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1、31 n维向量组及其线维向量组及其线性相关性性相关性教学要求:教学要求:1. 理解理解n维向量的概念维向量的概念;2. 理解向量组线性相关、线性无关的定义,了解并理解向量组线性相关、线性无关的定义,了解并 会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论;3. 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概 念,会求向量组的极大线性无关组和向量组的秩念,会求向量组的极大线性无关组和向量组的秩;4. 了解向量组等价的概念,了解向量组的秩与矩阵了解向量组等价的概念,了解向量组的秩与矩阵 秩的关系秩的关系. .向量组与矩阵向量
2、组与矩阵一一 .向量组的线性相关性向量组的线性相关性二二 .向量组间的关系向量组间的关系三三 .向量组的最大无关组向量组的最大无关组四四 .向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩五五 .向量组与矩阵向量组与矩阵一一1. n维向量及其表示法维向量及其表示法 .,21维维向向量量所所组组成成的的有有序序数数组组称称为为个个数数naaann),(21nTaaaa naaaa21 维向量写成一行,称为维向量写成一行,称为行向量行向量,也就是行,也就是行矩阵,通常用等表示,如:矩阵,通常用等表示,如: TTTTba,n 维向量写成一列,称为维向量写成一列,称为列向量列向量,也就是列,也就是列矩阵,通常
3、用等表示,如:矩阵,通常用等表示,如: ,ban注意注意:(1) 行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的向量两个不同的向量;(2) 行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算进行运算;(3) 当没有明确说明是行向量还是列向量时当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作都当作列向量列向量. 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如维列向量维列向量个个有有矩阵矩阵mnaijAnm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111
4、211a1. , , 的的列列向向量量组组称称为为矩矩阵阵向向量量组组Aa1a2ana2ajana1a2ajan2. 矩阵用行矩阵用行(列列)向量组表示向量组表示维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 , , , 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm 反之,由有限个向量所组成的向量组可以构反之,由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.矩矩阵阵构构成成一一个个组组维维列列向向量量所所组组成成的的向
5、向量量个个mnnmm , 21 矩阵矩阵构成一个构成一个的向量组的向量组维行向量所组成维行向量所组成个个nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA .向量组的线性相关性向量组的线性相关性二二1. 线性组合线性组合考察方程组考察方程组 bxaxaxabxaxaxabxaxaxanmnmnnmmmm22112222212111212111看成向量有看成向量有 21221122221211212111 bbbxaxaxaxaxaxaxaxaxanmnmnnmmmm 2121222122121111 bbbaaaaaaaaannmmmmnnxxx即即1 2 m mmxxx 2211
6、 得得 ., 2121线性表示线性表示可由可由称称存在存在若若mmxxx 定义定义1:mmkkk 2211,使使得得,一一组组数数如如果果存存在在和和向向量量对对于于给给定定向向量量组组mmkkkA, ,:2121 ,21的的线线性性组组合合是是则则称称m .,21线性表示线性表示可由可由或或m .,21叫做线性组合的系数叫做线性组合的系数,mkkk ., , 2121线性表出线性表出不能由不能由则称则称,如果不存在这样的如果不存在这样的mmkkk ),( . 121都都能能由由维维向向量量证证明明任任一一 naaanex )1 , 0 , 0()0 , 1 , 0()0 , 0 , 1(21
7、n 基本单位向量组基本单位向量组线性表示线性表示, 且且表示方式唯一表示方式唯一.Solution. 2211nnkkk 设设 100010001 2121 nnkkkaaa即即 21 nkkk ,2211nnakakak . 2211nnaaa 结论结论1. 任一向量可由同维的基本单位向量组线性表示任一向量可由同维的基本单位向量组线性表示, 其表出系数依次为该向量的各个分量其表出系数依次为该向量的各个分量. 结论结论2. 零向量可由任一向量组线性表示零向量可由任一向量组线性表示. 结论结论3. 向量组中任一向量可由该向量组线性表示向量组中任一向量可由该向量组线性表示. 结论结论4. 若若 可
