最新反常积分初步少学时PPT课件.ppt

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1、1. 定义定义定义定义6.2.),)()316(d)(,)()(),)(上上的的无无穷穷限限积积分分在在无无穷穷区区间间为为符符号号上上可可积积，则则称称在在，且且对对任任意意实实数数上上有有定定义义，在在区区间间设设函函数数 axfxxfbaxfabbaxfa一、无穷限积分.d)(莱布尼茨公式莱布尼茨公式的牛顿的牛顿的计算也有类似的计算也有类似关于无穷限积分关于无穷限积分 axxf性质性质 6.9)356()()()(d)()(lim)()(lim),)()( aFFxFxxfxFFxFaxfxFaaxx，则则存存在在，记记且且上上的的原原函函数数，在在是是设设而且定积分的换元法在无穷限积分

2、中也成立而且定积分的换元法在无穷限积分中也成立 .例例 2讨论下列无穷限积分的敛散性讨论下列无穷限积分的敛散性 .;de)1(0 xxx;d)2(1 pxx;de1e)3(2 xxx.d)4(12 xxx解解由分部积分公式可得由分部积分公式可得)1( 00dedexxxxx 00deexxxx 0ex1 xxxxx elime0其其中中要注意，不能出现如下运算要注意，不能出现如下运算 ee0 xx.0elim xxx0 时时，当当1)2( p 11lnd1xxx ，时时当当1 p 1111d1pxxxpp 1111ppp，时发散，时发散，在在故故1d11 pxxp.111 pp时收敛于时收敛于

3、在在由于由于)3( xxxxx22e1dede1e，则，则令令xte 0221de1dettxx 0arctant2 由于由于)4( 112)1(ddxxxxxxxxxd1111 11lnxx2ln 1 . 定义定义定义定义 6.7收敛，收敛，存在，则称瑕积分存在，则称瑕积分若极限若极限上的瑕积分上的瑕积分在在为为称称的瑕点，的瑕点，为为时无界，则称时无界，则称在在但但上可积，上可积，在在，对任意对任意上有定义，并且上有定义，并且在区间在区间设函数设函数 bababaxxfxxfbaxfxxfxfaaxxfbaxfabbaxfd)(d)(lim.,()(d)()()(,)()0(0,()(0

4、即即并以此极限值为其值，并以此极限值为其值，)366(d)(limd)(0 babaxxfxxf 二、瑕积分.d)(发散发散积分积分若极限不存在，则称瑕若极限不存在，则称瑕 baxxf的收敛性：的收敛性：可以类似地定义瑕积分可以类似地定义瑕积分时无界，时无界，在在为瑕点时，即函数为瑕点时，即函数当当 baxxfbxxfbd)()()376(d)(limd)(d)(d)(lim00 babababaxxfxxfxxfxxf即即且定义其值为极限值，且定义其值为极限值，敛，敛，收收存在，称瑕积分存在，称瑕积分若若.d)(d)(lim0发散发散不存在，则称瑕积分不存在，则称瑕积分若极限若极限 baba

5、xxfxxf ，时无界时无界当当cx bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)()386(d)(limd)(lim00 bccaxxfxxf .d)(发发散散否否则则称称瑕瑕积积分分 baxxf，内内部部一一点点在在一一般般地地，如如果果cbaxf),()(,bca 即即收收敛敛，且且收收敛敛时时，称称瑕瑕积积分分皆皆与与那那么么规规定定两两个个瑕瑕积积分分 babccaxxfxxfxxfd)(d)(d)(例例 5讨论下列瑕积分的敛散性：讨论下列瑕积分的敛散性：;d)1(1)2(20 32 xx;dln)1(10 xxx.d)(1)3( bapxax解解. )1 , 0(0)1( 是是瑕

