函数模型课件.ppt

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1、函数模型及其应用函数模型及其应用几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型常用的几类函数模型常用的几类函数模型 (1)(1)一次函数模型一次函数模型 f f( (x x)=)=kxkx+ +b b ( (k k、b b为常数，为常数，k k0);0); (2) (2)反比例函数模型反比例函数模型 f(x)=k/x+bf(x)=k/x+b ( (k k、b b为常数为常数, ,k k0);0); (3) (3)二次函数模型二次函数模型 f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c ( (a a、b b、c c为常数，为常数， a a0)0)； (4)(4)指数函数模型指数

2、函数模型 f f( (x x)=)=a ab bx x+ +c c （a a、b b、c c为常数，为常数， a a0,0,b b0,0,b b11）；）； (5)(5)对数函数模型对数函数模型 f f（x x）= =m mlogloga ax x+ +n n（m m、n n、a a为常为常 数，数，m m 0,0, a a0,0,a a11）; ; (6) (6)幂函数模型幂函数模型 f f( (x x)=)=axaxn n+ +b b( (a a、b b、n n为常数，为常数，a a0,0, n n1). 1). 例例1 、 假设你有一笔资金用于投资，现在有假设你有一笔资金用于投资，现在有

3、三种投资方案供你选择，这三种方案的回报三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：如下：方案一、每天回报方案一、每天回报40元；元；方案二、第一天回报方案二、第一天回报10元，以后每天比前一元，以后每天比前一天多回报天多回报10元；元；方案三、第一天回报方案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报元，以后每天的回报比前一天翻一番。比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？下面我们先来看两个具体问题。下面我们先来看两个具体问题。分析：分析：2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？、如何建立日回报效益与天数的函数模型？1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，、依据什

4、么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？还是累计回报效益？解：设第解：设第x天所得回报是天所得回报是y元元方案一可以用函数方案一可以用函数 进行描述；进行描述；方案二可以用函数方案二可以用函数 进行描述；进行描述；方案三可以用函数方案三可以用函数 进行描述进行描述.1*0.4 2()xyxN3、三个函数模型的增减性如何？、三个函数模型的增减性如何？4、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？况进行分析，如何分析？表表1y(元)y(元) 增加量增加量(元元)y(元)y(元) 增加量增加量(元元) y(元)y(元) 增加量

5、增加量(元元)140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4x(天)x(天)方案一方案一方案二方案二方案三方案三 30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4图-1我们看到，底为我们看到，底为2的指数函数模的指数函数模型比线性函数模型比线性函数模型增长速度要快型增长速度要快得多。从中你对得多。从中你对“指数爆炸指数爆

6、炸”的的含义有什么新的含义有什么新的理解？理解？函数图象是分析问题函数图象是分析问题的好帮手。为了便于的好帮手。为了便于观察，我们用虚线连观察，我们用虚线连接离散的点。接离散的点。指数爆炸实例一个国王非常喜欢国际象棋，就招见 发明国际象棋的人问他想要什么奖赏，他在棋盘的第一个格里放 了1颗麦粒，在第二个格里放2颗，第三个格放4颗，说道：按 这样放下去，直到放满棋盘的64个格子。大臣们计算之后发现， 要拿出这么多麦子，这个小小的王国无论如何是办不到的。264颗 麦子够现在全世界的人吃几十年 ！根据以上的分析，是否应作这样的根据以上的分析，是否应作这样的选择：投资选择：投资5天以下选方案一，投资天

7、以下选方案一，投资58天选方案二，投资天选方案二，投资8天以上选方天以上选方案三？案三？ 由表由表-1和图和图-1可知，方案一的函数是常数函数，方案可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同。可以看到，尽管方案一、案二的函数的增长情况很不同。可以看到，尽管方案一、方案二在第方案二在第1天所得回报分别是方案三的天所得回报分别是方案三的100倍和倍和25倍，倍，但它们的增长量是成倍增加的，从第但它们的增长量是成倍增加的，从第7天开始，方案三天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种

8、增长速度是方案一、比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所方案二所 无法企及的，从每天所得回报看，在第无法企及的，从每天所得回报看，在第14天，天，方案一最多，在方案一最多，在58天，方案二最多；第天，方案二最多；第9天开始天开始 ，方案，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回天，所得回报已超过报已超过2亿元。亿元。0100200300400500600051015方案一 回报(元)方案二 回报(元)方案三 回报(元)线性 (方案一回报(元)多项式 (方案二 回报(元)指数 (方案三回报(元) 因此，投资因此，投资8天以下天

9、以下(不含不含8天天)，应选择第一种投资方，应选择第一种投资方案；投资案；投资810天，应选择第天，应选择第二种投资方案；投资二种投资方案；投资11天天(含含11 天天)以上，刚应选择第三以上，刚应选择第三种投资方案。种投资方案。表-2表-2 累计回报效益累计回报效益回报(元)回报(元) 回报(元)回报(元) 回报(元)回报(元)1 1404010100.40.42 2808030301.21.23 312012060602.82.84 41601601001006 65 520020015015012.412.46 624024021021025.225.27 728028028028050

