《高数》下册第十二章练习题.doc

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1、第十二章 无穷级数习题 12-11. 写出下列级数的前五项（1）（2）（3）（4）2. 写出下列级数的的一般项（1）（2）（3）（4）3. 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性（1）（2）（3）4. 判定下列级数的收敛性（1）（2）（3）（4）（5）5. 利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性（1）（2）（3）（4）习题 12-21. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性（1）（2）（3）（4）（5）2. 用比值审敛法判定下列级数的收敛性（1）（2）（3）（4）3. 用极值审敛法判定下列级数的收敛性（1）（2）（3）（4）4. 判定下列级数的收敛性（1）（2）（3）（4

2、）（5）（6）5. 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？（1）（2）（3）（4）（5）习题 12-31. 求下列幂级数的收敛区间（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2. 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数（1）（2）（3）习题 12-41. 求函数的泰勒级数，并验证它在整个数轴上收敛于这函数2. 将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间（1）（2）（3）（4）（5）（6）3. 将下列函数展开成（x-1）的幂级数，并求展开式成立的区间（1）（2）4. 将函数展开成的幂级数5. 将函数展开成（x-3）的幂级数6. 将函数展开成(x+4)的幂级数习

3、题12-51. 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值（1） ln3（误差不超过0.0001）（2） （误差不超过0.001）（3） （误差不超过0.00001）（4） （误差不超过0.0001）2. 利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值（1）（2）3. 试用幂级数求下列各微分方程的解（1）（2）（3）4. 试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解（1）（2）5. 利用欧拉公式将函数展开成x的幂级数习题 12-61. 已知函数序列在上收敛于0（1） 问取多大，能使当nN,与其极限之差的绝对值小于正数（2） 证明在任一有限区间a,b上一致收敛2. 已知级数在上收敛（1） 求出该级数

4、的和（2） 问取多大，能使当nN时，级数的余项的绝对值小于正数（3） 分别讨论级数在区间上的一致收敛性3. 按定义讨论下列级数在所给区间上的一致收敛性（1）（2）4. 利用威尔斯特拉斯判别法证明下列级数在所给区间上的一致收敛性（1）（2）（3）（4）（5）习题 12-71. 下列周期函数的周期为，试将展开成傅里叶级数，如果在上的表达式为（1）（2）（3）2. 将下列函数展开成傅里叶级数（1）（2）3. 将函数展开成傅里叶级数4. 设是周期为的周期函数，它在上的表达式为 将展开成傅里叶级数5. 将函数展开成正弦级数6. 将函数分别展开成正弦级数和余弦级数7. 设周期函数的周期为.证明（1） 如果

5、，则的傅里叶系数（2） 如果，则的傅里叶系数习题 12-81. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数（下面给出函数在一个周期内的表达式）（1）（2）（3）2. 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数（1）（2）3. 设f(x)是周期为2的周期函数，它在-1,1）上的表达式为。试将展开成复数形式的傅里叶级数。4. 设u(t)是周期为T的周期函。已知它的傅里叶级数的复数形式为（参阅本节例题） 试写出u(t)的傅里叶级数的实数形式（即三角形式）总习题十二1. 填空（1） 对级数，是它收敛的-条件，不是它收敛的-条件（2） 部分和数列有界是正项级数收敛的-条件（3） 若级数绝对收敛，则级数必定-；若级数条件收敛，则级数必定-。2. 判定下列级数的收敛性（1）（2）（3）（4）（5）3. 设正向级数和都收敛，证明级数也收敛4. 设级数收敛，且。问级数是否也收敛？试说明理由。5. 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性（1）（2）（3）（4）6. 求下列极限（1）（2）7. 求下列幂级数的收敛区间（1）（2）（3）（4）8. 求下列幂级数的和函数（1）（2）（3）（4）9. 求下列数项级数的和（1）（2）10. 将下列函数展开成x的幂级数（1）（2）11. 设f(x)是周期为的函数，它在上的表达式为 将f(x)展开成傅里叶级数12. 将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。