[理学]第四节-对面积的曲面积分.ppt

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1、一、对面积的曲面积分的概念及性质一、对面积的曲面积分的概念及性质1.引例引例:分割分割: :近似近似: :求和求和: :.),(1 niiiiiSm 取极限取极限: :.),(lim10 niiiiiSm 若曲面形构件若曲面形构件S S是光滑的是光滑的, ,它的面密度为连续它的面密度为连续, , 求它的质量求它的质量. . . ),(zyx 函数函数把把S S分成分成n小块小块iS （iS 也也 表示第表示第i小块曲面的面积小块曲面的面积) ). . oxyz),(iii (其中其中 表示表示 n 小块小块曲面的直径的最大值曲面的直径的最大值)S SiS 2.定义定义. 设设. ),()(),

2、(有界有界光滑曲面光滑曲面S S zyxzyxfuiiiniiSf ),(lim10 Szyxf S Sd),(1) 任意分割任意分割对面积的曲面积分对面积的曲面积分;),( :),( )2(iiiiiiiiSfS 记作记作;, :21nSSS S S(4) 取极限取极限:(3) 求和求和:;),(1 niiiiiSf 第一类曲面积分第一类曲面积分iiiniiSf ),(lim10 S SSzyxfd),( 积分曲面积分曲面面积元素面积元素积分和式积分和式被积函数被积函数.d),( S S Szyxm 据此定义据此定义, 曲面形构件的质量为曲面形构件的质量为3. 性质性质) :.( )3(21

3、S S S S S S如如积积分分曲曲面面可可加加性性),( d ),(),( )2(RSzyxgzyxf S S ;d ),(d ),( S SS S SzyxgSzyxf .d ),(d ),(d ),(21 S SS SS S SzyxgSzyxfSzyxf. 1d )4(的面积的面积S S S SS则对面积的曲面积分存在则对面积的曲面积分存在;),(zyxf若若在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续, (1) 积分的存在性积分的存在性. S SSzyxfd),( yxDyxf),(oxyz定理定理: : 设有光滑曲面设有光滑曲面),(:yxzz S Sf (x, y, z) 在在 上连续上

4、连续,存在存在, 且有且有 S SSzyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122 则则曲面积分曲面积分证明证明: 由定义知由定义知 S SSzyxfd),(iiiiSf ),( ni 10lim yxD),(iii yxi)( S S二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法. xyDxoy 面面的的投投影影为为在在曲曲面面 S SiS 化为二重积分化为二重积分 iSyxyxzyxzyxiyxdd),(),(1)(22 yxiiiyiixzz)(),(),(122 0lim ni 1yxiiiyiixzz)(),(),(122 0lim ni 1yxii

5、iyiixzz)(),(),(122 .dd),(),(1),(22yxyxzyxzyxfyxDyx ),(yxz ),(,(iiiizf ),(,(iiiizf S SSzyxfd),( 而而(S S光滑光滑);,(,( ),(: ),(yxzyxfyxzzzyxf S S.dd 1d22yxzzSyx ; xyDxoy面投影，得面投影，得向向将曲面将曲面S S.dd1),(,d ),(22yxzzyxzyxfSzyxfxyDyx S S),(:. 1yxzz S S则则三换：三换：二代：二代：一投：一投： 解解:面面投投影影，得得向向将将曲曲面面 xoyS S. :222yxaz S S.

6、 :2222hayxDxy ,222yxaxzx .222yxayzy ,d S SzS其中其中 是球面是球面222zyx 被平面被平面)0(ahhz 截出的顶部截出的顶部.2a 例例1. 计算曲面积分计算曲面积分222yxaz hxyzoaaaS SxyDyxyxzyxzSyxdd),(),(1d22 ,222yxaxzx .222yxayzy .dd222yxyxaa S SzSd2221yxa yxyxaaxyDdd 1222 yxyxaadd222 . :222yxaz S S xyDyxyxaazSxyDdd 1d222 S S d 1 22022 haa.ln2haa 2 a220

7、 22)ln(21haa 20da2222 :hayxDxy .20,0:22 haDxy例例2.解解I:面面投投影影，得得向向将将曲曲面面 , 21xoyS SS S21S S S S S S. :222ayxDxy S SS S 21d)(d)(222222SzyxSzyx原式原式 . . : , )( 2222222azyxzyx S S S S其其中中计计算算, :2221yxaz S Sxyzoaaa. :2222yxaz S S1S S2S SxyDyxyxzyxzSyxdd ),(),(1d22 yxyxaayxayxxyDdd)(222222222 .dd222yxyxaa y

8、xyxaayxayxxyDdd )(222222222 原原式式yxyxaaxyDdd 122223 d 1d2022203 aaa.44 a Szyxd )(222 S S .44a Sa d 2 S S 2 24 aa 2222 :azyx S SSad 12 S S 解解II:xyzoaaa解解: :.4321S S S S S S S S S Sxyzo1111S S2S S3S S4S S.10, 0, 0,d边边界界曲曲面面所所围围成成的的四四面面体体的的整整个个及及是是由由平平面面其其中中计计算算 S S S SzyxzyxSxyz例例3. S SSxyzd .dd43 S SS

9、 S SxyzSxyz S SS S 21ddSxyzSxyz, 0:1 S Sx;0d0d11 S SS SSyzSxyz, 0:3 S Sz, 0d0d33 S SS SSxySxyzxyzo1111S S2S S3S S4S S, 0:2 S Sy; 0d0d22 S SS SSzxSxyz S SSxyzd .dd43 S SS S SxyzSxyz S SS S 21ddSxyzSxyz, 0:1 S Sx;0d0d11 S SS SSyzSxyz.1:4yxz S S面面投投影影，得得向向将将曲曲面面 4xoyS S.1010 : xxyDxyyxyxzyxzSyxdd ),(),

