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1、控制系统的数学模型一、定义一、定义 控制系统的数学模型是描述系统中各元件的特性以及各控制系统的数学模型是描述系统中各元件的特性以及各种信号（变量）的传递和转换关系的数学关系式。种信号（变量）的传递和转换关系的数学关系式。二、形式二、形式 时域：时域： 微分方程微分方程 差分方程差分方程 状态空间模型状态空间模型 频域：频域： 传递函数传递函数 方块图方块图 频率特性频率特性 )(1sG)(2sG)()()(21sGsGsGn)(sGn（3）反馈方框的等效变换)(1sG)(sH)(sR)(sC)()(1)(sHsGsG)(sR)(sC证明：( )( )( )( )( )( )( )( )( )(

2、 )1( )( )( )( )( )( )( )( )1( )( )C sG sR sH s C sG s R sG s C s H sG s H sC sG s R sC sG sR sG s H s（4）比较点和引出点的移动1）比较点前移（逆着信号线的指向移动）CQR)(sGR)(sG)(1sGCQ证明：QRsGQsGRsGCQRsGC)()(1)()(移动后移动前2）比较点后移CCQR)(sGQR)(sG)(sG3）相邻比较点之间的移动C1R2R3RC1R2R3R4）引出点前移CR)(sGR)(sGCC)(sGC5）引出点后移R)(sGCCR)(sG)(1sGRR 6）相邻引出点之间的移

3、动RRRRRRRR7）比较点和引出点交换位置1R3RCC3RCC3R1R（5）负号在支路上的移动)(1sG)(sH)(sR)(sC)(1sG)(sH)(sR)(sC 1例例 化简下面的结构图，并求传递函数)()(sRsC解：引出点后移)(3sG)(1sG)(sR)(sC)(2sG)(4sG)(2sH)(3sH)(1sH)(3sG)(1sG)(sR)(sC)(2sG)(4sG)(2sH)(3sH)(1sH)(14sG )(1sG)(sR)(sC)(34sG)(2sG)(1sH)()(42sGsH)(1sG)(sR)(sC)(23sG)(1sH)()()(1)()()(3434334sHsGsGs

4、GsGsG)()()()()()(1)()()()()(232343432123sHsGsGsHsGsGsGsGsGsGsG)()()()()()()()()()()(1)()()()()()()(143213432324321sHsGsGsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGsGsRsCs信号流图1、信号流图的概念信号流图：由节点和支路组成的信号传递网络，是一种表示一组联立线性代数方程的图。例如：2 2、几个术语、几个术语节点：用来表示变量或信号的点，用“。”表示。支路增益：两个节点之间的增益。支路：连接两个节点的定向线段，具有一定的增益。（乘法器）输入节点（源节点）：只有输出支路的节

5、点，对应于自变量。的因果关系。和，表示示，支路增益是分别用节点表、用信号流图表示：变量UIRIUIUIURR输出节点（阱节点）：只有输入支路的节点，对应于因变量。混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。通路：沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径。前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。前向通路增益：前向通路中各支路增益的乘积。回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路。回路增益：回路中各支路增益的乘积。不接触回路：如果回路之间没有公共节点，称它们为不接触回路。3 3、信号流图的性质、信号流图的性质（1）节点表示的变量是所有流向该节点的信号

6、之和，而从同一节点流向各支路信号，均用该节点变量表示；（2）支路表示了一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿着支路的箭头方向传递，而没有相反的关系；（3）在混合节点上，增加一条具有单位增益的支路，可把混合节点变为输出节点，即分离出系统的输出变量;注意：用这种方法不能将混合节点变为输入节点。（4）对于给定系统，信号流图不是唯一的；（5）信号流图只适用于线性系统。4 4、信号流图的绘制、信号流图的绘制（1）由系统微分方程绘制信号流图S域的代数方程组拉氏变换系统的微分方程组信号流图(2）由系统结构图绘制信号流图结构图与信号流图的对应关系1)结构图的信号线对应于信号流图的节点、方框对应于支路和支路

