[高一数学]16三角函数模型的简单应用.ppt

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1、问题提出问题提出 1.1.函数函数 中的参数中的参数 对图象有什么影响？三角函数的性质包对图象有什么影响？三角函数的性质包括哪些基本内容？括哪些基本内容？sin()yAx,A 2.2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，其中周期性是三角函数的一个显著性性质，其中周期性是三角函数的一个显著性质质. .在现实生活中，如果某种变化着的现象在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，并利用三角函数的图象和性质解决相描述，并利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题应的实际问题. .探究一：

2、根据图象建立三角函数关系探究一：根据图象建立三角函数关系思考思考1 1：这一天这一天6 61414时的最大温差是多少？时的最大温差是多少？【背景材料】【背景材料】如图，某地一天从如图，某地一天从6 61414时时的温度变化曲线近似满足函数的温度变化曲线近似满足函数: :sin()yAxbT/102030ot/h6 10 14思考思考2 2：函数式中函数式中A A、b b的值分别是多少？的值分别是多少？3030-10-10=20=20A=10,b=20.A=10,b=20.T/102030ot/h6 10 14sin()yAxb思考思考3 3：如何确定函数如何确定函数式中式中 和和 的值的值?

3、?wj3,84思考思考4 4：这段曲线对应的函数是什么？这段曲线对应的函数是什么？3y10sin(x)20,x6,14.84思考思考5 5：这一天这一天1212时的温度大概是多少时的温度大概是多少 （）？）？ 27.07. 27.07. 探究二：探究二：根据相关数据进行三角函数拟合根据相关数据进行三角函数拟合 【背景材料】【背景材料】 海水受日月的引力，在一海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫定的时候发生涨落的现象叫潮潮. .一般地，一般地，早潮叫早潮叫潮潮，晚潮叫，晚潮叫汐汐. .在通常情况下，船在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后

4、，在落潮时返回海洋在落潮时返回海洋. .下面是某港口在某季下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：节每天的时间与水深关系表：5.05.02.52.55.05.07.57.55.05.02.52.55.05.07.57.55.05.0水深/米24211815129630时刻思考思考1 1：观察表格中的数据，每天水深观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规律性？的变化具有什么规律性？呈周期性变化规律呈周期性变化规律. .5.05.02.52.55.05.07.57.55.05.02.52.55.05.07.57.55.05.0水深/米24211815129630时刻思考思考2 2：设想水深设

5、想水深y y是时间是时间x x的函数，的函数，作出表中的数据对作出表中的数据对应的散点图，你认应的散点图，你认为可以用哪个类型为可以用哪个类型的函数来拟合这些的函数来拟合这些数据？数据？yo18246122468x5.05.02.52.55.05.07.57.55.05.02.52.55.05.07.57.55.05.0水深/米24211815129630时刻思考思考3:3: 用一条光滑曲线连结这些点，用一条光滑曲线连结这些点，得到一个函数图象，该图象对应的函数得到一个函数图象，该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？解析式可以是哪种形式？3xyo18246122468yAsin( x)h思考思

6、考4 4：用函数用函数 来来刻画水深和时间之间的对应关系，如何刻画水深和时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？确定解析式中的参数值？yAsin( x)hA2.5,h5,T12,0,6xyo18246122468思考思考5 5：这个港口的水深与时间的关系可这个港口的水深与时间的关系可用函数用函数 近似描述，你能近似描述，你能根据这个函数模型，求出各整点时水深根据这个函数模型，求出各整点时水深的近似值吗？（精确到的近似值吗？（精确到0.0010.001）y2.5sinx563.7543.7542.8352.8352.5002.5002.8352.8353.7543.7545.0005.00

7、0水深水深2323：00002222：00002121：00002020：00001919：00001818：0000时刻时刻6.2506.2507.1657.1657.5007.5007.1657.1656.2506.2505.0005.000水深水深1717：00001616：00001515：00001414：00001313：00001212：0000时刻时刻3.7543.7542.8352.8352.5002.5002.8352.8353.7543.7545.0005.000水深水深1111：00001010：00009 9：00008 8：00007 7：00006 6：0000时