10、.850.88 83203203603601021029 9360360450450204.4204.41010400400550550409.2409.21111440440660660818.8818.8x（天）x（天）方案二方案二方案三方案三方案一方案一例例 2、某公司为了实现、某公司为了实现1000万元利润的目标，准万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元单位：万元)随销售利润随销售利润x（单位：万元）的增（单位：万元）的增加而

11、增加，但奖金总数不超过加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金总万元，同时奖金总数不超过利润的数不超过利润的25%,现有三个奖励模型：现有三个奖励模型： y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x其中哪个模型能符合公司的要求？其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同万元，同时奖金不超过利润的时奖金不超过利润的25%， 由于公司总的利润由于公司总的利润目标为目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超万元，所以部门销售利润一般不会超

12、过公司总的利润。过公司总的利润。 于是，只需在区间于是，只需在区间10,1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可。上，检验三个模型是否符合公司要求即可。思考：思考：X的取值范围，即函数的定义域的取值范围，即函数的定义域要满足哪些条件？要满足哪些条件？通过图象说明选用哪个函数模型？通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？为什么？观察图象发现，在区间观察图象发现，在区间10 ,1000上，模型上，模型 y=0.25x 和和y= 1.002x的图象都有一部分在直的图象都有一部分在直 线线y=5的上方，只有模型的上方，只有模型y=log7x+1的图象始的图象始终在终在y=5的下方，这说明只有按模型的

13、下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求，进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断。下面通过计算确认上述判断。解：解： 借助计算机作出函数借助计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象的图象(图图3.2-2)。 借助计算机作出它们的图象。通过观察图象，你认借助计算机作出它们的图象。通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？为哪个模型符合公司的奖励方案？2004006008001000 xy25. 0 xy002. 15y1log7xy234567810 xy对于模型对于模型y=log7x+1,它在区间它在区间10

14、,1000上递增上递增,观察图象并结合计算可知观察图象并结合计算可知,当当x=1000时时,y=log71000+14.555,所以它符合奖金总数不超过所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。万元的要求。再计算按模型再计算按模型 y=log7x+1 奖励时，奖金是否奖励时，奖金是否不超过利润的不超过利润的25%，即当，即当x10,1000时，时，是否有成立。是否有成立。 25. 01log7xxxy令令y=log7x+1-0.25x , x10,1000 。 利用计算机利用计算机作出函数作出函数f(x)的图象的图象 （ 图图3.2.1例例2.gsp），），由图象可知它是递减的，因此由图象可知它是

15、递减的，因此f(x)f(10)-0.31670即即y=log7x+11)1)，对数函数，对数函数 y=logy=loga ax(ax(a1)1)和幂函数和幂函数y=x y=x n n (n (n0)0)在区在区间（间（0 0，+）上的单调性如何？）上的单调性如何？ 2.2.利用这三类函数模型解决实际问利用这三类函数模型解决实际问题，其增长速度是有差异的，我们怎样题，其增长速度是有差异的，我们怎样认识这种差异呢？认识这种差异呢？ 第二课时第二课时 幂、指、对函数模型增长的差异性幂、指、对函数模型增长的差异性探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异 对于函数

16、模型对于函数模型 ：y=2y=2x x, y=x, y=x2 2, y=log, y=log2 2x x 其中其中x x0. 0. 思考思考1:1:观察三个函数的自变量与函数值对应观察三个函数的自变量与函数值对应 表表, , 这三个函数增长的快慢情况如何？这三个函数增长的快慢情况如何？ 1.7661.7661.5851.5851.3791.3791.1381.1380.8480.8480.4850.4850 0-0.737-0.737-2.322-2.322y=logy=log2x x11.5611.569 96.766.764.844.843.243.241.961.961 10.360.3

17、60.040.04y=xy=x210.55610.5568 86.0636.0634.5954.5953.4823.4822.6392.6392 21.5161.5161.1491.149y=2y=2x3.43.43.03.02.62.62.22.21.81.81.41.41 10.60.60.20.2x xx012345678y=2x12481632 64 128 256y=x201491625 364964思考思考2:2:对于函数模型对于函数模型y=2y=2x x和和y=xy=x2 2，观察下列，观察下列自变量与函数值对应表：自变量与函数值对应表： 当当x x0 0时，你估计函数时，你估计