7、增益；2）结构图输入端和输出端对应于信号流图的输入节点和输出节点；3）结构图综合点或引出点对应于信号流图的混合节点。在结构图比较点之前没有引出点时，只需在比较点后设置一个节点便可；但若在比较点之前有引出点时，就需在引出点和比较点各设置一个节点，它们之间的支路增益是“1”。5、梅逊(Mason)增益公式输入输出节点间总增益（或传递函数）为增益的乘积之和；中三个回路的回路单独回路中，每次取其在所有不接触增益的乘积之和；中两个回路的回路单独回路中，每次取其在所有不接触；所有单独回路增益之和特征式，其中条前向通路总增益；从源节点到阱节点的第向通路总数；从源节点到阱节点的前递函数（或总增益）；从源节点到

8、阱节点的传式中fedcbafedcbaknkkkLLLLLLLLLLLLkpnPpP111 式。的乘积项）以后的余项增益项（包括回路增益路条前向通路相接触的回式中除去与第余因子式，它等于特征kk说明：（1）梅逊公式也适用于结构图； （2）只适用于输出节点对输入节点的总增益，对混合节点不 能直接用。解：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：例：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算总传递函数。11RsC21-)(sI)(2sI)(1sI)(su)(sui)(suo)(suesC1121R1111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC21图中，有一个

9、前向通道；2221111sCRCRP 有三个回路；sCRsCRsCRLa122211111有两个互不接触回路；221212211111sCCRRsCRsCRLLcb2212112221111111sCCRRsCRsCRsCR1i（因为三个回路都与前向通道接触。）1)(112122112212111sCRCRCRsCCRRPPkkk总传输为：1111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC21 第3章 自动控制系统的时域分析 3.1 典型输入作用和时域性能指标 3.2 一阶系统的瞬态响应 3.3 二阶系统的瞬态响应 3.4 高阶系统分析 3.5 稳定性和代数稳定判据 3.6 稳态

10、误差分析其闭环传递函数为：11111)()()(TssRsYsKssKsK式中， ，称为时间常数，开环放大系数越大，时间常数越小。KT1 由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其传递函数是 s的一次有理分式。 一阶系统的微分方程为：)(sY-sK)(sE)(sR典型的一阶系统的结构图如图所示。)()()(trtydttdyT 3.2.1 一阶系统的数学模型n 单位脉冲信号与单位阶跃信号的一阶导数、单位斜坡信号的二阶导数和单位加速度信号的三阶导数相等。n 单位脉冲响应与单位阶跃响应的一阶导数、单位斜坡响应的二阶导数和单位加速度响应的三阶导数也相等。3.2.2 一阶系统的响应开环传递函数为:sss

11、Gnn2)(22闭环传递函数为:2222)(1)()(nnnsssGsGs)2(2nnss)(sR)(sY-典型结构的二阶系统如右图所示： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化为二阶系统来研究。典型二阶系统的微分方程 ：0)()(2)(222ttrtydtdyTdttydT， 3.3.1 典型二阶系统的数学模型 称为典型二阶系统的传递函数， 称为阻尼系数， 称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参数。T称为二阶系统的时间常数。 )(sn1212)(1)()(22222TssTsssGsGsnnn122, 1

12、nnp其特征根为：二阶系统的特征方程为：0222nnss注意：当 不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响应形式也不同。它的阶跃响应有振荡和非振荡两种情况。 当 时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。0 当 时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。10 当 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。1 当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。1122, 1nnp 阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应形式如下表所示：单位阶跃响应极

13、点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根 衰减振荡一对共轭复根(左半平面） 等幅周期振荡一对共轭虚根 无阻尼, 0njs2, 1欠阻尼, 1o22, 11nnjs临界阻尼，1)(2, 1重根ns过阻尼，1122, 1nns3.3.3 典型二阶系统的性能指标（衰减振荡瞬态过程） 最大超调量%100%21e调节时间 st时当时当52,3,4nnst例 有一位置随动系统，其方块图如图所示。其中K=4，T=1。试求： (1) 该系统的无阻尼振荡频率 n；(2)系统的阻尼系数；(3)系统超调量%和和调整时间ts；（4）如果要求0.707，在不改变时间常数T的情况下，应怎样改变系统开