8、刻时刻6.2506.2507.1657.1657.5007.5007.1657.1656.2506.2505.0005.000水深水深5 5：00004 4：00003 3：00002 2：00001 1：00000 0：0000时刻时刻思考思考6 6：一条货船的吃水深度（船底与一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为水面的距离）为4 4米，安全条例规定至米，安全条例规定至少要有少要有1.51.5米的安全间隙（船底与洋底米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？港口能呆多久？ABCDo ox xy y246851015o ox xAB

9、CDy y246851015 货船可以在货船可以在0 0时时3030分左右进港，早晨分左右进港，早晨5 5时时3030分左右出港；或在中午分左右出港；或在中午1212时时3030分左分左右进港，下午右进港，下午1717时时3030分左右出港分左右出港. .每次可每次可以在港口停留以在港口停留5 5小时左右小时左右. .思考思考7 7：若某船的吃水深度为若某船的吃水深度为4 4米，安全米，安全间隙为间隙为1.51.5米，该船在米，该船在2 2：0000开始卸货，开始卸货，吃水深度以每小时吃水深度以每小时0.30.3米的速度减少，那米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船么该船在什么时间

10、必须停止卸货，将船驶向较深的水域？驶向较深的水域？y=-0.3x+6.126x x8 10 12y y4o o24682.5 sin56yxp=+货船最好在货船最好在6.56.5时之前停时之前停止卸货，将止卸货，将船驶向较深船驶向较深的水域的水域. . 思考思考8 8：右图中，右图中，设点设点P(xP(x0 0，y y0 0) )，有人认为，由于有人认为，由于P P点是两个图象的点是两个图象的交点，说明在交点，说明在x x0 0时，货船的安全水深正好与港口水深相时，货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向较深等，因此在这时停止卸货将船驶向较深水域就可以了，你认为对吗？水域就

11、可以了，你认为对吗？26x x8 10 12y y4y=-0.3x+6.1o o24682. 5si n56yxp=+P.理论迁移理论迁移 例例 弹簧上挂的小球做上下振动时，小弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离球离开平衡位置的距离s s（cmcm）随时间）随时间t t（s s）的变化曲线是一个三角函数的图）的变化曲线是一个三角函数的图象，如图象，如图. .（1 1）求这条曲线对）求这条曲线对应的函数解析式；应的函数解析式；（2 2）小球在开始振）小球在开始振动时，离开平衡位动时，离开平衡位置的位移是多少？置的位移是多少？4t/ss/cmO-4-412p712p1. 1.根据三角

12、函数图象建立函数解析式，根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的数字特征确定相关的就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域参数值，同时要注意函数的定义域. . 2. 2.对于现实世界中具有周期现象的实际对于现实世界中具有周期现象的实际问题，可以利用三角函数模型描述其变问题，可以利用三角函数模型描述其变化规律化规律. .先根据相关数据作出散点图，再先根据相关数据作出散点图，再进行函数拟合，就可获得具体的函数模进行函数拟合，就可获得具体的函数模型，有了这个函数模型就可以解决相应型，有了这个函数模型就可以解决相应的实际问题的实际问题. .小结小结探究一：建立三角函数模

13、型求临界值探究一：建立三角函数模型求临界值 【背景材料】【背景材料】如图，设地球表面某地正午太如图，设地球表面某地正午太阳高度角为阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值为该地的纬度值. .当地夏半年当地夏半年取正值，冬半取正值，冬半年年取负值取负值. . 如果在北京地区（纬度数约为如果在北京地区（纬度数约为北纬北纬4040）的一幢高为）的一幢高为h h0 0的楼房北的楼房北面盖一新楼，要使新面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应挡，两楼的距离不应小于多少？小于多少？太阳光太阳光-思考思考1 1：图

14、中图中、这三个角这三个角之间的关系是什之间的关系是什么？么？ =90 .思考思考2 2：当太阳高度角为当太阳高度角为时，设高为时，设高为h h0 0的楼房在地面上的投影长为的楼房在地面上的投影长为h h，那么，那么、h h0 0、h h三者满足什么关系？三者满足什么关系？ h=h0 tan. 太阳光太阳光-思考思考3 3：根据地理知识，北京地区一年根据地理知识，北京地区一年中中, ,正午太阳直射什么纬度位置时正午太阳直射什么纬度位置时, ,物体物体的影子最短或影子最长？的影子最短或影子最长？太阳直射北回归线时物体的影子最太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最短，直射南回归

