大学物理课件 运动的守恒定律 (2).ppt

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1、大学物理,大学物理教研组,华南理工大学,电子教案,目录,编写：李绍新 文德华 范素芹 卢义刚 赵纯,三大守恒定律,力学,动量守恒 机械能守恒 角动量守恒,本章教学要求： 掌握牛顿三定律及其适用条件。能用微积分方法求解一维 变力作用下简单的质点动力学问题。 掌握功的概念，能计算直线运动情况下变力的功。理解保 守力作功的特点及势能的概念，会计算重力、弹性力和万 有引力势能。 掌握质点的动能定理和动量定理，通过质点在平面内的运 动情况理解角动量（动量矩）和角动量守恒定律，并能用 它们分析、解决质点在平面内运动时的简单力学问题。掌 握机械能守恒定律、动量守恒定律，掌握运用守恒定律分 析问题的思想和方法

2、。,本章重点： 牛顿三定律，械能守恒定律，动量守恒定律，角动量守恒定律 本章难点： 用微积分方法求解一维变力作用下简单的质点动力学问题。 系统的势能，三大守恒定律。,下一页,上一页,第3章 三大守恒定律,3-5 势能 功能原理 机械能守恒,3-7 对称性 守恒定律,返回总目录,3-6 角动量定理 角动量守恒定律,3-1冲量 质点与质点系的动量定理,3-2 动量守恒定律,3-3 质心运动定理 两体碰撞,3-4 功 动能和动能定理,3-8 质点力学定律的综合应用,3-1冲量 质点与质点系的动量定理,微分形式的牛顿第二定律是关于力与加速度的瞬时关系，但力对物体的作用总要延续一段时间，在这段时间内，力

3、的变化复杂，难以细究。某些情况下，并不需要考虑中间过程，只需考虑力作用的总效果。可以由几个状态求解问题。这时候，采用积分形式的牛顿第二定律更有效。这就是动量定理与动能定理。,3-1-1 冲量 质点的动量定理,重写牛顿第二定律的微分形式,考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分,航天飞机,下一页,上一页,左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。,于是得到积分形式,这就是质点的动量定理：物体在一段时间中所受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。,下一页,上一页,冲量,下一页,上一页,动量定理的几点说明：,(1)冲量的方向：,冲量 的方向一般不是某一瞬时力 的方向，而是由 所决定。,(2)在直角坐标

4、系中的投影式（分量式）,下一页,上一页,(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。,打击或碰撞，力 的方向保持不变，曲线与t轴所包围的面积就是t1到t2这段时间内力 的冲量的大小，根据改变动量的等效性，得到平均力。,用平均力代替变力,下一页,上一页,下一页,上一页,下一页,上一页,水平方向速度v0不变，竖直方向质点做匀加速-g运动,B点：,B点：,水平方向速度v0/2不变，竖直方向质点做匀加速-g运动,下一页,上一页,说明地面给小球的力在第二象限，也说明地面在这一区域不是水平的，是有点倾斜的。,例31 垒球m=0.3kg，初速v1=20m/s，沿水平，被棒打击后v2=30m/s，方向 ，求

5、垒球受棒打击力，设球和棒接触时间0.01s。,解：忽略碰撞过程的重力作用,方法一：用分量式求解,下一页,上一页,下一页,上一页,棒对垒球作用力的方向,方法二：用矢量图解法,根据余弦定理,根据正弦定理,下一页,上一页,例3-3质量为m=30kg的铁锤（彩电）从1m高处由静止下落，碰撞后末速度为0，（1）若碰撞时间为 ，计算铁锤对被加工锻件的平均冲力。（2）加上包装的彩电与地面碰撞时间 ，求彩电受到的平均冲力。,下一页,上一页,（1）被加工锻件对铁锤的 平均冲力 为,（2）彩电受地面的平均冲力 为,下一页,上一页,下一页,上一页,飞机撞鸟之后的情景,全世界每年大约发生1万次鸟撞飞机事件。自1960

