前后输入输出总的数学关系保持不变 第二章 系统数学模型第三节 系统的传递函数方框图及其简化一般系统方框图的简化方法：1、明确系统的输入和输出。对多输入单输出系统针对每个输入及其引起的输出分

28、别进行简化。2、若系统传递函数框内无交叉回路，则根据环节串联、并联和反馈连接的等效原则从里到外进行简化。3、若系统传递函数框内有交叉回路，则根据相加点、分支点等的移动规则消除交叉回路，然后按步骤2进行简化。4、最后消除反馈点，求得系统的传递函数。等效变换的两个原则：1、前向通道的传递函数保持不变。2、各反馈回路的传递函数保持不变。例2-9：例题-9：求下图所示系统的传递函数。232321HGGGG31G传递函数简化的梅逊公式 第二章 系统数学模型第三节 系统的传递函数方框图及其简化例2-9：前向通道：1条G1G2G3反馈回路：L1G1G2G3L2G1G2H1L3G2G3H2各反馈回路有公共传递

29、函数框梅逊公式：1)()()(递函数每一反馈回路的开环传积前向通道的传递函数之sXsXsGiob在相加点，对反馈信号为相加时取负号，对反馈信号为相减时取正号。条件：1）整个方框图只有一条前向通道；2）各局部回路存在公共的传递函数方框。传递函数简化的梅逊公式 第二章 系统数学模型第三节 系统的传递函数方框图及其简化梅逊公式应用：例2-10：2325214312143521)1 (1)1 (HGGGGGGGHGGGGGGG（s）GB系统的传递函数为：多个输入同时作用于线性系统时 ，分别考虑每个输入的影响 第二章 系统数学模型第四节 考虑扰动的反馈控制系统传递函数考虑扰动的反馈控制系统：只考虑给定输

30、入时：HGGGGsGX21211)(只考虑干扰输入时：HGGGsGN2121)(多个输入同时作用于线性系统时 ，分别考虑每个输入的影响 第二章 系统数学模型第四节 考虑扰动的反馈控制系统传递函数考虑扰动的反馈控制系统：只考虑给定输入时：HGGGGsGX21211)(只考虑干扰输入时：HGGGsGN2121)(系统总的输出量：)(1)(1)(2122121sNHGGGsXHGGGGsXio1)()()(21sHsGsG1)()(1sHsG若若且且，则：，则：)()(1)(sXsHsXio 上式表明，采用反馈控制的系统，适当选择元部件的结构参数，可以增强系统抑制干扰的能力。 用相同形式的数学模型表示的系统，称为相似系统。第二章 系统数学模型第五节 相似原理相似量：在相似系统的数学模型中，占据相同位置的物理量。输入为f(t)，输出为x(t)输入为u(t)，输出为电容器的电量qfkxxcxmuqcqRqL1相似量：