[理学]第1章随机事件及概率1-2节.ppt

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1、理学理学第第1章随机事件章随机事件及概率及概率1-2节节2022-8-132专用教材：专用教材：概率论与数理统计概率论与数理统计 王明慈等主编王明慈等主编 (第二版第二版) 高等教育出版社高等教育出版社参考书目参考书目:概率统计简明教程概率统计简明教程同济大学主编同济大学主编 概率论与数理统计概率论与数理统计盛骤等主编盛骤等主编 （第三版）高等教育出版社（第三版）高等教育出版社2022-8-133课程安排课程安排: : 概率论概率论 第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第四章第四章 正态分

2、布正态分布考核方式：考核方式： 平时平时 成绩成绩( 30)， 期末考试期末考试(70% ):闭卷闭卷 2022-8-1341717世纪中叶世纪中叶帕斯卡，费马帕斯卡，费马有名的赌徒有名的赌徒分赌注问题分赌注问题帕斯卡帕斯卡:若再掷一次若再掷一次甲获全部赌注甲获全部赌注甲，乙平分赌注甲，乙平分赌注两种情况的可能性相同，所以两种情况平均一下两种情况的可能性相同，所以两种情况平均一下，对甲：对甲：112）（/234费马费马:赌博要最终分出胜负，最多还需要？局？赌博要最终分出胜负，最多还需要？局？甲胜甲胜乙胜乙胜四种情况：四种情况： 甲甲，甲甲， 甲乙，甲乙， 乙甲，乙甲， 乙乙乙乙对甲：对甲：34

3、2概率论（源于赌博）概率论（源于赌博）2022-8-135 甲、乙两人同掷一枚硬币。甲、乙两人同掷一枚硬币。 规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝 上，乙得一点，上，乙得一点，先积满先积满3点者赢取全部赌注点者赢取全部赌注。 假定在甲得假定在甲得2点、乙得点、乙得1点时，赌局由于点时，赌局由于某种原因中止了，问应该某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才怎样分配赌注才算公平合理算公平合理？有名的赌徒有名的赌徒分赌注问题：分赌注问题：2022-8-136随机事件及其概率随机事件及其概率一、样本空间与随机事件一、样本空间与随机事件二、随机事件的概率二、随机事件的概率三、

4、古典概型三、古典概型四、四、条件概率条件概率 概率乘法概率乘法五、随机事件的独立性五、随机事件的独立性六、伯努利概型六、伯努利概型基本内容：基本内容：第一章第一章2022-8-137样本空间样本空间 随机事件随机事件一、随机现象与一、随机现象与随机事件随机事件二、二、样本空间样本空间三、事件的关系及运算三、事件的关系及运算基本内容：基本内容：第一节第一节2022-8-138 确定现象确定现象 ( (必然现象必然现象) )随机现象随机现象( (偶然现象偶然现象) )1. 自由落体运动；3. 函数在可导点处必连续；2. 在一标准大气压下，水的沸点100；1. 投掷硬币, 正面 或反面朝上；2. 一

5、只灯泡的寿命；3. 抽取福利彩票；一、随机试验与随机事件一、随机试验与随机事件2022-8-139如果试验具有下述如果试验具有下述3特点：特点： 试验可以在试验可以在相同条件下相同条件下重复进行多次；重复进行多次；每次试验之前无法预知会出现哪一个结果；每次试验之前无法预知会出现哪一个结果；试验的所有可能结果是明确可知的试验的所有可能结果是明确可知的, 则称这种试验为则称这种试验为随机试验随机试验(试验试验), 用用E1,E2,表示表示.且且不止一个不止一个; 注注：随机试验简称为试验随机试验简称为试验, , 是一个广泛的术语是一个广泛的术语. .它包括各种各样的科学实验它包括各种各样的科学实验

6、, , 也包括对客观事物也包括对客观事物行的行的 “ “调查调查”、“观察观察”、或、或 “ “测量测量” ” 等等. .1. 随机试验随机试验2022-8-1310例例1 1：一个精致的礼盒中有10个相同的球,色的, 5个是黑色的, 搅匀后从中任意摸取一球.例例2.2. 某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数.5个是白2022-8-1311样本点：样本点： 随机试验的每一个可能结果随机试验的每一个可能结果 (不能再分解不能再分解)，记作：记作：21,样本空间：样本空间： 所有样本点的集合，所有样本点的集合， 记作：记作：随机事件随机事件: 随机试验可能发生的结果随机试验可能发生的结果,记作记