14、环放大系数K。 解： 系统的闭环传递函数为:,441)()()(22ssTKsTsTKsRsYs2222)()()(nnnsssRsYs441)()()(22ssTKsTsTKsRsYs2222)()()(nnnsssRsYs21/4/TKn25. 02/1n%4 .44%100%21/e8/4nst（4）当要求在0.707时，n=1/2= 0.707，则Kn2=0.5。可见要满足二阶工程最佳参数的要求（该例中为增加阻尼系数），必须降低开环放大系数 K的值。传递函数：)2)(1()()()(222nnnssTssRsYs 3.4 典型三阶系统的瞬态响应三阶系统的单位阶跃响应由三部分组成：稳态项

15、，共轭复极点形成的振荡分量，实极点构成的衰减指数项分量。0),sin(1)2(11)2(1)(2223tteetydttpn三阶系统的单位阶跃响应的表达式：33222103223221)(2()(psAssAsAsAspssspsYnnnnn闭环系统若存在离虚轴最近的一对共轭极点或一个实极点；极点附近无零点；其他极点距虚轴的距离是离虚轴最近的极点距虚轴的距离的5倍以上。主导极点：满足下列条件的极点称为主导极点。 主导极点在y(t)中的对应项衰减最慢，系数最大，系统的瞬态性能指标主要由它决定。具有主导极点的高阶系统可近似为二阶或一阶系统。 闭环主导极点3.5 线性控制系统稳定性-充分必要条件线性

16、系统稳定的充要条件： 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部。（一）胡尔维茨判据设系统的特征方程式为：0.0111asasasannnn则系统稳定的充要条件是： ，且由特征方程系数构成的胡尔维茨行列式的主子行列式全部为正。0na胡尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二项系数 至最后一项系数 ，在主对角线以下各行中各项系数下标逐次增加，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次减小。当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。 1na0a04253164275310000000000aaaaaaaaaaaaaaan

17、nnnnnnnnnnnnn胡尔维茨行列式：nn 3.5.3 代数稳定性判据-胡尔维茨稳定性判据以4阶系统为例使用胡尔维茨判据：001223344asasasasa胡尔维茨行列式为：0241302413000000aaaaaaaaaa稳定的充要条件是：014a、0, 0214232413231aaaaaaaaa、0, 000413024133aaaaaaa设线性系统的特征方程为： 1110( )0(0)nnnnnD sa sa sa saa线性系统稳定的充分必要条件是：1）方程式所有系数为正；2）所有奇数阶或偶数阶胡尔维茨行列式为正，即：奇0或偶0。根据李纳德-戚帕特判据，若系统特征方程式的各项

18、系数中有负或零（缺项），则系统是不稳定的。对于n4的线性系统,其稳定的充要条件还可以表示为如下简单形式:n=2时:特征方程的各项系数严格为正.n=3时:特征方程的各项系数严格为正,且2 0n=4时:特征方程的各项系数严格为正,且2 0以及2an-1 2an-4/an-3 3.5.3 代数稳定性判据-胡尔维茨稳定性判据的另一种形式李纳德-戚帕特判据 例例 设线性系统的开环传递函数为： (1)( )(1)(21)K sG ss Tss试判断系统稳定时K,T应满足的条件。 根据李纳德-戚帕特判据，K0,T0且 解：解： 系统特征方程式为 1+G(s)H(s)=0 0)1 ()2(20) 1() 12

19、)(1(23KsKsTTssKsTss) 1()1 (202)1)(2(012202KTKTKKTKTKT系统稳定时，要求： ) 1()1 (20, 0KTKKT（二）、劳斯判据 设线性系统的特征方程为00111asasasannnn劳斯阵列的前两行元素由特征方程的系数组成，第一行由特征方程的第一、三、五、项系数组成，第二行由特征方程的第二、四、六、项系数组成。若特征方程有缺项，则该项系数以零计。 劳斯阵如下：012321sssssssnnnn12132132132153142feedddcccbbbaaaaaannnnnn 3.5.3 代数稳定性判据-劳斯稳定性判据1132132132153

