5 极限存在法则 两重要极限.ppt

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1、5 极限存在法则极限存在法则 两重两重要极限要极限 数学分析（上）数学分析（上）准则准则 I( (函数的夹逼准则函数的夹逼准则) ) 如果如果（1）当当 时时 , ,有有 )()()(xhxfxg （2）Axgxx )(lim0则则 存在存在, , 且且),(0rxUxo Axhxx )(lim0)(lim0 xfxx Axfxx )(lim002limxxx 数学分析（上）数学分析（上）两个两个重要极限重要极限1sinlim0 xxxAC)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的

2、切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 ,tansinxxx 数学分析（上）数学分析（上）1sincos xxx即即 201cos2sin2xx 22222xx 因为因为所以所以 即即 0)cos1 (lim0 xx1coslim0 xx因而因而1sinlim0 xxx证证 因为因为 是偶函数，所以只讨论是偶函数，所以只讨论 x0 当当 时时, ,有有20 xxxxtansin0 sin xx 数学分析（上）数学分析（上）例例5 求求 .xxxtanlim0解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxxxcos1limsinlim00 1 例例

3、6 求求 .20cos1limxxx 解解 20cos1limxxx 2202sin2limxxx 22022sinlim21 xxx2022sinlim21 xxx21 数学分析（上）数学分析（上）例例7 求求 .0coslim2xxx 数列数列 nx单调增加单调增加 , ,若若 nxxx21单调减少单调减少 , ,若若 nxxx21准则准则( (单调有界收敛准则单调有界收敛准则) )单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. .x1x2x3x1 nxnx几何解释几何解释: :AM 数学分析（上）数学分析（上）确界与确界存在定理确界与确界存在定理定义定义 对于数集对于数集A，若数，若数 s

4、满足满足：则称则称 s 是是A的的上确界上确界(或最小上界或最小上界). 记作记作 supA.注注 上确界就是最小的上界。上确界就是最小的上界。 上确界与最大值的区别上确界与最大值的区别: :最大值必须含于数集中。最大值必须含于数集中。若若A有最大值有最大值, , 则它就是则它就是A的上确界。反之未必。的上确界。反之未必。00(1)(2)0,.xAxsxAxs ，都都有有；使使得得 数学分析（上）数学分析（上） 上确界若存在，则必唯一上确界若存在，则必唯一.确界存在定理确界存在定理 任一非空有上界的数集必有上确界任一非空有上界的数集必有上确界. 下确界记为下确界记为 inf A.下下下下注注:

5、单调递增有上界的数列单调递增有上界的数列,其极限就是数列的上确界其极限就是数列的上确界.若数集若数集A没有上界没有上界, 则规定则规定supA=+.下下infA=.确界存在定理仅对实数集成立。确界存在定理仅对实数集成立。 数学分析（上）数学分析（上）例例8.)(333的的极极限限存存在在式式重重根根证证明明数数列列nxn 证证,1nnxx 显显然然 ;是是单单调调递递增增的的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nxAxnn设为存在.lim,32AA 2131,2131 AA解解得得( (舍去舍去) ).2131lim nnx 数学分析（上）数

6、学分析（上）lim sin(sinsin)nnx 12122,2,2.nanaaa nnalim1lim(1)nnn 数学分析（上）数学分析（上）先证数列单调增先证数列单调增: :设设 , ,nnnx 11则则nnnnnnnnnnnnnx1!)1()1(1! 2)1(1! 112 nnnnnn112111!111!2111所以所以 111121111!1111! 2111nnnnnn 1nx 11121111!11nnnnn 数学分析（上）数学分析（上）比较得比较得: ,: ,1 nnxx即即 为单调递增数列为单调递增数列. . nx又注意到又注意到: :!1! 31! 2111nxn 所以所

7、以 为单调递增有界数列为单调递增有界数列. . nxnnn 11lim存在存在. .1111132 13 2(1)n n 数学分析（上）数学分析（上）下面证明下面证明: :ennn )11(lim记记为为)71828. 2( e1lim() .1nnnn lim()4nnnana ，. a43lim(1)nnn 1lim (1).xxex 数学分析（上）数学分析（上）,1时时当当 x 1xxx ，,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111 (lim)111 (lim)111 (lim xxxxxxxx, e

8、 .)11(limexxx 数学分析（上）数学分析（上）,xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim 数学分析（上）数学分析（上）例例10.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原原式式.1e 例例11.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 数学分析（上）数学分析（上） xxxx193lim xxxx193l

9、im xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e解：解：例例12 求求准则准则( (单调函数的极限单调函数的极限) )设设 f 定义在定义在a，b上单调，则上单调，则对任一点对任一点xO（a a，b b）都存在左、右极限。在）都存在左、右极限。在a处存在右处存在右极限，在极限，在b处存在左极限。处存在左极限。 数学分析（上）数学分析（上）limn 数学分析（上）数学分析（上）1(0,).n 数学分析（上）数学分析（上）m,nN ，.mnaa 0 ，, NN na 数学分析（上）数学分析（上）lim0,nnaaNN ,m nN .mnaa 准则准则lim0,nnaa

10、NN nN pN .npnaa 数学分析（上）数学分析（上）2221111,23nan na准则准则0, 0)(lim0 Axfxx),(,00 xUxx .)()( xfxf 数学分析（上）数学分析（上） 数学分析（上）数学分析（上）XT._3cotlim40 xxx、一、填空题一、填空题: :._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、练练 习习 题题._cotlim30 xxx、arc 数学分析（上）数学分析（上）xxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各极限二、求下列各极限: :nnnn)11(lim42 、