7、作:A,B,.基本事件基本事件.,21仅包含单个样本点的子集仅包含单个样本点的子集2022-8-1312不可能事件：不可能事件：随机随机试验中试验中一定不发生的事件; ;必然事件必然事件 ： 随机随机试验中一定发生的事件试验中一定发生的事件例如：例1中 A“摸取一白球”，B“摸取一黑球”都是随机事件.C“摸取非白且非黑球”为不可能事件.例2中D“在单位时间内电话交换台收到的呼唤次数不超过10次”.必然必然事件就等于样本空间事件就等于样本空间不可能事件是不包含任何样本点的空集不可能事件是不包含任何样本点的空集2022-8-1313(2)掷一颗质量均匀的骰子，观察出现的点数；,21反面正面，6,

8、5, 4, 3, 2, 1例例3 3：(1) 抛掷一枚硬币， 观察正面、反面出现情况；2022-8-1314(3)记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数. ., 2, 1, 0(4)从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况. CCC CZC, CCZ, ZCC,CZZ, ZCZ, ZZC, ZZZ, 则.,次品正品记CZ2022-8-1315注：注：1试验不同, 对应的样本空间也不同. 2同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.如：对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为若观察出现正面的次数, 则样本空间为0,1,2,

9、3. ,.HHHHHTHTH THHHTT TTH THT TTT 2022-8-1316 所以在具体问题的研究所以在具体问题的研究中中 , 描述随机现象的第一步描述随机现象的第一步就是建立样本空间就是建立样本空间.2022-8-13173. 随机事件与集合对应随机事件与集合对应 随机事件：样本空间的一个子集；随机事件：样本空间的一个子集；基本事件：仅包含单个样本点的集合；基本事件：仅包含单个样本点的集合；必然事件：所有样本点组成的集合，即样本空间；必然事件：所有样本点组成的集合，即样本空间；不可能事件：不包含任何样本点的空集。不可能事件：不包含任何样本点的空集。注：注：随机试验、样本空间与随

10、机事件的关系随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间, ,样本空间的样本空间的子集就是随机事件子集就是随机事件. .随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件2022-8-1318三、事件的运算及关系三、事件的运算及关系1. 1. 事件的运算（事件的运算（3 3种）种）(1)(1)事件的并事件的并B)(A“事件事件A和和B至少有一个发生至少有一个发生” 也是一个也是一个事件事件.例如例如 一个盒子中有十个完全相同的球，分别标以一个盒子中有十个完全相同的球，分别标以1, 2, , 10, 从中任取一球从中任取一球.B

11、= “球的标号球的标号3”则则“球的标号为球的标号为1, 2, 3, 4, 6, 8, 10”BAA = “球的标号为偶数球的标号为偶数”2022-8-13191. 1. 事件的关系（事件的关系（4 4种）种）(1)(1)事件的包含事件的包含) BA(“若若A发生，必然导致发生，必然导致B发生发生”B = 球的标号是偶数A = 球的标号为4事件A的发生，必然导致事件B 的发生，故BA (2)(2)事件的相等（事件的相等（A=BA=B）A = 球的标号为偶数如上例中如B = 球的标号为2、4、6、8、10故 A=B.B AB (A) 三、事件的运算及关系三、事件的运算及关系2022-8-1320

12、互斥(3)(3)事件的互不相容事件的互不相容()AB “A、B不能同时发生不能同时发生”B A如 A=“球的标号为偶数”B=“球的标号为5”显然事件A和B不可能同时发生，即,AB 故A和B互不相容（或互斥）.再如 投掷一颗骰子，观察出现的点数.“骰子出现2点”“骰子出现5点”2022-8-1321注：注：;BABAAB可记为则若1o，为互斥;都与不可能事件任何事件2oA:形可列无穷多个事件的情互斥可推广到有限个和3o)1 (njiAAji)1 (jiAAji2022-8-1322球的标号为奇数如 A=球的标号为偶数(4)(4)事件的对立（或互逆）事件的对立（或互逆）若两个互不相容事件A与B中必

13、有一个事件发生,A= ABAA与与B对立对立BAAB,记作.BAAB或结论结论:AA AA AA则称A与B是对立的，注：注：互逆;与不可能事件必然事件1o互斥与互逆的关系;2o2022-8-13232. 2. 事件的运算（事件的运算（3 3种）种）(1)(1)事件的并事件的并B)(A“事件事件A和和B至少有一个发生至少有一个发生” 也是一个也是一个事件事件.例如例如 一个盒子中有十个完全相同的球，分别标以一个盒子中有十个完全相同的球，分别标以1, 2, , 10, 从中任取一球从中任取一球.B = “球的标号球的标号3”则则“球的标号为球的标号为1, 2, 3, 4, 6, 8, 10”BAA