20、142gfdddcccbbbaaaaaannnnnn014321sssssssnnnnn以后各项的计算式为： 132113121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab154115142nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab176117163nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab1132132132153142gfdddcccbbbaaaaaannnnnn014321sssssssnnnnn11231121311bababbbbaacnnnn11351131512bababbbbaacnnnn11471141713bababbbbaacnnnn141413131312121211cc

21、bbcdccbbcdccbbcd依次类推。可求得,.)2 , 1,.(,igfeiii劳斯判据：系统特征方程具有正实部根的数目与劳斯阵列第一列元素中符号变化的次数相等。n 根据这个判据可以得出线性系统稳定的充分必要条件为：由系统特征方程系数组成的劳斯阵列的第一列元素没有符号变化。n 若劳斯阵列第一列元素的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程的根在s右半平面的个数，表明相应的线性系统不稳定。 一. 劳思阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零。导致劳思阵下一列无法计算。q 处理办法：用很小的正数 代替零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即 ）与其上项或下项的符号相反，计

22、作一次符号变化。3.5.3 代数稳定性判据-劳斯稳定性判据的特殊情况二.劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少有下述几种情况之一出现，如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。处理办法：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等，位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数的。例例5 5： 设线性系统特征方程式为： 432( )22450D sssss试判断系统的稳定性。 解解： 建立劳斯表： 0123450042521sssss 若劳斯表某行第一列

23、系数为零，则劳斯表无法计算下去，可以用无穷小的正数代替0，接着进行计算，劳斯判据结论不变。 5104504252101234sssss由于劳斯表中第一列系数有负，系统是不稳定的。 例：例： 设线性系统特征方程式为： 044732)(23456sssssssD试判断系统的稳定性。 解：解： 建立劳斯表： 1610016664431043147210123456sssssssssss6443324系统是不稳定的。特征方程共有6个根： 23126, 54, 32, 1jsjss例： 考虑如下图所示的导弹航向控制系统。图中，Tm0,Tf0，试确定系统稳定时放大系数K的取值范围。 解：闭环传递函数为：3

24、2( )()oimfmfKsT T sTTssK特征方程为：0)(23KssTTsTTfmfm劳斯阵：列出对应的劳斯阵列如下：0010123KTTKTTTTKTTTTssssfmfmfmfmfm整理后可得开环放大系数K的取值范围是： fmTTK110要使系统稳定，必须：0fmfmfmTTKTTTT0K及0)(23KssTTsTTfmfm定义：误差信号 在时间 趋于无穷大时的数值定义为系统的稳态误差，记为 。即：)(tetsse)(limteetss 误差信号 包括瞬态分量 和稳态分量 两部分.由于系统必须稳定,故当时间趋于无穷大时,必有瞬态分量 趋于零,因而,控制系统的稳态误差 定义为误差信号

25、的稳态分量()essetssse)(te)(teets 对于稳定的系统，稳态误差可以借助拉氏变换的终值定理方便的计算出：)(lim)(lim0ssEteestss 使用上式的条件是有理函数 在 右半平面和虚轴上必需解析，即 的全部极点都必需分布在 左半平面（包括坐标原点）。 )(ssEs)(ssEs 3.6 控制系统的误差和稳态误差)(2sG)(sH)(sR-)(sB)(sE)(1sG)()()(11)()()(21sHsGsGsRsEsE 给定作用下的误差传递函数稳态误差的计算（总结）：)(sR)(sN)(sC)(2sG)(1sG-+)(sE)(sH)(sB 扰动作用下的误差传递函数)(1s

26、G)(2sG)(sH)(sN+)(sE1)()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsNsEsNE 给定和扰动同时作用下的误差表达式)()()()()(sNssRssENEE)()()(1)()()()()()(1)(21221sHsGsGsNsHsGsHsGsGsR 对稳定的系统，可利用拉氏变换的终值定理计算稳态误差)()()(1)()()(lim)()()(1)(lim)(lim)(lim21202100sHsGsGsNsHssGsHsGsGssRssEteessstss 终值定理要求有理函数 的所有极点都在s平面的左半开平面（包括原点）。)(ssE)(sR)(sN)(sC

