《学案与测评》2011年高考数学总复习 第十五单元第三节 数学归纳法精品课件 苏教版.ppt

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1、第十五单元第十五单元 推理与证明推理与证明知识体系知识体系第三节第三节 数学归纳法数学归纳法( (* *) )基础梳理基础梳理1. 数学归纳法的适用对象一般地,对于某些与 有关的数学命题,我们用数学归纳法公理.2. 数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)如果当n取第一个值n0(例如n0=1,2等)时结论正确;(2)假设当 时结论正确,证明当n= 时结论也正确.那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.正整数n=k(kN*,且kn0)k+1典例分析典例分析题型一题型一 与自然数与自然数n n有关的等式的证明有关的等式的证明【例1】用数学归纳法证明： 分析 用数学归纳法证明

2、问题，应严格按步骤进行，并注意过程的完整性和规范性.1111.2 44 66 822241nnnn证明 （1）当n=1时，左边=124=18,右边=18,等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时, 成立; 1111.2 44 66 822241kkkk当n=k+1时，所以当n=k+1时，等式也成立.综上可得，等式对于任意nN*都成立.11111.2 44 66 822222242114141241211141242411kkkkk kkkkkkkkkkkkkk学后反思 用数学归纳法证题时两个步骤缺一不可，证当n=k+1时命题成立，必须要用当n=k时成立的结论，否则，就不是数学归纳法证明.举一反

3、三举一反三1. 求证: (其中nN*).231111111.1222222nnn 证明： (1)当n=1时,左边 ,右边= ,等式成立.(2)假设当n=k时等式成立,即 那么当n=k+1时,左边= 这就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据(1)、(2)可知,等式对任何nN*都成立.1211122231111111.1222222kkk 2311111111111112 11.1112222222222kkkkkkk 右边题型二题型二 用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题【例2】求证： （nN*）能被9整除.31 71nn分析 当n=1时，原式=27能被9整除.因此要研究 与 之间

4、的关系，以便利用归纳假设 能被9整除来推证 也能被9整除.31 71kk 134 71kk31 71kk 134 71kk证明 设 （1）f(1)=(31+1)7-1=27能被9整除，因此当n=1时命题成立.(2)假设n=k(kN*)时命题成立，即 (kN*)能被9整除.则 31 71nf nn 31 71kf kk 1134 7131 719 23 7kkkf kf kkkk由于f(k)能被9整除， 能被9整除，所以 能被9整除.由（1）、（2）知，对所有正整数n, 能被9整除.学后反思 整除问题一般是将n=k+1时的结论设法用n=k时的结论表达，而后利用假设来讨论判断是否满足整除.9 23

5、 7kk 19 23 7kf kf kk 31 71nf nn举一反三举一反三2. 用数学归纳法证明： (nN*)能被x+2整除.13nx证明： （1）当n=1时，1-(3+x)=-2-x=-(x+2)，能被x+2整除.（2）假设当n=k时， 能被x+2整除,则可设 = (f(x)为k-1次多项式).当n=k+1时， 能被x+2整除.综上可知，对任意nN*,1-(3+x)n能被x+2整除.13kx13kx 23xx fx 1313313121323223213kkxxxxxfxxxx fxxxx fxxx fx 题型三题型三 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式【例3】求证： (n2,

6、nN*).分析 和正整数有关，因此可用数学归纳法证明.1115.1236nnn证明 （1）当n=2时，左边= ,不等式成立.（2）假设当n=k(k2,kN*)时不等式成立，即 成立,则当n=k+1时, 所以当n=k+1时不等式也成立.由（1）（2）可知原不等式对一切n2，nN*都成立.111157534566061115.1236kkk111111.111233132331111111.123313233151111511536313233163316kkkkkkkkkkkkkkkkkkk学后反思 在用数学归纳法证明不等式时，往往需综合运用不等式证明的其他方法，如比较法、放缩法、配方法、分析法

7、、基本不等式等.举一反三举一反三3. 求证： (nN*).111.11231nnn证明： （1）当n=1时，左边= ,n=1时不等式成立.（2）假设n=k(kN*)时原不等式成立,即 则当n=k+1时,左边= 1111111311 1121 323412111.11231kkk111111.23313233341111111.12313233341111113233341kkkkkkkkkkkkkkkkk 左边1,n=k+1时原不等式成立.综上可得,原不等式对于一切nN*都成立.11112032333413 32341kkkkkkk题型四题型四 用数学归纳法证明有关数列问题用数学归纳法证明有关

8、数列问题【例4】(14分)在数列an中， ,当nN*时满足 ,且设 .求证： 各项均为3的倍数.121aa21nnnaaa4nnba nb分析 由于要证的是与正整数n有关的命题，可用数学归纳法证明.这里要注意 是由递推关系给出的. na证明 （1） , , , .2当n=1时， 能被3整除6（2）假设n=k(kN*)时命题成立，即bk=a4k是3的倍数.则当n=k+1时, ,.10由归纳假设， 是3的倍数，故可知 是3的倍数.当n=k+1时命题成立.12综合（1）（2）知，对任意nN*，数列 各项都是3的倍数. 14121aa3122aaa4323aaa143ba1b1444342424141

9、441414414414232kkkkkkkkkkkkkkkbaaaaaaaaaaaaaa4ka1kb nb学后反思 在证n=k+1时，对 应用递推关系式裂项，裂项后需产生 项，这样便于应用归纳假设；除此之外就是凑成3的倍数.41ka4ka举一反三举一反三4. 是等比数列,公比为q.求证： 对于一切nN*都成立.11nnaa q na证明： （1）当n=1时， ,等式成立.（2）假设当n=k（kN*）时，等式成立，即 .则当n=k+1时， 即当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可得，等式对一切nN*都成立.1 101111aa qa qa11kkaa q1111111kkkkkaa qa

10、qqa qa q易错警示易错警示【例】已知 (nN*).用数学归纳法证明 时， = . 1111.23f nn 22nnf122kkff错解 111222kkkff错解分析 中共有n项相加, 中应有 项相加， 中应有 项相加, 中应有 项. 1111.23f nn 2kf2k12kf12k122kkff122kk正解 1111122.21222kkkkkff考点演练考点演练10. 用数学归纳法证明等式: (nN*),则从n=k到n=k+1时,求左边应添加的项.422123 .2nnn 解析: n=k时,等式左边= ;n=k+1时,等式左边= 比较上述两个式子,n=k+1时,等式左边是在假设n=

11、k时等式成立的基础上,等式的左边加上了 2123 .k 2222123.12.1kkkk 22212.1kkk11. 用数学归纳法证明: (nN*)能被9整除.33312nnn证明: (1)当n=1时, ,36能被9整除,命题成立.(2)假设当n=k时,命题成立,即 能被9整除;当n=k+1时 由归纳假设,上式中的两部分都能被9整除,故当n=k+1时命题也成立.由(1)、(2)可知,对任何nN*命题都成立.33311 1123633312kkk3333332233332123123333312933kkkkkkkkkkkkk12. 用数学归纳法证明:当n是不小于5的自然数时,总有 成立.22nn证明: (1)当n=5时, ,结论成立.(2)假设当n=k(kN*,k5)时,结论成立,即 .那么当n=k+1时,左边= =右边,也就是说,当n=k+1时,结论也成立.由(1)(2)可知,不等式 对nN*,n5恒成立.522522kk212222222 22121112121kkkkkkkkkk 22nn