14、 = “球的标号为偶数球的标号为偶数”2022-8-1324推广:( 有限个或可列无穷多个事件的情形)至少有一个发生nAAA,21)(121niinAAAA简记为)(121iiAAA简记为至少有一个发生, nAAA,212022-8-1325(2)(2)事件的交事件的交(AB)AB“事件事件A,B同时发生同时发生”也是一个事件事件.上例中“球的标号为2”B = “球的标号3”A = “球的标号为偶数”(3)(3)事件的差（事件的差（A- -B）ABA发生而发生而B不发生不发生ABAB差积转化公式AAB2022-8-1326事件的关系（事件的关系（4 4种）种）关系关系符号符号集合论集合论Ven

15、n图图概率论概率论BAB AB (A) B AAAAB AA= ,A+A=A包含包含A发生则发生则B发生发生A是是B的的子集子集相等相等A=B互不相容互不相容（互斥）（互斥）事件事件A,B不不能同时发生能同时发生A和和B不相交不相交对立对立（互逆）（互逆）A的补集的补集A发生则发生则B发生，否发生，否则亦然则亦然ABBA且AA发 当 仅 当发生 , 且不 生2022-8-1327关系关系符号符号集合论集合论VennVenn图图概率论概率论BAABAB或或事件的运算（事件的运算（3 3种）种）B AB ABA A B并并交交差差A和和B的的并集并集A和和B的的交集交集A和和B的的差集差集事件事件

16、A,B至少至少有一个发生有一个发生事件事件A,B同时同时发生发生事件事件A发生发生而而B不发生不发生2022-8-1328(1)(1)交换律交换律. ABBA(2)(2)结合律结合律(3)(3)分配律分配律).()(CBACBA.)(ACABCBA3.3.事件运算定律（事件运算定律（4 4种）种）).)()(CABABCA.BAAB ).()(BCACAB2022-8-1329(4)(4)德摩根德摩根( (De morgan) )定律定律.BABAniiniiAA11.11niiniiAA.BAAB意义意义：“A，B至少有一个发生至少有一个发生”的对立事件是的对立事件是“A，B都不发都不发生生

17、”.意义意义：“A，B都发生都发生”的对立事件是的对立事件是“A，B至少有一个不发至少有一个不发生生”.推广推广2022-8-1330(3) 恰好有一个发生例例4 4：CBACBACBACBACBA设有3个事件A, B, C ，试用事件的运算关系(1) 只有A发生(2) 至少有一个发生(4)三个都不发生(5) 至少有一个不发生CBACBA最多有一件事发生最多有一件事发生ACBCAB或ABC或表示以下事件:CBACBACBACBA=2022-8-1331如图所示的电路中，电路开关a, b, c闭合，试用A,B,C表示 “指示灯亮”和“指示灯不亮”.abc解：解： 当“开关a闭合”，且“开关b,

18、c至少有一个闭合”时，“指示灯亮”，即D发生.故)(CBAD 当“开关a未闭合”，与“开关b, c都未闭合”至少有一个事件发生时，“指示灯不亮”，即D发生.故)()(_CBACBAD或)( CBAD例例5:5:设事件A,B,C分别表示且事件D表示“指示灯亮”，2022-8-1332第二节第二节随机事件的频率与随机事件的频率与概率的定义及性质概率的定义及性质一、频率的定义与性质二、概率的定义三、概率的性质基本内容：2022-8-1333例如例如 将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7 遍,观察正面出现的次数及频率.试验序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf5

19、0 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502处处波波动动较较大大2 21 1在在波动最小波动最小随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性处处波波动动较较小小2 21 1在在2022-8-1334著名的统计学家蒲丰、德.摩根、费勒及试验者试验者抛硬币次数抛硬币次数n正面朝上次数正面朝上次数nA频率频率 fn (A)蒲丰蒲丰德德.摩根摩根费勒费勒皮尔逊皮尔逊4 04

20、0409210 00024 0002 0482048497912 0120.506 90.500490.49790.500 5因此皮尔逊进行了抛掷硬币的试验, 得到下面的结果:如:()nfAn的的增增大大1.22022-8-1335若事件A的频率二、概率的定义二、概率的定义nnA(统计统计)定义定义1 1:记P(A)=p.大量重复试验中,其中0 p1,则称p为事件A的概率概率,当试验次数n充分大时，趋向于一常数p， 当试验次数当试验次数n很大时，有很大时，有()().AnnP AfAn 2022-8-1336; 0)(AP; 1)(PkAAA,21kiikiiAPAP11)()(,21AA.