10、(1d22 .dd 3yx xyzo1111S S2S S3S S4S SSxyzSxyzd d 4 S SS S S S4d Sxyz xyDyyxxyxd )1(3 10 .1203 10dxyxdd3 )1(yxxy 计计算算所所截截的的部部分分被被锥锥面面为为球球面面曲曲面面, 222222yxzazyx xozy例例4.d)(22 S S SyxI解解: 22222yxazyxz. :222yxaz S S，投影柱面：投影柱面：消消22221 ayxz .21 222ayxDyx ：yxD yxDyx)(22 dd202222021 aaa).258(614 a 222yxaa yx

11、dd S S SyxId)( 22.21 222ayxDyx ：,:222yxaz ).1(0)(21,d 22 S S S SzyxzSz为为抛抛物物面面其其中中曲曲面面计计算算例例5.解解: S SyxDyxyxzzyxSzdd1)(21d2222 d1d21202320 .354 tttd)1(3022 21 t令令2o1zyx12:22 yxDxyxyD xyDyxyxyxdd1)(212222解解:.255,d)(22所所截截得得的的部部分分被被柱柱面面为为平平面面其其中中计计算算 S S S SyxzySzyx,5:yz S S.25 :22 yxDxOyxy面面上上的的投投影影区

12、区域域在在yxzzSyxdd1d 22 yxdd)1(012 yxdd2 例例6 S S Szyxd)( xyDyxyyxdd)5(2 xyDyxxdd)5(2 d)cos5(25020 d.2125 .2050 : xyDoyxz2 在在 xoy 面上的投影域为面上的投影域为. 2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22 yxyxdd)(4122 S S SAd d41d20220 .313 2xyD)(2:22yxz S S例例7. 求抛物面求抛物面在在 xoy 面上面上方方部分的面积部分的面积. .解解: :yxyxdd)( 4122 xyD);),(,( ),(: ),(zzxyx

13、fzxyyzyxf S S.dd 1d22zxyySzx ; xzDxoz面面投投影影，得得向向将将曲曲面面S S.dd1),(,d ),(22zxyyzzxyxfSzyxfxzDzx S S),(:. 2zxyy S S曲曲面面则则三换：三换：二代：二代：一投：一投：另外两种情形另外两种情形: :);,),( ),(: ),(zyzyxfzyxxzyxf S S.dd 1d22zyxxSzy ; yzDyoz面面投投影影，得得向向将将曲曲面面S S.dd1,),(d ),(22zyxxzyzyxfSzyxfyzDzy S S),(:. 3zyxx S S曲曲面面则则三换：三换：二代：二代：一

14、投：一投：.0 ,d1 222222RyxHzzSzyx S S S S间的圆柱面间的圆柱面及及是界于是界于其中其中计算计算, :221yRx S S得得面面投投影影向向将将, , 21yozS SS S,21S S S S S S.0 : HzRyRDyz例例8.xyzoR RH解：解：. :222yRx S S S SS S 1d12d1 222222SzyxSzyx22222)(1zyyR yzD2 yzD2221zR zyxxzydd 122 zyyRRdd22 由对称性，由对称性， RRyyRRd22zzRHd 1 2022 .arctan2RH HRzR0arctan1 2 RRR

15、yR arcsin附附: : 利用轮换对称性简化第一类曲面积分利用轮换对称性简化第一类曲面积分 对对称称，面面关关于于直直线线所所谓谓轮轮换换对对称称性性是是指指曲曲zyx . ,323 仍仍与与原原曲曲面面重重合合弧弧度度后后或或旋旋转转即即将将曲曲面面绕绕直直线线 zyx. , 1 2222Rzyxzyx 例例如如:0),( ,具具有有如如下下特特征征则则其其方方程程若若曲曲面面具具有有轮轮换换对对称称性性 zyxF. , , ),( 的的表表达达式式不不会会改改变变的的位位置置任任意意互互换换中中变变量量将将FzyxzyxF. , ),( ,积分值不会改变积分值不会改变无论怎样互换无论怎

16、样互换变量变量中的中的则被积函数则被积函数若曲面具有轮换对称性若曲面具有轮换对称性zyxzyxf轮换不变性轮换不变性 若曲面若曲面有轮换对称性有轮换对称性, , 则曲面上的第一类曲则曲面上的第一类曲面积分有轮换不变性面积分有轮换不变性. . S SS SS S SxzyfSyxzfSzyxfd),(d),(d),(.dd)( )0, 0, 0( 1 S SS S SxSyxzyxzyx与与求求设设曲曲面面例例9.解解: , 1 有轮换对称性有轮换对称性曲面曲面 zyx由积分的轮换不变性知由积分的轮换不变性知,ddd S SS SS S SzSySx S S Syxd)( , 0dd S SS

17、SSySx S SS S SzyxSx)d(31d S S Sd31.6323222131 思考思考: : 设设 是四面体是四面体0,0,0,1 zyxzyx的表面的表面, 计算计算.d)1(12SyxI S S 解解: 在四面体的四个面上在四面体的四个面上yxz 1yxdd3xyxDyx 10,10:1zyx11o0 zyxdd0 yxzddzxzDxz 10,10:0 xzyddzyzDzy 10,10:同上同上平面方程平面方程Sd投影域投影域yyzzd)1(1d10210 xxzzd)1(1d10210 2ln)13(233 yyxxIxd)1(1d)13(10210 作业作业P219: 4 (3); 5 (1); 6 (1) (3) (4).34 结束语结束语