6、年以来，世界范围内由于飞鸟的撞击至少造成了78架民用飞机损失、201人丧生，250架军用飞机损失、120名飞行员丧生。国际航空联合会已把鸟害升级为“A”类航空灾难。,下一页,上一页,1980年，英国的一架正在升空的战斗机在威夫士地区与一秃鹰相撞，机毁人亡。估算相撞时飞机受到的平均冲力。设飞机的速率为v=500m/s，相撞前秃鹰的速率可以忽略不记。秃鹰质量m=5kg，体长l=30cm，秃鹰全部撞入机内。,解，设相撞过程秃鹰相对于战斗机的平均速率为250m/s，则撞击过程时间为,下一页,上一页,例题2-7 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及的M物体A和B， M大于m。B静止在地面上，当A自由

7、下落距离h后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。,解：以物体A和B为系统作为研究对象，采用隔离法分析受力，作出绳拉紧时的受力图：,绳子刚好拉紧前的瞬间，物体A的速度为：,取竖直向上为正方向。,下一页,上一页,绳子拉紧后，经过短暂时间的作用，两物体速率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：,忽略重力，考虑到绳不可伸长，有：,解得：,当物体B上升速度为零时，达到最大高度,下一页,上一页,3-1-2 质点系的动量定理,定义：n个质点的组成系统（物体系，质点系）,下一页,上一页,下一页,上一页,如果系统包含,个质点,更一般（N个质点）的表达式,系统总动量随时间的变化率

8、等于该系统所受的合外力，这称为质点系动量定理。,为系统内所有质点所受外力的矢量和，称为质点系受到的合外力,为系统内所有质点动量的矢量和，称为的质点系的总动量,下一页,上一页,内力对系统总动量无改变，但内力可使系统总动量在各质点之间重新分配。,下一页,上一页,动量守恒定律：孤立系统（不受其它物体作用的系统）的总动量守恒,3-2 动量守恒定律,2、在系统内质点间的碰撞，打击，爆炸过程中，内力很大，可忽略重力、摩擦力等外力，近似认为动量守恒。,下一页,上一页,讨论,1、虽然有时系统总动量不守恒，但只要系统在某个方向受的合外力为0，则系统在该方向动量守恒。,3、动量守恒是自然界最普遍、最基本的规律之一

9、。,A开始是静止的，则B与e运动方向相反，但实验显示两者的轨迹并不在一条直线上。泡利1930年提出了中微子假说，1956年由实验证明了中微子的存在。即,下一页,上一页,例3.4,解：设衰变后原子核，电子，反中微子动量分别为 、 、 ，则,下一页,上一页,下一页,上一页,下一页,上一页,上式说明车相对地的速度与人相对车的速度方向相反，即沿x轴负向。,（3）式代入（1）式得：,下一页,上一页,下一页,上一页,(5),车相对地面移动的距离为,将（3）式与（5）式代入,人相对地面移动的距离为,同理，将（4）式与（5）式代入上式，得：,例题3-6 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别

10、为M和m，炮弹相对炮车的出口速度为v0，求炮车的反冲速度v。炮车与地面间的摩擦力不计。,解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力 和地面支持力 ，而且 ，在发射过程中 并不成立（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守恒。,下一页,上一页,例题3-6 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M和m，炮弹相对炮车的出口速度为v0，求炮车的反冲速度v。炮车与地面间的摩擦力不计。,上式得出炮弹的水平分量为,水平方向的动量分量守恒，即,经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度 ，炮车相对地面速度为 ，按速度变换定理为,下一页,

11、上一页,炮弹的水平分量为,于是，炮弹在水平方向的动量为m(v0cos+v)，而炮车在水平方向的动量为Mv。根据动量守恒定理有,由此得炮车的反冲速度为,下一页,上一页,下一页,上一页,解1：,根据质点的动量定理，得：,得：,解2：,下一页,上一页,3-2-2火箭飞行原理,前苏联东方1号火箭,长征三号运载火箭,火箭发射,下一页,上一页,4. 火箭飞行,设在某一瞬时 ，火箭的质量为 ，速度为 ，在其后 到 时间内，火箭喷出了质量为 的气体， 是质量 在 时间内的增量，喷出的气体相对于火箭的速度为 ,使火箭的速度增加了 。,喷气前总动量为：,喷气后火箭的动量为：,所喷出燃气的动量为：,下一页,上一页,