27、)(2sG)(1sG-+)(sE)(sH)(sB典型输入作用下的稳态误差上表中，k为开环放大系数（开环传递函数写成时间常数形式时的开环增益） 3.6.2 稳态误差分析典型输入作用下的稳态误差（总结）例2 系统方块图如图所示，当输入为单位斜坡函数时，求系统在输入信号作用下的稳态误差；调整K值能使稳态误差小于0.1吗？) 12)(1() 15 . 0(ssssK)(sR)(sY-解：只有稳定的系统计算稳态误差才有意义，所以先判稳：系统特征方程为0)5 . 01 (3223KsKss由劳斯判据知稳定的条件为：60 K) 15 . 0() 12)(1() 12)(1()()()(11)()()(21s

28、KsssssssHsGsGsRsEsE21)(ssR21) 15 . 0() 12)(1() 12)(1()(ssKsssssssEKssKsssssssssEessss11) 15 . 0() 12)(1() 12)(1(lim)(lim200由稳定的条件知： 不能满足 的要求61sse1 . 0sse例：系统结构图如图1所示)(s1.写出闭环传递函数 表达式707. 02nK2.要使系统满足条件：试确定相应的参数 和st,003.求此时系统的动态性能指标ttr2)(sse4. 时，求系统的稳态误差第4章 线性系统的根轨迹分析法 4.1 根轨迹的基本概念4.2 绘制根轨迹的基本规则4.3 控

29、制系统根轨迹绘制示例4.4 基于根轨迹法的系统性能分析第4章 线性系统的根轨迹分析法 其基本思路：当开环系统的一个或多个参数发生变化时，根据系统的开环零点和极点，借助若干条绘图准则，绘制出闭环特征根变化的轨迹，简称根轨迹。 利用根轨迹法可以：n分析闭环系统的稳定性n计算（或估算）闭环系统的瞬态和稳态性能指标n确定闭环系统的某些参数对系统性能的影响n对闭环系统进行校正根轨迹定义:控制系统的某一参数由零到无穷大变化时，闭环系统的特征根（闭环极点）在s平面上形成的轨迹。根轨迹方程。为或：称负反馈系统1)()(1)(11njjmiigkpszsksG上述两式称为满足根轨迹方程(kg=0)的幅值条件和相

30、角条件。当根轨迹增益kg=0时： 111)()(11mjniijpszsjniimjjgepszsk根轨迹方程可写为：1)()(11njjmiigpszsk即：1)()(11niimjjgpszsk，210) 12()()(11kkpszsniimjj 4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件上述两式称为满足根轨迹方程(kg0)的幅值条件和相角条件。当根轨迹增益kg=0)的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。n 0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg0)的点连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。 这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=变化时，根据根轨迹应满足的相应幅值和相角条件

31、，完全可以确定s平面上的根轨迹和根轨迹上各点对应的kg值。 mnzpnimjji11) 12 , 1 , 0( ,) 12(mnkmnk) 1, 2 , 1 , 0( ,2mnkmnk规则180o等相角根轨迹0o等相角根轨迹连续性、对称性和分支数根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。其分支数等于开环有限零点和极点数目中的大者。同左起点和终点起始于开环极点，终止于开环零点同左渐进线条数：n-m同左与实轴交点：同左与实轴夹角：实轴上根轨迹 若实轴上某点右边的开环有限零点和有限极点数目之和为奇数，则该点是根轨迹上的点若实轴上某点右边的开环有限零点和有限极点数目之和为偶数（包括0），则该点是根轨迹上的点控制

32、系统根轨迹绘制示例0)()()()(sDsNsDsNmjjniizsps1111dsgdsNsDk|)()(dsgdsNsDk|)()(nkiiikmjjkpkppzp11)()(nkiiikmjjkpkppzp11)()(niikmkjjjkzkpzzz11)()(niikmkjjjkzkpzzz11)()(分离(会合)点分离（会合）点为方程: 的根同左分离（回合）点处的根轨迹增益：同左出射、入射角出射角：出射角：入射角：入射角：niniiimnps11)2( ,mjjgniiniizkps111与虚轴的交点令s=jw，带入闭环特征方程求w和kg。或用劳斯判据求临界稳定时的闭环特征根。同左闭

