最新同济六版高等数学第六章第二节课件幻灯片.ppt

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1、进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑五成群，聚在大树下，或站着

2、，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑强子，别跑了，快来我给你扇扇了，快来我给你扇扇”。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你你看热的，跑什么？看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国

3、已有三千年多年的历史。取材的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过

4、了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅道，袅上页下页铃结束返回首页 f上(x) f下(x)dx,它也就是面积元素.一、平面图形的面积 设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成. 因此平面图形的面积为 在点x处面积增量的近似值为 1.直角坐标情形 dxxfxfSba)()(下上. 下页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页二、体积 旋转

5、体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 下页1.旋转体的体积 上页下页铃结束返回首页 旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体. 下页二、体积1.旋转体的体积 旋转体的体积元素 考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片, 用圆柱体的体积f(x)2dx作为切片体积的近似值, 旋转体的体积 于是体积元素为 dVf(x)2dx. dxxfVba2)(. 上页下页铃结束返回首页 例6 连接坐标原点O及点P(h, r)的直线、直线xh及x轴围成一个直角三角形. 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为

6、h的圆锥体. 计算这圆锥体的体积. 旋转体的体积： 解 下页dxxfVba2)(. 解 直角三角形斜边的直线方程为xhry. dxxhrVh20)( hxhr032231231hrhxhr032231231hr. 上页下页铃结束返回首页aaaadxxaabdxyV)(22222 解 解 旋转椭球体可以看作是由半个椭圆22xaaby及 x 轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体. 旋转椭球体的体积为 下页旋转体的体积： dxxfVba2)(. 例7 计算由椭圆 所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积. 12222byaxaaxxaab313222234abaaaadxxaabdxyV)(

7、22222 aaxxaab313222234ab. 上页下页铃结束返回首页 例8 计算由摆线xa(tsint), ya(1cost)的一拱, 直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 下页axdxyV2022022)cos1 ()cos1 (dttata32203235)coscos3cos31 (adttttaaxdxyV2022022)cos1 ()cos1 (dttata 32203235)coscos3cos31 (adtttta. 上页下页铃结束返回首页 例8 计算由摆线xa(tsint), ya(1cost)的一拱,

8、直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 下页 设曲线左半边为xx1(y), 右半边为xx2(y). 所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为aaydyyxdyyxV20212022)()(022222sin)sin(sin)sin(tdtattatdtatta 2023sin)sin(tdttta 6 3a3 . aaydyyxdyyxV20212022)()( 上页下页铃结束返回首页 设立体在x轴上的投影区间为a, b, 立体内垂直于x轴的截面面积为A(x). 立体的体积元素为 立体的体积为下页2.平行截面面积为已知的立体的体积dxxAVba)(. A(x)dx. A

9、(x)上页下页铃结束返回首页截面面积为A(x)的立体体积： 例9 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角. 计算这平面截圆柱所得立体的体积. 建立坐标系如图, 则底圆的方程为x2y2R2. 所求立体的体积为dxxAVba)(. 解 tan)(21)(22xRxA. dxxRVRRtan)(2122 RRxxR31tan2132tan323RRRxxR31tan2132tan323R. 下页立体中过点x且垂直于x轴的截面为直角三角形, 其面积为 上页下页铃结束返回首页三、平面曲线的弧长 设曲线弧由直角坐标方程yf(x) (axb)给出, 其中f(x)在区间a, b上具有一阶连续导

10、数. 现在来计算这曲线弧的长度. 在曲率一节中, 我们已经知道弧微分的表达式为 这也就是弧长元素. 因此, 曲线弧的长度为下页dxyds21. badxys21. 直角坐标情形 上页下页铃结束返回首页 例1 计算曲线2332xy上相应于x 从a 到b 的一段弧的 例11 长度. 因此, 所求弧长为 解 曲线yf(x)(axb)的弧长： 下页badxys21. 解 21xy , 从而弧长元素 dxxdxyds112. babaxdxxs)1 (32123)1 ()1(322323abbabaxdxxs)1 (32123)1 ()1(322323abbabaxdxxs)1 (32123)1 ()1

11、(322323ab. 上页下页铃结束返回首页 设曲线弧由参数方程x(t)、y(t)(t)给出, 其中(t)、(t)在, 上具有连续导数. 于是曲线弧的长为 下页曲线yf(x)(axb)的弧长： badxys21. 参数方程情形 因为)()(ttdxdy, dx(t)d t, 所以弧长元素为 dtttdttttds)()()()()(12222dttts)()(22. dtttdttttds)()()()()(12222. , dx(t)d t, 所以弧长元素为 上页下页铃结束返回首页曲线x(t)、y(t)(t)的弧长： 例13 求摆线xa(qsinq), ya(1cosq)的一拱(0q2 )的

12、长度. 解 于是所求弧长为曲线yf(x)(axb)的弧长： badxys21. dttts)()(22. 弧长元素为qqqdaads2222sin)cos1 (qqda2sin2qq202sin2das q202cos22 aqqqdaads2222sin)cos1 (qqda2sin2. q202cos22 a8a. 下页上页下页铃结束返回首页qqqds)()(22. qqqdyxds)()(22qqqd)()(22 设曲线弧由极坐标方程(q)(q)给出, 其中(q)在, 上具有连续导数. 因为 x(q)cosq, y(q)sinq (q), 所以弧长元素为 曲线弧的长为 下页极坐标情形 曲

13、线yf(x)(axb)的弧长： badxys21. dttts)()(22. 曲线x(t)、y(t)(t)的弧长：qqqdyxds)()(22qqqd)()(22. 上页下页铃结束返回首页qqqds)()(22. 曲线(q)(q)的弧长： 例14 求阿基米德螺线aq (a0)相应于q从0到2 一段的弧长. 解 于是所求弧长为 结束 弧长元素为qqqqdadaads22221. qq2021das)412ln(412222a曲线yf(x)(axb)的弧长： badxys21. dttts)()(22. 曲线x(t)、y(t)(t)的弧长：qq2021das)412ln(412222a. 上页下页铃结束返回首页内容小结内容小结1. 平面图形的面积边界方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:qqqd)()(d22rrs直角坐标方程直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小qqd)(212A上页下页铃结束返回首页3. 已知平行截面面面积函数的立体体积baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴 :)(xyy 上页下页铃结束返回首页作业作业 P284 2 (1) , (2) ; 8(1); 12