12、喷气前总动量为：,喷气后火箭的动量为：,所喷出燃气的动量为：,由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不变。根据动量受恒定律,下一页,上一页,设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量,设某级火箭点火时质量为,初速度为,则随后的任意,时刻火箭的瞬时速度,与火箭的质量,的关系为,下一页,上一页,设火箭开始飞行的速度为零，质量为 ，燃料烧尽时，火箭剩下的质量为 ，此时火箭能达到的速度是,多级火箭,下一页,上一页,3-3 质心运动定理,3-3-1质心,如果质点系由,个质点组成，记第,个质点的质量和位置矢量分别为,和,则质心的位置矢量为,式中,表示系统的总质量,质量连续分布的物体,下一页,上一页,3-3-2质

13、心运动定理,质心运动的速度公式,质点系的总动量,质心运动定理,质心加速度定义为,下一页,上一页,3-4 功 动能和动能定理,一元功的定义,功是表示力对空间累积效应的物理量。,物体受力 的作用同时发生一无限小的位移 (元位移)时,此力对它做的功定义为:力在元位移方向上的投影和此元位移大小的乘积。,其中为力与位移的夹角。 可以把上式写成两个矢量 的标积,功是标量，没有方向，但有正负。,下一页,上一页,当00，力对物体做正功。 当=/2时， dA=0，力对物体不做功。 当/2时，dA0，力对物体做负功。,功率：力在单位时间内做的功，用P 表示,功率是反映力做功快慢的物理量。功率越大，做同样的功花费的

14、时间就越少。,在国际单位制(SI)中，功的单位是Nm，称为焦(J)，功率的单位是J/s ，称为W(瓦)。,在原子物理中，常用另一个功的单位，即电子伏特（eV），,下一页,上一页,二有限路径上变力对物体做功,(1)变力的功,b,a,物体在变力的作用下从a运动到b。,怎样计算这个力的功呢？,采用微元分割法,下一页,上一页,分量式(直角坐标系中的表示）：,下一页,上一页,分量式（自然坐标系中的表示）：,三合力的功,【例3-7】 考察如图3-18所示的单摆。若以水平力,无限缓慢地将摆球从平衡位置推到摆线与竖直方向成,角的位置。求在此过程中，,对摆球所做的功。,平衡条件,水平力,随,变化的函数关系为,元

15、位移的大小可以表示为圆弧的长度,下一页,上一页,水平力,随,变化的函数关系为,元位移的大小可以表示为圆弧的长度,水平力做的元功为,或,所以在水平力,无限缓慢地将摆球从平衡位置推到摆线,角的过程中，,对摆球所做的功为,与竖直方向成,下一页,上一页,在此过程中，摆球的位置升高,所以,对摆球所做的功也可以表示为,下一页,上一页,例（圆周运动f 的功,下一页,上一页,3.4.2 动能和动能定理,根据功的积分形式,定义质点的动能为：,下一页,上一页,质点动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,a.合力做正功时，质点动能增大；反之，质点动能减小。,d.功是一个过程量，而动能是一个状态量， 它们

16、之间仅仅是一个等量关系。,b.动能的量值与参考系有关。,c.动能定理只适用于惯性系。,几点注意：,下一页,上一页,下一页,上一页,解1：,根据质点的动能定理，得：,得：,解2：,那么，力对质点作功为：,下一页,上一页,例题2-10 装有货物的木箱，重G980N，要把它运上汽车。现将长l3m的木板搁在汽车后部，构成一斜面，然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成30o角，木箱与斜面间的滑动摩擦系数=0.20，绳的拉力 与斜面成10o角，大小为700N，如图 (a)所示。 求：（1）木箱所受各力所作的功；（2）合外力对木箱所作的功；（3）如改用起重机把木箱直接吊上汽车能不能少做些功？,(a),(b)

17、,下一页,上一页,解：斜面与地面成30o角，木箱所受的力为：拉力F 700N ，方向与斜面成100角向上；重力G 980N ，方向竖直向下；斜面对木箱的支持力N ，方向垂直于斜面向上，斜面对木箱的摩擦力 方向和斜面平行，与木箱运动方向相反，如图 (b).已知l=3m,每个力所作的功可计算如下。,（1）拉力F 所做的功A1,重力 所做的功A2,下一页,上一页,正压力 所做的功A3,摩擦力 所作的功A4；分析木箱的受力，由于木箱在垂直于斜面方向上没有运动，根据牛顿第二定律得,由此可求得摩擦力,下一页,上一页,（2）根据合力所作功等于各分力功的代数和，算出合力所作的功,（3）如改用起重机把木箱吊上汽