33、环特征根之和与之积同左 根据上述根轨迹绘制规则，可以画出控制系统完整的根轨迹图。应当指出的是，并不是每一个系统的根轨迹绘制都要全部使用上述基本规则。根据系统的不同，有时只使用部分规则就可以绘制出完整的根轨迹。例1 已知反馈控制系统的特征方程是022)4(12sssskg试绘制当kg从0变化时的根轨迹。 解： 根据要求，采用180o等相角根轨迹绘制规则进行绘制。 系统的根轨迹方程为： 12242sssskg 系统的开环极点和零点为： 12121104pjpjzz ，；， 根轨迹的分支数：根轨迹有两条分支，分别起始于开环极点-p1，-p2处，终止于开环零点-z1，-z2处。 实轴上的根轨迹区间为：

34、 -4，0 根轨迹的渐近线：开环极点与开环零点的数目相同，该根轨迹没有渐进线。 分离（会合）点：令 sssN4)(222)(2sssD42)( ssN22)( ssD代入方程 有： 0)()()()(sDsNsDsN0422 ss24. 324. 121ss，s1=-1.24是根轨迹的会合点，s2=3.24不是根轨迹上的点，应该舍去，即根轨迹没有分离点。会合点对应的根轨迹增益为： 316. 0|4222|)()(24. 1124. 11ssgdsssNsDk12242sssskg 出射角： 先求开环极点-p1处的出射角。画出各个开环零点和极点（除了-p1）到-p1的向量，并标出每个向量的相角，

35、分别为a1,a2,1。 43.18) 3/1 (12tga9011351a出射角为：43.2439043.18135180212211jiiijpa57.1161p或57.1162p根据对称性，可得： 根轨迹与虚轴的交点： 系统的闭环特征方程为： 02)42()1 (2skskgg劳斯阵列如下：0204221012ggkksss 由于kg0，劳斯阵列中没有全为零的行。所以，根轨迹与虚轴没有交点。根轨迹如下： 第5章 线性系统的频域分析法5.1 频率特性的基本概念5.2 对数坐标图5.3 极坐标图5.4 奈奎斯特稳定判据5.5 稳定裕度5.6 闭环系统的频率特性5.1.1 频率分析法| )(|)

36、(jGARYmm定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 定义稳态响应与正弦输入信号的相位差 为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； )()(jG幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 ，它也是 的函数。 称为频率特性。),(jG)()()(jeAjG)(jG 系统的频率特性定义为系统在正弦作用下稳态响应的振幅、相位与所加正弦作用的频率之间的依赖关系。 频率特性与传递函数的关系为：jssGjG| )()( 幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列关系：)(cos)()( AP)

37、(sin)()( AQ)()()(22QPA)()()(1PQtg5.1.2 频率特性的表示方法2对数坐标图，也称伯德(Bode)图。它是由两张图组成，以lgw 为横坐标，对数分度，分别以 20lg|G(j)H(j)| 和 (j) 作纵坐标的一种图示法。3对数幅相频率特性图，也称尼柯尔斯(Nichols)图。它是以相位 (j) 为横坐标，以 20lg|G(j)H(j)| 为纵坐标，以 为参变量的一种图示法。工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：1极坐标图，也称奈奎斯特(Nyquist)图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以 为参变量的幅值与相位的图解表示法。5.2.

