最新同济大学高等数学课件D37曲率PPT课件.ppt

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1、一、一、 弧微分弧微分)(xfy 设在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,弧长)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxAB)(xfy abxoyxMxxMy1lim0MMMMx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线,且 l R. 处的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:,0时当lxRl20 xlRy1 yK xlR1显然;00 xKRKlx

2、1221xlRy RByox361xlRy l例例3. 求椭圆tbytaxsincos)20(t在何处曲率最大?解解:故曲率为 ba23)cossin(2222tbta;sintax;costby taxcos tbysin 23)(22yxyxyxK K 最大tbtatf2222cossin)(最小机动 目录 上页 下页 返回 结束 ttbttatfsincos2cossin2)(2tba2sin)(22求驻点: 的导数数表示对参tx ,0)( tf令,0t得,2,232,设tbatf2sin)()(22t)(tf022322b2b2a2b2a从而 K 取最大值 .这说明椭圆在点,0ab 时

3、则2,0t)0,(a处曲率机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算驻点处的函数值:yxbaba,)( 取最小值tf最大.三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径Tyxo),(DR),(yxMC设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线KRDM1把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使机动 目录 上页 下页 返回 结束 设曲线方程为, )(xfy 且,0 y求曲线上

4、点M 处的曲率半径及曲率中心),(D设点M 处的曲率圆方程为222)()(R故曲率半径公式为KR1 23)1 (2yy 满足方程组,222)()(Ryx),(在曲率圆上yxM)(MTDM yyx的坐标公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 TCyxo),(DR),(yxM由此可得曲率中心公式yyyx )1 (2yyy 21(注意y与y 异号 )当点 M (x , y) 沿曲线 )(xfy 移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线渐屈线 ,相应的曲率中心Cyxo),(yxM),(DRT曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线渐伸线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 屈线的参

5、数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停例例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?解解: 设椭圆方程为tbytaxsincos),20(abx由例3可知, 椭圆在)0,( aoyx处曲率最大 ,即曲率半径最小, 且为 R23)cossin(2222tbtaba0tab2显然, 砂轮半径不超过ab2时, 才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.ab例3 目录 上页 下页 返回 结束 ( 仍为摆线 )sin( a)cos1 ( a例例5. 求摆线)cos1 ()sin(tayttax的渐屈线方程 . 解解:xyy,cos1sint

6、txyyt)(dd 2)cos1 (1ta代入曲率中心公式 ,)sin(tta) 1(cos ta得,t令aa2摆线 目录 上页 下页 返回 结束 yoxMo摆线摆线半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时 ,点击图中任意点动画开始或暂停Moyxta其上定点 M 的轨迹即为摆线 .)sin(ttax)cos1 (tay参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 弧长微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs2. 曲率公式sKdd23)1 (2yy 3. 曲率圆曲率半径KR1yy 23)1 (2曲率中心yyyx )1 (2yyy 21机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答答: 有公切线 ;凹向一致 ;曲率相同.2. 求双曲线1yx的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小?解解:,12xy,23xy 则 R23)1 (2yy 234)1 (1x32x232)(1221xx 利用baba2222.21为最小值显然xR机动 目录 上页 下页 返回 结束 11yox作业作业第八节 目录 上页 下页 返回 结束 P175 4 ； 5 ； 7 ； 8 ； 9 21 结束语结束语