18、车，这时所用拉力 至少要等于重力 。在这个拉力（ ）的作用下，木箱移动的竖直距离是 。因此 拉力所作的功为,下一页,上一页,它等于重力 所作的功，而符号相反（因为这时合外力所作的功为零）。与（1）中 F 作的功相比较，用了起重机能够少作功。我们还发现，虽然 起重机的拉力F比 绳的拉力F 大，但所作的功A却比A1为小，这是因为功的大小不完全取决于力的大小，还和位移的大小及位移与力之间的夹角有关。为了把木箱装上汽车，我们所需要作的最小功等于克服重力所作的功，其大小为1.47103J, 这对于斜面或是利用起重机甚至其他机械都是一样的。机械不能省功，但能省力或省时间，正是这些场合，使我们对功的概念的重

19、要性加深了认识。,下一页,上一页,这一部分起的是什么作用呢？我们说：第一，为了克服摩擦力，用去435J的功，它最后转变成热量；第二，余下的165J的功将使木箱的动能增加。,下一页,上一页,现在，在（1）中绳的拉力 F 比起重机的拉力多作的功，或者绳的拉力 F 与重力做功之和为：,例题 有一密度为的细棒，长度为l，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为的液体表面。现悬线剪断，求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液体没有粘性。,解：如图所示，t时刻，细棒在水中部分的长度为x，细棒受重力G= lg，受浮力B= xg,细棒下落过程中，合外力对它作的功为,下一页,上一页,下一页,上一页,应用动能定理，因

20、初速度为0，末速度v，可求得如下,细棒下落过程中，合外力对它作的功为,例题2-12 传送机通过滑道将长为L，质量为m的柔软匀质物体以初速v0向右送上水平台面，物体前端在台面上滑动S距离后停下来（如图）。已知滑道上的磨擦可不计，物与台面间的摩擦系数为，而且SL，试计算物体的初速度v0。,解：由于物体是柔软匀质的，在物体完全滑上台面之前，它对台面的正压力可认为与滑台上面的质量成正比，所以，它所受台面的摩擦力fr是变化的。本题如果用牛顿定律的瞬时关系求加速度是不太方便的。我们把变化的摩擦力表示为,下一页,上一页,任意时刻，物体在水平台面上的长度为x,则物体所受的摩擦力大小为：,当物体前端在s处停止时

21、，摩擦力做的功为,再由动能定理得,即得,下一页,上一页,3-4-3 质点系的动能定理,考虑两个质点的简单质点系,下一页,上一页,系统内力做功之和可以不为零，这是因为虽然一对内力 大小相等，方向相反，即,但有相互作用的两个质点的位移并不一定相同。内力虽不能改变系统的总动量，但可以改变系统的总动能。,所有外力和内力对质点系内各质点所作的功之和等于质点系总动能的增量，这一结论称为质点系的动能定理。,下一页,上一页,碰撞持点:,1）碰撞是冲击力，相互作用时间极短，冲击力常力，只要外力与质点间的相互作用力(冲击力)无关,可不考虑外力的作用。2）碰撞时间极短，但碰撞前后物体运动状态的改变非常显著，因而易于

22、分清过程始末状态，便于用守恒定律来研究。对心碰撞-碰撞前后的速度矢量都沿两球中心（质心）连心线上的碰撞。,我们把物体视为 “球模型”来考虑。,下一页,上一页,3-4-4两体碰撞,设 和 分别表示两球在碰撞前的速度， 和 分别表示两球在碰撞后的速度， 和 分别为两球的质量。应用动量守恒定律得,碰撞后,碰撞前,碰撞时,下一页,上一页,牛顿的碰撞定律：碰撞后两球的分离速度 ，与碰撞前两球的接近速度 成正比，比值由两球的材料性质决定。,恢复系数,碰撞后两球以同一速度运动，并不分开，称为完全非弹性碰撞。机械能有损失。,的碰撞叫做非弹性碰撞(机械能有损失)。,分离速度等于接近速度，称为完全弹性碰撞。机械能