8、由向量组可由向量组 的部分向量的部分向量线性表示线性表示, 则则 可可由向量组由向量组 线性线性表示表示. 2. 线性相关与线性无关线性相关与线性无关定义定义2:0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组则称向量组则称向量组 是线性相关的,否则称它线性无关是线性相关的,否则称它线性无关A注意:注意:.0 ,0, (1)221111成成立立才才有有时时则则只只有有当当线线性性无无关关若若 nnnnkkkkk ., (2)性性无无关关就就是是线线性性相相关关不不是是线线对对于于任任一一向向量量组组定理定理1. .1,)1(,
9、2121个个向向量量线线性性表表示示余余至至少少有有一一个个向向量量可可由由其其中中线线性性相相关关 mmmm 证:证:,)1(,21线线性性相相关关若若 mm ,0 ,022111 mmkkkk 不不妨妨设设. 12121mmkkkk 则则, 221mm 设设,0 221 mm 则则, 0 , 1 2不不全全为为且且m .,21线线性性相相关关故故m 结论结论1. 一个向量线性相关一个向量线性相关. 结论结论2. 两个向量线性相关两个向量线性相关对应分量成比例对应分量成比例. 结论结论3. 含有零向量的向量组线性相关含有零向量的向量组线性相关. ex2. 证明证明n个个n维基本单位向量是线性
10、无关的维基本单位向量是线性无关的. Proof. , 0 2211 nnxxx 设设, 0100010001 21 nxxx即即. 0 21为为唯唯一一零零解解解解得得 nxxx .2 ,2 ,)2( ;,)1( , . 3232131133221321线线性性相相关关线线性性无无关关证证明明线线性性无无关关设设 exProof. 0)()()( )1(133322211 xxx设设 0)()()( 323212131 xxxxxx即即 ,321线性无关线性无关 则则 031 xx 021 xx 032 xx .,321只有唯一零解只有唯一零解xxx .,133221线线性性无无关关故故 0)
11、2()2()( )2(233212311 xxx设设 0)2()()2( 313232121 xxxxxx即即 ,321线性无关线性无关 则则 0221 xx 032 xx 0231 xx .,321有非零解有非零解xxx .2 ,2 ,232131线性相关线性相关故故 另解另解 )2()(22233121 所以结论成立所以结论成立. .向量组间的关系向量组间的关系三三定义定义3. .,: ,:2121线线性性表表示示可可由由向向量量组组称称向向量量组组线线性性表表示示,则则向向量量组组组组中中的的每每个个向向量量都都能能由由如如果果及及维维向向量量组组设设有有两两个个BABABAnsr .
12、向向量量组组等等价价这这两两个个能能相相互互线线性性表表示示,则则称称与与向向量量组组若若向向量量组组BA向量组向量组A与与B等价具有反身性,对称性和传递性等价具有反身性,对称性和传递性. 定理定理2. . , ,:,:2121srABABAsr 则则组组线线性性无无关关且且组组线线性性表表示示组组能能由由如如果果和和设设有有向向量量组组 证明从略证明从略.结论结论1. ., ,:,:2121线线性性相相关关则则向向量量组组且且组组线线性性表表示示组组能能由由如如果果和和设设有有向向量量组组AsrBABAsr 结论结论2. 等价的线性无关向量组含有相同个数的向量等价的线性无关向量组含有相同个数
13、的向量.结论结论3. n k个个n维向量必线性相关维向量必线性相关.定理定理3. ., ,212121唯唯一一线线性性表表示示能能由由则则线线性性相相关关而而线线性性无无关关设设mmm 证:证:, ,21线线性性相相关关 m使使得得的的数数故故存存在在不不全全为为121,0 mmkkkk, 2211mm 设设,012211 mmmkkkk, 01 mk必必有有 .1212111mmmmmkkkkkk 从从而而,2211mm ,0)()()(222111 mmm 从从而而.,2211mm 定理定理4. .,12121也也线线性性相相关关则则线线性性相相关关若若mrrr 证:证:, ,21线线性性
14、相相关关r 使使得得的的数数故故存存在在不不全全为为rkkk,021, 02211 rrkkk , 000 12211 mrrrkkk 从从而而 . 0 0 , 0 , 21不不全全为为其其中中rkkk .组组向量组的最大无关向量组的最大无关四四考察向量组考察向量组)1 , 1 , 1 , 1(1 )0 , 0 , 1 , 1(2 )1 , 1 , 0 , 0(3 )0 , 1 , 1 , 0(4 ;,4321都线性无关都线性无关单个向量单个向量 ;,423114433221线线性性无无关关两两个个向向量量 ,321线性相关线性相关三个向量三个向量 ;,432431421线线性性无无关关而而
15、.,04321线性相关线性相关四个向量有四个向量有 定义定义4., ,)2( ,)1( ,21212121的的一一个个最最大大无无关关组组是是则则称称线线性性相相关关总总有有线线性性无无关关如如果果满满足足个个向向量量中中是是维维向向量量组组成成的的向向量量组组是是设设TTrTnTrrrr 结论结论1. 最大线性无关组不唯一最大线性无关组不唯一. 结论结论2. 向量组与任一个最大线性无关组等价向量组与任一个最大线性无关组等价. 结论结论3. 向量组的任两个最大线性无关组等价向量组的任两个最大线性无关组等价. 结论结论4. 一个向量组中一个向量组中, 任意两个最大无关组所含向量任意两个最大无关组