38、1 对数坐标图及其特点1波德图的坐标轴Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。 横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率 的对数值 log 进行线性分度的。但为了便于观察仍标以 的值，因此对 而言是非线性刻度。 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率 的数值变化一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct表示。如下图所示：DecDecDecDec12012.log01. 001 . 0110100由于 以对数分度，所以零频率点在处。 纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L)=20logA() 表示。其单位为分贝(d

39、B)。相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。 当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：增益=20log (幅值) 5.2.2 八种典型环节的对数坐标图 1.比例环节 2.积分环节 3.纯微分环节 4.惯性环节 5.一阶微分环节 6.振荡环节 7.二阶微分环节 8.延迟环节系统对数频率特性的绘制绘制对数幅频特性通常只画出近似折线，如需要较精确的曲线，就对近似折线进行适当修正。绘制步骤如下： 把G(s)化成时间常数形式122111221221)21 ()1 ()21 ()1 ()(njnlll

40、ljmksTkkkmiisTsTsTsesssKsGd式中Td为延迟环节的延迟时间，m1+2m2=m，n+n1+2n2=n求出20lgK。求出各基本环节的转折频率，并按转折频率排序，可列表：序号环节转折频率转折频率后斜率累积斜率1K2(j)-n20n20n3各个环节按从小到大排序的转折频率4确定低频渐近线，其斜率为n20dB/dec,该渐近线或其延长线(当 0顺时针，N 0时闭环系统不稳定，当Z0时计算有误。例设开环系统传递函数为： ，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。)52)(2()(2sssKsGk22224)5(4)(KA222222)9()410()410()(KP211522)(tg

41、tg0)(10)(0)(10)(0QKPKA，时当5 . 65 . 2)5 . 2(5 . 20)(KQP，此时，解得令0)(0)(270)(0)(QPA，时当解：222222)9()410()9()(KQ26) 3(300)(KPQ，此时和，解得令当K=52时，开环极点为1，1j2，都在s左半平面，所以P = 0。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕 (1，j0)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为： Z = N + P = 2 ，闭环系统是不稳定的。若要系统稳定，则126) 3(KP即K 26时，奈氏图不围绕 (1，j0)点。当K 1，则要求K 10。于是系统稳定的条件为10 K

42、26。 上述结论同样可由劳思赫尔维茨判据得到。0109423Ksss劳斯阵：KKKssss100426104910123 要使系统稳定，则第一列都大于0于是得：10 K 1时,奈氏曲线逆时针包围 (1，j0)点一圈，N=1，而P = 1，则Z = N + P = 0闭环系统是稳定的。 显然，K 1时，包围 (1，j0)点，K 1时不包围(1，j0)点。 K=1时穿过(1，j0)点。当K=1时，奈氏曲线通过(1，j0)点，属临界稳定状态。当K1时，奈氏曲线不包围(1，j0)点，N=0，P = 1，所以Z = N + P = 1，闭环系统不稳定。5.4.3 系统含有积分环节时奈奎斯特稳定判据的应用

43、具有开环为0的极点系统，其开环传递函数为：njjmiiksTssKsG11) 1() 1()(n 可见，在原点有v重0极点。也就是在s=0点，Gk(s)不解析，若取奈氏路径同上时(通过虚轴的包围整个s右半平面的半圆)，不满足柯西幅角定理。为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，重构奈氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小做右半圆。这时的奈氏路径由以下四部分组成： 半径为无穷小的右半圆，22, 0, ReRsj下面讨论对于这种奈奎斯特路径的映射 ：)(jGk1、第和第部分：常规的奈氏图 ，关于实轴对称；2、第部分： ， 。假设 的分母阶数比分子阶数高；22,ReRsj)(jGk0)(

44、jGk)(jGkjeRjeR 0 0 正虚轴：022从，ReRsj 右半平面上半径为无穷大的半圆：0 负虚轴：(b)对于型系统：将奈氏路径中的点 代入 中得：0, ReRsj)(jGk2200)(lim)(limjjRkseeRKsG所以这一段的映射为：半径为，角度从变到的整个圆（顺时针）。jjRkseeRKsG00lim)(lim所以这一段的映射为：半径为 ，角度从 变到 的右半圆。2222 0 0 0 03、第部分： (a)对于型系统：将奈氏路径中的点 代入 中得： 0, ReRsj)(jGk5.5 稳定裕度定义：相角穿越频率时的幅频特性的倒数为幅值稳定裕度，即)(1ggAK在对数坐标图上