23、守恒。理想情况。,下一页,上一页,1. 完全弹性碰撞,下一页,上一页,（1）设 得 ， 两球经过碰撞将交换彼此的速度。,（2）设 ，质量为 的物体在碰撞前静止不动，即,讨论：,如果,质量极大并且静止的物体，经碰撞后，几乎仍静止不动，而质量极小的物体在碰撞前后的速度方向相反，大小几乎不变。,下一页,上一页,2. 完全非弹性碰撞,在完全非弹性碰撞中,下一页,上一页,3. 碰撞中的力和能,设在两球相碰撞的问题中，碰撞接触时间极短，用 表示，把动量定理应用于质量为 的小球得,表明：力的大小和两物体相遇前的接近速度成正比，而和接触时间成反比。力的大小与接触物体的质量和材料有关。,下一页,上一页,系统损失

24、的机械能,如锻铁、打桩等、,在此条件下，碰撞 前的机械能为：,下一页,上一页,工程上，有时希望碰撞后形变大（机械能损耗大）如锻铁：,m2,下一页,上一页,2-7 非惯性系 惯性力,1. 非惯性系,牛顿第二定律仅仅适用于惯性系,怎样把牛顿第二定律推广到非惯性系呢?,惯性系：相对于地球静止或作匀速直线运动的物体。,非惯性系：相对地面惯性系做加速运动的物体。,平动加速系：相对于惯性系作变速直线运动，但是本身没有转动的物体。例如：在平直轨道上加速运动的火车。,转动参考系：相对惯性系转动的物体。例如：转盘在水平面匀速转动。,下一页,上一页,2. 惯性力,S-惯性系,- 非惯性系,在平动加速系中，对牛顿第

25、二定律进行推广。,下一页,上一页,据加速度的变换关系有,在S系中，牛顿定律成立,在 系中,牛顿定律在 系中不成立,大小,方向与 的方向相反,在非惯性系中,惯性力,下一页,上一页,在转动参考系中，对牛顿第二定律进行推广。,如图所示系统：,大小,方向,沿着圆的半径向外,惯性离心力,注意：惯性力不是作用力，没有施力物体，它是虚拟力，在非惯性系中来自参考系本身的加速效应。只有非惯性系中才能观察到惯性力。,在地球上观察，小球加速运动；在转盘上观察，小球静止。而小球受力情况完全一样，这样出现两个运动规律，产生矛盾。,下一页,上一页,例题2-13 一质量为60kg的人，站在电梯中的磅秤上，当电梯以0.5m/

26、s2的加速度匀加速上升时，磅秤上指示的读数是多少？试用惯性力的方法求解。,解 取电梯为参考系。已知这个非惯性系以a=0.5m/s2的加速度对地面参考系运动，与之相应的惯性力,从电梯这个非惯性系来看，人除受重力G（方向向下）和磅秤对它的支持力N (方向向上)之外，还要另加一个 。此人相对于电梯是静止的，则以上三个力必须恰好平衡.,下一页,上一页,即,于是,由此可见，磅秤上的读数（根据牛顿第三定律，它读的是人对秤的正压力，而正压力和N是一对大小相等的相互作用）不等于物体所受的重力G。当加速上升时，NG；加速下降时，NG。前一种情况叫做“超重”，后一种情况叫做“失重”。尤其在电梯以重力加速度下降时，

27、失重严重，磅秤上的读数将为0。,下一页,上一页,即,于是,由此可见，磅秤上的读数（根据牛顿第三定律，它读的是人对秤的正压力，而正压力和N是一对大小相等的相互作用）不等于物体所受的重力G。当加速上升时，NG；加速下降时，NG。前一种情况叫做“超重”，后一种情况叫做“失重”。尤其在电梯以重力加速度下降时，失重严重，磅秤上的读数将为0。,下一页,上一页,351作用力与反作用力的功,下一页,上一页,3-5 势能 功能原理 机械能守恒,如果m2相对m1初位置为a，末位置为b，则在该过程中相互作用力作的总功为,上式表明：两质点间“一对力”所作的功等于其中一个质点受的力沿该质点相对于另一质点所移动的路径所作