16、所含向量的个数相同的个数相同. .向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩五五定义定义5. 向量组向量组T 中最大线性无关组所含向量的个数叫做中最大线性无关组所含向量的个数叫做向量组向量组T 的秩的秩. 记为记为rank(T).如果向量组如果向量组T 只含零向量只含零向量, 规定规定rank(T). 注意:注意:(1) rank(T)是唯一的是唯一的. (2) 等价的向量组有相同的秩等价的向量组有相同的秩. 定理定理3. .),(,:2121的的秩秩矩矩阵阵的的秩秩等等于于向向量量组组mmAT 证明从略证明从略.求向量组的秩与最大无关组的方法求向量组的秩与最大无关组的方法: 将向量组的每一个向
17、量写成列向量得一矩阵将向量组的每一个向量写成列向量得一矩阵, 用初等用初等行变换行变换求出其求出其阶梯形阶梯形矩阵矩阵, 矩阵的秩即为向量组的秩矩阵的秩即为向量组的秩. 由观察法可得出阶梯形矩阵中的最大无关组由观察法可得出阶梯形矩阵中的最大无关组, 则在原则在原矩阵中相应的列构成原向量组的最大无关组矩阵中相应的列构成原向量组的最大无关组. .)1, 2 , 2, 1( )1 , 0 , 3 , 1(),2, 0 , 4, 2( )1 , 1 , 0 , 0(),0 , 1, 2 , 1( . 454321的的秩秩及及一一个个最最大大无无关关组组求求 exSolution. ,54321作作为为
18、矩矩阵阵的的列列得得将将 11210200112340211201A 11210112100100011201 00000010001121011201 , 3)(54321 rank ., ,451431421等等最最大大无无关关组组有有 .),max( .,: ,: ,:. 5213213112111rrrrrrCrBrAextsts 证证明明的的秩秩为为向向量量组组的的秩秩为为向向量量组组的的秩秩为为设设向向量量组组 Proof. ,:111riisA 的最大无关组为的最大无关组为设设,:211riitB 的的最最大大无无关关组组为为,:3111riitsC 的的最最大大无无关关组组为为
19、,211131线线性性表表示示可可由由rrriiiiii . 213rrr 故故,3111线线性性表表示示可可由由又又rriiii 31rr 故故,3121线线性性表表示示可可由由rriiii 32rr 故故).,max( 213rrr 从而从而.),max(21321rrrrr ., ),(),( . 611111的的最最大大无无关关组组的的最最大大无无关关组组也也是是证证明明已已知知mtmtttrankrankex Proof. ),(),( 11rrankrankmt 设设 ,),(, 11的的一一个个最最大大无无关关组组是是设设tiir ., ),(11线性相关线性相关则有则有riik
20、mk 事实上,事实上, ,),(, 11的的一一个个最最大大无无关关组组是是不不妨妨设设mr ., 11线线性性表表示示可可由由则则riikr ,1 rr 又又 ., 1线性相关线性相关riik .),(, 11的的最最大大无无关关组组也也是是从从而而miir 定理定理5.即即所所构构成成维维向向量量组组由由矩矩阵阵设设, , 2 , 1 ),(21niaaanAnminiii mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 .)(,21mArm 是是线线性性相相关关的的充充要要条条件件则则向向量量组组 证明从略证明从略. 结论结论. .)()(,21方方阵阵满满秩秩为为降降秩秩的的
21、充充要要条条件件是是方方阵阵线线性性无无关关线线性性相相关关维维向向量量个个Annn 定理定理6. .),()(,2121mranknmnmmm 线线性性无无关关维维向向量量个个Proof. ,21线线性性无无关关m 即为最大无关组即为最大无关组, .),(21mrankm ,),(21mrankm .,21线线性性无无关关则则m 定义定义6. 矩阵矩阵A的行向量组的秩的行向量组的秩, 称为称为A的行秩的行秩; 矩阵矩阵A的列向量组的秩的列向量组的秩, 称为称为A的列秩的列秩.结论结论. A的行秩的行秩 A的列秩的列秩 A的秩的秩. 定理定理7., ),(),(21212121线线性性无无关关个个列列向向量量中中对对应应的的无无关关的的充充要要条条件件是是它它们们线线性性个个列列向向量量中中是是行行变变换换得得到到矩矩阵阵经经有有限限次次初初等等设设矩矩阵阵rriiiiiimmrBrABA Proof. ,BPAP 使使存存在在可可逆逆阵阵.iiP 使使得得的的数数不不全全为为若若rkkk,021 02121 ririikkk 0 11 riikkr 即即 , 011 riikkPr 011 riikkPPr 011 riikkr 0 11 ririkk 即即以上各步可逆以上各步可逆, 且相关与无关为逆否命题且相关与无关为逆否命题. 故结论成立故结论成立.
限制150内