最新复习课5ppt课件精品课件.ppt

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1、1 1、理论依据、理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定积分定积分的微分的的微分的分就是分就是这表明连续函数的定积这表明连续函数的定积于是于是即即的一个原函数的一个原函数是是则它的变上限积分则它的变上限积分上连续上连续在在设设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa (2) 体积体积xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cdxo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xA(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba

2、21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为)( )( rr 弧长弧长 drrs )()(22(4) 旋转体的侧面积旋转体的侧面积xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22侧侧(5) 细棒的质量细棒的质量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( )(为为线线密密度度x () 函数的平均值函数的平均值 badxxfaby)(1(7) 变力所作的功变力所作的功)(xFo abxdxx x babadx

3、xFdWW)(8) 水压力水压力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(为为比比重重 (9) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(为引力系数为引力系数G 32)(32)(34)(34)()0(sin)1223dcbaxxxxy体体积积为为轴轴旋旋转转所所成成的的旋旋转转体体的的的的图图形形绕绕轴轴所所围围成成与与曲曲线线 44440200022222)2(cos21)(2cos2)(2cos4)(2cos2)()(2 dddcdbdayxyx示示为为区区域域面面积积可可用用定定积积分分表表所所围围成成的的）双双纽

4、纽线线1.选择题选择题dxxxxddxxxxdxxxxcdxxxxdxxxxbdxxxxaxxxxy)2)(1()()2)(1()2)(1()()2)(1()2)(1()()2)(1()()2)(1()3202110211020 的的面面积积可可表表示示为为轴轴所所围围成成图图形形与与曲曲线线 2141222212212241142321?)4xydxVdyxVdyxVdxyVVy 问问下下面面所所列列式式子子哪哪个个对对所所得得的的旋旋转转体体的的体体积积轴轴旋旋转转形形绕绕图图中中阴阴影影部部分分的的平平面面图图) 1 , 1 (oxy1 x x+dxyy+dyy=f(x) bababab

5、adxxgxfxgxfmddxxgxfxgxfmcdxxgxfxgxfmbdxxgxfxgxfmamybxaxxgyxfymmxfxgbaxgxf)()()()()(;)()()()()(;)()()()(2)(;)()()()(2)(,),(),(),()()(,),(),()5 为为旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体体体积积所所围围平平面面图图形形绕绕直直线线及及则则曲曲线线为为常常数数且且上上连连续续在在设设y=f(x)y=g(x)abxx+dxy=mxyo.)()( ,)()()()()(2)()()()(,2222均均不不对对是是正正确确的的因因此此体体体体积积为为旋旋转转而而成成的的

6、旋旋转转线线从从而而所所围围平平面面图图形形绕绕直直的的旋旋转转体体的的体体积积为为的的一一窄窄条条绕绕取取dcabdxxgxfxgxfmdxxfmxgmVmydxxfmdxxgmdVmydxxxbaba 解解y=f(x)y=g(x)abxx+dxy=mxyo2.应用题应用题 ?,1 , 0,102分分的的面面积积和和最最小小图图中中两两阴阴影影部部为为何何值值时时当当上上的的任任一一点点是是区区间间上上定定义义在在设设ttxxy 1).,)2求求出出公公共共部部分分的的体体积积相相交交成成直直角角其其中中心心轴轴线线等等于于两两个个直直圆圆柱柱体体的的半半径径都都a的的全全长长求求曲曲线线d

7、ttyx 323)3 ?,1 , 0,102分分的的面面积积和和最最小小图图中中两两阴阴影影部部为为何何值值时时当当上上的的任任一一点点是是区区间间上上定定义义在在设设ttxxy y = x2t12tyx11S2S 3134332312303212202221 ttxtxxxtdxtxdxxtSSStttt解解1) .2121, 0:10122242时时两两面面积积和和最最小小当当驻驻点点 ttttttttS.,).2求求出出公公共共部部分分的的体体积积相相交交成成直直角角其其中中心心轴轴线线等等于于两两个个直直圆圆柱柱体体的的半半径径都都a 31638)(0303202222222222ax

8、xadxxaVdxxadxxAdVxaxaxayzxAaxxaa 为为积积分分变变量量先先择择解解yzyxz的的全全长长求求曲曲线线dttyx 323).3334)2cos1(44cos424244)( 1,3)( 33:)(332302332222 dttdttdxxdxxsdxxdxxydsxxyxxyoo全全长长的的定定义义域域为为解解三、典型例题三、典型例题例例1 1.3;2;1)0(sincos00033体积及表面积体积及表面积体体它绕轴旋转而成的旋转它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它的弧长它所围成的面积它所围成的面积求求星形线星形线已知已知 ataytaxa aoyx解解.10A设面积

9、为设面积为由对称性由对称性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L设设弧弧长长为为由对称性由对称性,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a .,30VS 体体积积为为设设旋旋转转体体的的表表面面积积为为由对称性由对称性,有有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 例例2 2?,)2(;)0()1( .至