28、的功。这样我们可以在相对某一个质点静止的参考系中计算力对另一质点所作的功，该功就是一对力所做的功,下一页,上一页,一对作用力 反作用力作 的功只决定 其相对位移,返回目录,下一页,上一页,如计算重力及其反作用力作的功则只需将地球看成静止计算重力mg对物体m作的功。,初,末,1、几种常见力的功,下一页,上一页,3-5-2保守力与非保守力,以M 为参考系,下一页,上一页,下一页,上一页,下一页,上一页,下一页,上一页,3-5-3势能,下一页,上一页,3-5-4由势能函数求保守力,下一页,上一页,质点系的动能定理,系统末动能,系统初动能,下一页,上一页,3-5-5功能原理 机械能守恒,末机械能,初机

29、械能,下一页,上一页,比较,下一页,上一页,质点的,质点系的 动能定理,质点系,外力作功与 内力作功,只有动能,下一页,上一页,下一页,上一页,下一页,上一页,桌面正压力作功为0,外力：摩擦力、重力、正压力,下一页,上一页,下一页,上一页,桌面上链条质量：,桌面下链条质量：,下一页,上一页,下一页,上一页,下一页,上一页,下一页,上一页,3-3 机械能守恒定律 能量守恒定律,下一页,上一页,状态1的机械能：,状态2的机械能：,下一页,上一页,下一页,上一页,状态1的机械能：,状态2的机械能：,由机械能守恒：,三第一宇宙速度，第二宇宙速度,第一宇宙速度，物体绕地球作圆周运动所需要的最小速度，此时

30、,第二宇宙速度，物体逃脱地球引力的最小速度,物体在地球表面的机械能,物体在无穷远处，末态机械能为 E=0,由机械能守恒，得,下一页,上一页,黑洞，一般星球质量与半径分别为M，R，则物体脱离该星球引力的最小速度为,则星球上任何物质（包括电磁波）都逃不出，该星球与外界的一切物质与信息交流全部中断了，我们称之为黑洞。,下一页,上一页,也就是说，若星球的半径压缩到,则星球上任何物体都将无法逃离。这样确定的,也称为施瓦兹半径（Schwarzschild radius）或引力半径。,第二宇宙速度，物体逃脱地球引力的最小速度,或,下一页,上一页,3-6质点的角动量定理 角动量守恒,3-6-1质点的角动量,特

31、例,下一页,上一页,例：,证明，作匀速直线运动的物体对某一参考点的角动量为常矢量，与物体的位置无关。,解：,如图，做匀速直线运动的物体位于1点对参考点O的角动量为,位于2点对参考点O的角动量为,两者大小相等，方向相同，且,下一页,上一页,2力矩,中学时学过的力矩概念,下一页,上一页,3-6-2质点的角动量定理,注意：,2）方向：,的方向,3）单位：米牛顿,1）力矩大小可以表示为：,O,式中,是力垂直于 的分量,下一页,上一页,注意,下一页,上一页,这就是说， 如果对某一固定点，质点受外力矩为零，则质点对该点的角动量保持不变，这称为质点的角动量守恒定律,3-6-3质点的角动量守恒定律,B）力的方

32、向沿矢径的方向（ ）,有两种情况,A）,下一页,上一页,例：,解：,下一页,上一页,根据动能定理，外力做功为,下一页,上一页,质点系对给定参考点的角动量等于系统内所有质点对该点的角动量的矢量和，即,这样，对上式所有质点求和，为,下一页,上一页,3-6-4质点系的角动量定理及角动量守恒,内力矩成对出现，容易证明，每对内力矩的矢量和为零，即,意义,一个质点系所受合外力矩等于该质点系的角动量对时间的变化率，这称为质点系的角动量定理。内力矩可以使角动量在系统内质点间转移。,此式一般写为,下一页,上一页,3-8 力学定律的综合应用,原则：分阶段（过程）解题，每个阶段的对象可发生变化,下一页,上一页,下一页,上一页,下一页,上一页,下一页,上一页,下一页,上一页,第三阶段：泥球、平板向下运动过程 （对象：m、M、弹簧、地球） 机械能守恒,