18、函数y=2y=2x x和和y=xy=x2 2的图象共的图象共有几个交点？有几个交点？ 思考思考4:4:在同一坐标系中这三个函数图象的相在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如何？请画出其大致图象对位置关系如何？请画出其大致图象. . xyo11 24y=2xy=x2y=log2x思考思考3:3:设函数设函数f(xf(x)=2)=2x x -x -x2 2(x(x0)0)，你能用二，你能用二分法求出函数分法求出函数f(xf(x) )的零点吗？的零点吗？思考思考5:5:根据图象，不等式根据图象，不等式loglog2 2x x2 2x xx x2 2和和loglog2 2x xx x2 21)1

19、)y y=log=loga ax x( (a a1)1)y y= =x xn n( (n n0)0)在在(0,+)(0,+)上上的增减性的增减性_增长速度增长速度_相对平稳相对平稳增函数增函数增函数增函数增函数增函数越来越快越来越快越来越慢越来越慢函函 数数性性 质质2.2.三种增长型函数之间增长速度的比较三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)(1)指数函数指数函数y y= =a ax x ( (a a1)1)与幂函数与幂函数y y= =x xn n ( (n n0)0) 在区间在区间(0,+)(0,+)，无论，无论n n比比a a大多少，尽管在大多少，尽管在x x的一定的一定 范围内范围内

20、a ax x会小于会小于x xn n，但由于，但由于y y= =a ax x的增长速度的增长速度_y y= =x xn n 的增长速度的增长速度, ,因而总存在一个因而总存在一个x x0 0, ,当当x x x x0 0时有时有_._.图象的变化图象的变化随随x x增大逐渐增大逐渐表现为与表现为与_平行平行随随x x增大逐增大逐渐表现为与渐表现为与_平行平行随随n n值变值变化而不同化而不同y y轴轴x x轴轴快于快于a ax x x xn n（2 2）对数函数）对数函数y y=log=loga ax x ( (a a1)1)与幂函数与幂函数y y= =x xn n ( (n n0)0) 对数

21、函数对数函数y y=log=loga ax x ( (a a1)1)的增长速度，不论的增长速度，不论a a与与n n值的值的 大小如何总会大小如何总会_y y= =x xn n的增长速度的增长速度, ,因而在定义域因而在定义域 内总存在一个实数内总存在一个实数x x0 0, ,使使x x x x0 0时有时有_._. 由由(1)(2)(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函可以看出三种增长型的函数尽管均为增函 数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上, , 因此在（因此在（0,+)0,+)上，总会存在一个上，总会存在一个x x0 0，使，

22、使x x x x0 0时有时有 _. _. 慢于慢于logloga ax x x xn nlogloga ax xxyo1y=a=axy=x=xny=log=logax衰减情况908070605040302010vt12345例例1 1 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：（1 1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2 2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km2004 km，试建立汽车行

23、驶这段路程时汽车里程表读数，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s kms km与时与时间间t ht h的函数解析式，并作出相应的图象的函数解析式，并作出相应的图象 542299)4(65432224)3(75322134)2(90212054)1(8010200450ttttttttttS20002000210021002200220023002300240024000 01 12 23 34 45 5t ts(2)解解:总结：总结： 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意 图表示为图表示为 实际问题中函数的定义域要特别注意实际问题中函数的

24、定义域要特别注意, ,另外，结果另外，结果要回到实际问题中写答案要回到实际问题中写答案. . 例例2 人口增长模型人口增长模型: 其中其中t表示经过的时间表示经过的时间, y0表示表示t=0时的人口数时的人口数,r表示人口的年平均增长率表示人口的年平均增长率.年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207下表是下表是1950年年1959年我国的人口数据资料年我国的人口数据资料:,0rteyy (2)如果按表上表的增长趋势如果按表上表的增长趋势,大约

25、在哪一年我国的大约在哪一年我国的人口达到人口达到13亿亿?(1)如果以各年人中增长率的平均值作为我国这一时期如果以各年人中增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率的人口增长率(精确到精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所并检验所得模型与实际人口数据是否相符得模型与实际人口数据是否相符;.0200. 01951,56300)1(55196 ,19591951)1( 11921 rrrrr：年的人口增长率年的人口增长率可得可得由由年的人口增长率分别为年的人口增长率分别为设设解解.0184

26、. 0,0222. 0,0276. 0,0223. 0,0197. 0,0250. 0,0229. 0,0210. 098765432 rrrrrrrr，同理可得同理可得0221. 09)(921 rrrr于是于是,19511959年期间年期间,我国人口的年平均增长率为我国人口的年平均增长率为.,55196 19591951,55196 0221. 00Nteyyt 增长模型为增长模型为年期间的人口年期间的人口则我国在则我国在令令500005000055000550006000060000650006500070000700000 01 12 23 34 45 5t ty6 67 78 89 9).()(55196,0221. 0下图下图的图象的图象并作出函数并作出函数点图点图根据上表的数据作出散根据上表的数据作出散Nteyt 由上图可以看出由上图可以看出,所得模型与所得模型与19501959年的实际人中数据基本吻合年的实际人中数据基本吻合.