15、线时物体的影子最长长. .思考思考4 4：如图，如图，A A、B B、C C分别为太阳直射分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点面上的投影点. .要要使新楼一层正午使新楼一层正午的太阳全年不被的太阳全年不被前面的楼房遮挡，前面的楼房遮挡，两楼的临界距离两楼的临界距离应是图中哪两点应是图中哪两点之间的距离？之间的距离？-2326 02326 40MACBh0思考思考5 5：右图中右图中CC的度数是多少？的度数是多少？MCMC的长度如何计算？的长度如何计算？思考思考6 6：综上分析，要使新楼一层正午综上分析，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面

16、的楼房遮挡，两楼的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？的距离不应小于多少？-2326 02326 40MACBh000002tantan26 34hhMChC探究二：探究二：建立三角函数模型解决最值问题建立三角函数模型解决最值问题 【背景材料】【背景材料】某地拟修建一条横断面为某地拟修建一条横断面为等腰梯形的水渠（如图），为了降低成等腰梯形的水渠（如图），为了降低成本，必须尽量减少水与水渠周壁的接触本，必须尽量减少水与水渠周壁的接触面面. .若水渠横断面面积设计为定值若水渠横断面面积设计为定值S S，渠，渠深为深为h h，问应怎样修建才能使修建成本最，问应怎样修建才能使修建成本

17、最低？低？ABCDS思考思考1 1：修建水渠的成本可以用哪个几何修建水渠的成本可以用哪个几何量来反映？量来反映？思考思考2 2：设想将设想将ADADDCDCCBCB表示成某个表示成某个变量的函数，那么自变量如何选取？变量的函数，那么自变量如何选取？ABCDSEh思考思考3 3：取取BCE=xBCE=x为自变量，设为自变量，设y=ADy=ADDCDCCBCB，那么如何建立，那么如何建立y y与与x x的函数关系？的函数关系？(2cos )si nShxyhx-=+ABCDSEhx思考思考5 5：注意到注意到S S、h h为常数，要使为常数，要使y y的值的值最小，只需研究哪个三角函数的最小值？最

18、小，只需研究哪个三角函数的最小值？x （ ， ）02p2cos(0)si n2xkxxp-=思考思考4 4：考虑考虑x x的实际意义，这个函数的的实际意义，这个函数的定义域是什么？定义域是什么？(2cos )sinShxyhx-=+ABCDSEhx思考思考6 6：对于函数对于函数你有什么办法求出当你有什么办法求出当x x为何值时，为何值时，k k取取最小值？最小值？ 2cos(0)si n2xkxxp-=x xy yO OPAkk=P(-sinx,cosx)P(-sinx,cosx)A(0,2)A(0,2)思考思考7 7：如何对原问题作出相应回答？如何对原问题作出相应回答？ 修建时使梯形的腰与

19、底边的夹角为修建时使梯形的腰与底边的夹角为6060，才能使修建成本最低，才能使修建成本最低. . ABCDSEhx理论迁移理论迁移 例例1 1 某市的纬度是北某市的纬度是北纬纬21213434，小王想在某，小王想在某住宅小区买房，该小区的住宅小区买房，该小区的楼高楼高7 7层，每层层，每层3 3米，楼与米，楼与楼之间相距楼之间相距1515米，要使所米，要使所买楼房在一年四季正午的买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，太阳不被前面的楼房遮挡，最低应该选择第几层的房？最低应该选择第几层的房？15156三楼三楼21 例例2 2 如图，甲船在点如图，甲船在点A A处测得乙船在处测得乙船在北偏东

20、北偏东6060的的B B处，并以每小时处，并以每小时1010海里的海里的速度向正北方向行使，若甲船沿北偏东速度向正北方向行使，若甲船沿北偏东角方向直线航行，并与乙船在角方向直线航行，并与乙船在C C处相遇，处相遇，求甲船的航速求甲船的航速. .BCA北北，（ ， ）5 303si n()3vpqpq=-D D1. 1.三角函数应用题通常涉及生产、生活、三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意其解答流程大致是：审读题意 设设角建立三角函数角建立三角函数 分析三角函数性质分析三角函数性质 解决实际问题解决实际问题. . 其中根据实际问题的背其中根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系，是解决问景材料，建立三角函数关系，是解决问题的关键题的关键. .小结小结2. 2.在解决实际问题时，要学会具体问题在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活的运用三角函数的图象和性质进行灵活的运用三角函数的图象和性质进行解答解答. .