6、瑕点点，对对任任意意x 11dln2dln xxxxx 11d1ln2 xxxx)2ln(21 x 44ln2 ，由由洛洛必必达达法法则则得得0lnlim0 ，则则4dlnlim10 xxx.4dln10 收收敛敛于于即即瑕瑕积积分分xxx是是瑕瑕点点，1)2( x 10301032013limd)1(1limxxx)1(lim330 3 ；收收敛敛于于因因此此瑕瑕积积分分3d)1(110 32 xx，收收敛敛于于同同样样可可求求得得瑕瑕积积分分3d)1(121 32 xx，先先考考虑虑瑕瑕积积分分 10 32d)1(1xx.6d)1(120 32 收敛于收敛于因此瑕积分因此瑕积分xx是瑕点，

7、是瑕点，ax )3(babaaxxax lnd1 ln)ln( ab时，时，1 pbapbappaxxax 1)(d)(11 1,1)(1,1ppabpp时时，对对任任何何1),0( pab )(1111ppabp 因此因此 bapbapxaxxax d)(1limd)(10时时发发散散；当当即即瑕瑕积积分分1d)(1 pxaxbap.1)(11pabpp 时时收收敛敛于于当当例例 6 判断下列瑕积分的敛散性：判断下列瑕积分的敛散性：;d1)1(022 axxa.d1)2(11 xx解解是是瑕瑕点点，ax )1( 20022dcoscosd1xtataxxaa 20dt,2 .2d1022收收

8、敛敛于于即即瑕瑕积积分分 axxa，则则令令taxsin 是瑕点，是瑕点，0)2( x，与与分分别别考考虑虑瑕瑕积积分分 1001d1d1xxxx.d1)3(511发散发散的结论知的结论知由例由例 xx注意注意 以下计算是错误的：以下计算是错误的：1111lnd1 xxx, 0 .0ln1点点不不连连续续在在的的原原函函数数这这是是因因为为 xxxB函函数数 .1函数，记为函数，记为的函数称为的函数称为为参变量为参变量作作称为参变量称为参变量其中其中反常积分反常积分 )(de01xxx)396(de)(01 xxx 性质性质6.10满足下列关系：满足下列关系：)( ; )()1()1( ;1)

9、1()2( . )(!)1()3(为为自自然然数数nnn 三、 函数与 函数证明证明 由分部积分公式可得由分部积分公式可得 0de)1(xxx 0dexx 010deexxxxx )( 0de)1(xx 0ex1 ，则则中中取取在在n )()1()()1(nnn )1()1( nnn)1(12)1( nn!n 函数函数B.2函函数数，记记为为函函数数就就称称为为的的，作作为为参参变变量量反反常常积积分分Bd)1(1011qpxxxqp )406(d)1(),(B1011 xxxqpqp性质性质 6.11 B 函数满足下列条件：函数满足下列条件：;),(B),(B)1(pqqp ;), 1(B1

10、)1, 1(B)2(qpqpqqp .)()()(),(B)3(qpqpqp 证明证明，则则中中令令在在tx 1)406( 1011d)1(),(Bxxxqpqp 1011d)1(tttpq),(Bpq 10d)1()1, 1(Bxxxqpqp 101)d(1)1(xxxxqp 1011101d)1(d)1(xxxxxxqpqp 1011d)1(), 1(Bxxxqpqp得得中利用分部积分公式可中利用分部积分公式可在在 1011d)1(xxxqp 1011011)1(d1d)1(qpqpxxqxxx 10101d)1(1)1(1xxxqpxxqqpqp)1, 1(B1 qpqp因此因此)1,

11、1(B1), 1(B)1, 1(B qpqpqpqp求得求得)., 1(B1)1, 1(Bqpqpqqp 例例 9；，求求 2121,21B)1(.de)2(02 xx求求解解(1) 由于由于 102d121,21Bxxx是是瑕瑕点点，由由配配方方法法可可得得，其其中中10 xx 102102d)12(112d1xxxxx，有有再再令令12 xt 102d11tt2 因此因此21,21 B可可知知由由性性质质)3(11. 6 112102d1121d)12(11ttxx.21,2121 B 对无限区间上的积分称为无穷限积分，对无界函对无限区间上的积分称为无穷限积分，对无界函数的积分称为瑕积分，统称为数的积分称为瑕积分，统称为反常积分反常积分 .，则则中中令令在在20de)2(2xtxx 00de121de2ttxtx 2121.2 30 结束语结束语