21、)()(11iiiiAPAP,),(AA设试验的样本空间为( (公理化公理化) )定义定义2:2:对于任一随机事件都有确定的实值P(A)， 满足下列性质：(1) 非负性：(2) 规范性：(3) 有限可加性： 对于k个互不相容事件有(3)可列可加性： 对于可列无穷多个互不相容事件有则称P(A)为随机事件A的概率概率.2022-8-1337包含于事件包含于事件(1)(1)不可能事件的概率等于零，即不可能事件的概率等于零，即. 0)(P).(1)(APAP(2)(2)对立事件对立事件A,A(3)(3)若事件若事件,B,BA)()(BPAP(4)(4)对于任一随机事件对于任一随机事件. 1)(AP(5

22、)(5)对于任意两个随机事件对于任意两个随机事件)()()()(ABPBPAPBAP).()()(APBPABP且三、概率的性质三、概率的性质与与有有即即则则有有与与有有A,AA,B, A B B A B AB一般的，任意有()()(,)P B AP B ABP BP ABA B所以，任意有ABB其中2022-8-1338( )若),()(BPAP.BA注：注：性质的逆命题不一定成立的性质的逆命题不一定成立的. .若若 则则 （ ）),(1)(BPAP.BA 若若 或或 则则 或或 （ ）0)(AP, 1)(APA.A则思考思考2022-8-13392 . 0)(, 6 . 0)(, 5 .

23、0)(ABPBPAP)(2)() 1 (BAPBAP）（解:(1)由,BAABB)()()(BAPABPBPABBA由此得)( BAP(2)由于BABA)()(BAPBAP)()()()(ABPBPAPBAP例例6 6. .求已知与且互不相容,则)()(ABPBP4 . 02 . 06 . 0所以9 . 02 . 06 . 05 . 0由)(1BAP1 . 09 . 01B A问在什么条件下P(AB)取得最小值，最小值为多少？2022-8-1340内容小结内容小结理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件的关系与运算.2. 了解概率的统计定义，理解概率的公理化概念，掌握概率的性质，掌握概

24、率的加法公式.2022-8-1341作业作业习题一(P26)：1，3，4，5， 72022-8-1342备用题备用题1. 对某地所有有3个子女的家庭,调查其子女的性别问题, 写出该试验的样本空间.解：1个三都是男孩子2个只有一女孩子3两个只有女孩子4个三都是女孩子故样本空间为1234,. 2022-8-1343 2.在药学系学生中任选一名学生，设事件A=“选出的学生是男生”；B=“选出的学生是二年级学生”；C=“选出的学生是运动员”.(2)在什么条件下，ABC=C成立？(1) 叙述事件ABC的含义.(3)在什么时候，关系成立.BC 解:(1) ABC的含义是“选出的学生是二年级的学生,但他不是

25、运动员”。2022-8-1344(2),CABC ABCCCABC：的充要条件是，ABABC又ABABCC所以ABC=C的充要条件是ABC 即 药学系学生中的运动员都是二年级的男生.(3)当运动员都是二年级的学生时，C是B的子事件.BC成立即2022-8-1345A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销” (1) 以A表示事件“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”,则其对立事件A为（ ）(2) 若A, B为两随机事件, 且 ,BA则下列正确的是（ ）A.P(AB)=P(A) B. P(AB)=P(A)C. P(B)=1-

26、P(A) D. P(B-A)=P(B)-P(A)3. 3. 选择题选择题2022-8-1346 A. A与B互斥 B. AB是不可能事件 C. AB未必是不可能事件 D. P(A)=0 或 P(B)=0答案: (1)D，(2)A，(3)C (3) 设A, B两事件满足P(AB)=0，则（ ）2022-8-13474.4.,)()(qpBPAP )()(APBAP,1)(1PAP 设设A, B不互不相容不互不相容, P(A)=p, P(B)=q, 求求(),(),(),(),().P AB P AB P AB P AB P AB 解解: )(BAP, 0)()( PABP,)()(qBPBAP )(BAP)(BAP.1)(1qpBAP 2022-8-1348请同学们休息片刻请同学们休息片刻！