45、，采用Lg表示Kg的分贝值，即)(lg20lg20gggAKL定义：幅值穿越频率时的相频特性与180之差为相角稳定裕度。即)(180)180()(cc幅值稳定裕度物理意义：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加Kg倍(奈氏图)或增加Lg分贝(波德图)，则系统处于临界状态。若增加的倍数大于Kg倍(或Lg分贝)，则系统变为不稳定。幅值稳定裕度是闭环系统达到不稳定前允许开环增益增加的分贝数。相角稳定裕度的物理意义：稳定系统在幅值穿越频率c处将相角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。相位稳定裕度是闭环系统达到不稳定前系统开环频率特性在c点所允许增加的最大相位滞后。 6.1 设计和校正的基

46、本知识6.2 基于伯德图的相位超前校正6.3 基于伯德图的相位滞后校正6.4 基于伯德图的滞后-超前校正6.5 PID控制器第6章 控制系统的校正 按照校正装置在系统中的连接方式，控制系统校正方式可分为串联校正、并联校正、前馈校正和复合校正四种。1校正方式2. 性能指标 控制系统的瞬态性能和稳态性能经常用时域指标和频域指标来描述。根据给定的性能指标的不同形式，可以采用不同方法对控制系统进行校正。 如果性能指标以单位阶跃响应的峰值时间、调整时间、超调量、阻尼系数、稳态误差等时域特征量给出，一般采用根轨迹法校正。 如果性能指标以系统的相位裕度、幅值裕度、谐振峰值、闭环带宽、稳态误差系数等频域指标给

47、出，一般采用频域法校正。3相位超前校正装置111)(aa，TsTssGc-cGGRC图中，Gc为校正装置，G为对象。 相位超前网络串联校正的基本原理是利用其相位超前的特性，使最大超前角叠加在校正以后系统幅值穿越频率处。4相位滞后校正装置-cGGRC图中，Gc为校正装置，G为对象。111)(，TsTssGc 滞后校正的主要作用是在中高频段造成衰减，从而使系统获得足够的相位裕量。相位超前和相位滞后校正小结相位超前校正通过在幅值穿越频率点附近，提供一个相位超前量而使系统的相位裕量满足要求。相位滞后校正通过对中频及高频幅值衰减的特性，使幅值穿越频率向低频方向移动，同时使中频及高频的相位特性基本不变，从

48、而使系统的相位裕量满足要求。相位超前校正由于幅频特性在中频及高频有所提升，使带宽总大于原系统。当带宽比较宽时就意味着调节时间的减少。而滞后校正的中频及高频衰减使带宽变窄。因而，在同一系统中，超前校正的带宽总大于滞后校正的带宽。因此，如希望一个宽的带宽及快的响应，就应采用超前校正。然而，宽的带宽同时意味着高频增益的增大，使噪声信号得以通过，在需要抑制干扰及噪声的情况下，应采用滞后校正。 超前校正通常用来改善稳定裕量。而滞后校正用来改善系统的稳态性能。因为降低了高频增益，系统的总增益可以增大，因此低频增益可以增加，故改善了稳态精度（降低了稳态误差）。此外，系统中包含的任何高频噪音，都可以得到衰减。

49、 超前校正需要有一个附加的增益增量，以补偿超前网络本身的衰减。6 基于伯德图的滞后-超前校正)1)(11 ()1)(1 ()(sTsTsTsTsGbabaaa 这种校正方法兼有滞后校正和超前校正的优点，既能使校正后系统响应速度加快，超调量减小，又能抑制高频噪声。当校正前系统不稳定，且要求校正后系统有较高的响应速度、相位裕度和稳态精度时，可以采用串联滞后-超前校正。采用滞后-超前校正的基本原理是利用其超前部分增大系统的相位裕度，同时利用其滞后部分来改善系统的稳态性能。110013 . 011013)(sssssGc)(0L 单位反馈系统的开环对数幅频特性曲线 如图3所示，采用串联校正，校正装置的传递函数 )(0sG写出校正前系统的传递函数)(L2.在图3中绘制校正后系统的对数幅频特性曲线c3.求校正后系统的截止频率 和相角裕度113 结束语结束语