10、至少少需需作作功功多多少少若若再再将将满满池池水水全全部部抽抽出出面面上上升升的的速速度度时时水水求求在在池池中中水水深深内内注注水水的的半半球球形形水水池池的的流流量量往往半半径径为为以以每每秒秒RhhRa oxyRh解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.).0()(222RyRRyx 半圆的方程为半圆的方程为于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有).0(2)(2222RyyRyRyRx 时水池内水的体积为时水池内水的体积为为为的球缺的体积即水深的球缺的体积即水深故半球内高为故半球内高为的立体的立体轴旋转而成轴旋转而成圆绕圆绕因已知半球可看作此半因已知半球可看作此半hhy,)1(dy

11、yRydyxhVhh 0202)2()(,th时已注水的时间为时已注水的时间为又设水深又设水深,)(athV 则则有有atdyyRyh 02)2(即即得得求导求导两边对两边对,t,)2(2adtdhhRh 故所求速度为故所求速度为.)2(2hRhadtdh .)2(所所需需的的功功水水全全部部提提升升到到池池沿沿高高度度需需的的最最小小功功即即将将池池内内将将满满池池的的水水全全部部抽抽出出所所的的功功约约为为所所需需降降到到抽抽水水时时使使水水位位从从dyyRyy )0()1(),(2水的比重水的比重 yRdyx,222yRyx 又又.)(2(2dyyRyRydW 即即功功元元素素故将满池水

12、全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为 RdyyRyRyW02)(2( RdyyRyyR0322)32(.44R 例例3 3.,4,20,3050,的静压力的静压力求闸门一侧所受的水求闸门一侧所受的水米米顶部高出水面顶部高出水面如果闸门如果闸门米米高为高为米米米和米和分别为分别为梯形的上下底梯形的上下底如图所示如图所示一等腰梯形闸门一等腰梯形闸门解解xyo164 xdxx AB如图建立坐标系如图建立坐标系,的方程为的方程为则梯形的腰则梯形的腰 AB.2321 xy此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为 160)2321(2dxxgxP 16023)233(xx

13、g )25623409631( g g 67.4522 ).(1043. 47牛牛 )0 ,(),0 , 0( :cossincosaarar两两曲曲线线的的交交点点为为 )0 ,2(,2222的的部部分分包包含含点点所所围围图图形形面面积积求求aMayaxyxaxyx 222848aaa 20220228cossin212221cossin2144adaadaA 4, 1220 xyayayyx例例解解)0 ,2(aM)2,2(aaxy Vyyx体体积积的的轴轴旋旋转转计计算算所所得得旋旋转转体体绕绕把把16522 44224422165165dxxdxxV 例例解法一解法一24024421

14、6016401620 dxxdxxoxyoxy= 4 , 4 为为积积分分变变量量选选择择xoxy-44 旋旋转转的的体体积积轴轴绕绕为为积积分分变变量量选选择择xdyyyy ,解法二解法二 dyyyxdyydV2516422 2202sin4591221602125168cos5168cos4sin454544222 tdttdttdyyyVty令令oxy19yy+dy.)cos1()sin(体体积积对对称称轴轴旋旋转转而而成成的的立立体体轴轴围围成成的的图图形形绕绕图图形形的的与与求求摆摆线线一一拱拱xtayttax 的的旋旋转转体体的的体体积积为为的的一一窄窄条条绕绕对对称称轴轴取取积积

15、分分区区间间为为为为积积分分变变量量取取axdxxxax , 0,例例解解而而成成的的旋旋转转体体体体积积为为旋旋转转线线从从而而整整个个平平面面图图形形绕绕直直ax oxy2aa 2ax dxxyxadV)()(2 x x+dxdttttattdatattaadxxyxaVa20300)cos1)(sin(2)sin()cos1()sin(2)()(2 33333330333330232033823316823)cos1(312823)cos1(sin2)cos1)(2aaaaataaadtttadttta 443sincos 4)sin1(sin2)sin1(2)sin1()sin1(2)

16、sin1)(2()cos1)(,22020222202222222222222 uuuduuuduuduuduuuduuduuudtttdudtut令令证证明明正正弦弦线线xaysin )20( x的的弧弧长长等等于于椭椭圆圆 taytxsin1cos2 )20( t的的周周长长. 证证设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1设设椭椭圆圆的的周周长长为为2s,cos12022dxxa 例例 ,20222dtyxs 根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原结论成立故原结论成立

17、.dtta 022cos12例例.,)2(4, 2,ln)1(42,)ln,(,lnbacxxbaxyxyccccbaxyxy和和求求值值对对于于所所求求的的所所围围成成的的面面积积最最小小的的值值使使求求其其中中相相切切处处点点在在与与直直线线曲曲线线 24y=lnxxyc解解切切线线方方程程为为的的在在点点曲曲线线)42(ln ccxxy),(1lncxccy 由相切的条件知由相切的条件知1ln,1 cbca. 13ln,31,3)2( bac时时当当2ln6ln26)ln()()1(42 ccdxxbaxcs所所求求面面积积所所围围面面积积最最小小时时则则当当又又为为唯唯一一驻驻点点得得由由,30)3( ,3212)( 026)( 232 csccccscccs24y=lnxxyc45 结束语结束语