最新同济大学第五版高数第3章4节ppt课件.ppt

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1、一、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上单单调调减减少少在在那那末末函函数数，内内如如果果在在上上单单调调增增加加；在在，那那末末函函数数内内如如果果在在）（导导内内可可上上连连续续，在在在在设设函函数数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA三、函数极值的定义三、函数极值的定义oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是

2、函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.四、函数极值的求法四、函数极值的求法 设设)(xf在点在点0 x处具

3、有导数处具有导数, ,且且在在0 x处取得极值处取得极值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. .定理定理1 1( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的的驻驻点点做做函函数数叫叫的的实实根根即即方方程程使使导导数数为为零零的的点点xfxf 注意注意:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处

4、取得极大值. .(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值. .(3)(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, , )(xf符号相同符号相同, ,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值. .定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的的根根求求驻驻点点，即即方方程程 xf;,)()3(判判断断极极值值点点在

5、在驻驻点点左左右右的的正正负负号号检检查查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解.593)(23的的极极值值求求出出函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得得驻驻点点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数, ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末(1)

6、(1)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值; ;(2)(2)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值. .定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异异号号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以，函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值 同理可证同理可证(2).例例2 2解解.20243)(23的的极极值值求求出出函函

7、数数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得驻驻点点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故极极大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故极极小小值值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下Mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理处不一定取极值处不一定取极值在点在点时时xxfxf 例例3 3解解.)2(1)(32的的极极值值求求出出函函数数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不不存存在在时时当当xfx 时时，当当2 x; 0)( xf时时，当当2 x. 0)( xf

8、.)(1)2(的的极极大大值值为为xff .)(在在该该点点连连续续但但函函数数xf注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.M五、最值的求法五、最值的求法oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值存存在在为为零零的的点点，则则并并且且至至多多有有有有限限个个导导数数处处可可导导，上上连连续续，除除个个别别点点外外处处在在若若函函数数baxfbaxf步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大

9、值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)六、应用举例六、应用举例例例1 1解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f，最大值最大值142)4( f比较得比较得. 7)1( f最最小小值值14123223 xxxy点击图片任意处播放点击

10、图片任意处播放暂停暂停例例2 2敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸南岸B处向正东追击，处向正东追击，速度为速度为2千米千米/分钟分钟问我军摩托车何问我军摩托车何时射击最好（相时射击最好（相距最近射击最好）？距最近射击最好）？解解公公里里5 . 0(1)建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系).(分分追击至射击的时间追击至射击的时间处发起处发起为我军从为我军从设设Bt敌我相距函数敌我相距函数22)24()5 . 0()(ttts 公公里里4B A )(ts)(ts.)()2(的最

11、小值点的最小值点求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一驻点得唯一驻点. 5 . 1 t.5 . 1分分钟钟射射击击最最好好处处发发起起追追击击后后故故得得我我军军从从B实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;小小）值值值值即即为为所所求求的的最最（或或最最点点，则则该该点点的的函函数数若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻例例3 3 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定套公寓要出租，当租金定为每月为每月180元时，公寓会全部租出去当租元时，公寓会全部租出去当租金

12、每月增加金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费20元的整修维护元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？费试问房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20( x 1018050 x 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)( xR350 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为 10

13、35068)20350()(xR)(10890 元元 点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例4 4形面积最大形面积最大所围成的三角所围成的三角及及线线处的切线与直处的切线与直使曲线在该点使曲线在该点上求一点，上求一点，曲边曲边成一个曲边三角形，在成一个曲边三角形，在围围及抛物线及抛物线，由直线由直线808022 xyxyxyxy解解如图如图,),(00yxP设设所所求求切切点点为为为为则切线则切线PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ),0, 8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0

14、 x, 0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍舍去去 xx8)316( s. 0 .274096)316(为为极极大大值值 s.274096)316(最最大大者者为为所所有有三三角角形形中中面面积积的的故故 s小结小结1、单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用、单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式根的个数和证明不等式.2 2、极值是函数的局部性概念、极值是

15、函数的局部性概念: :极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)3、注意最值与极值的区别、注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.一、曲线凹凸的定义二、曲线凹凸的判定三、曲线的拐点及其求法一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxy

16、o1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC定义定义的（或凸弧）的（或凸弧）上的图形是（向上）凸上的图形是（向上）凸在在那末称那末称如果恒有如果恒有的（或凹弧）的（或凹弧）上的图形是（向上）凹上的图形是（向上）凹在在那末称那末称恒有恒有点点上任意两上任意两如果对如果对上连续上连续在区间在区间设设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121 ;)(,)(,)(),(,)(的的或或凸凸内内的

17、的图图形形是是凹凹在在那那末末称称的的或或凸凸内内的的图图形形是是凹凹且且在在内内连连续续在在如如果果baxfbabaxf二、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递递增增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上上的的图图形形是是凸凸的的在在则则上上的的图图形形是是凹凹的的在在则则内内若若在在一一阶阶和和二二阶阶导导数数内内具具有有在在上上连连续续在在如如果果baxfxfbaxfxfbababaxf 例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时时，

18、当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,(时时，当当0 x, 0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线), 0 .)0 , 0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,三、曲线的拐点及其求法连连续续曲曲线线上上凹凹凸凸的的分分界界点点称称为为曲曲线线的的拐拐点点.定理定理 2 2 如果如果)(xf在在),(00 xx内存在二阶导内存在二阶导数数, ,则点则点 )(,00 xfx是拐点的必要条件是是拐点的必要条件是0)(0 xf. .1 1、定义、定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2 2、拐点的求法、拐点的求法证证,)(二二

19、阶阶可可导导xf,)(存存在在且且连连续续xf , )()(0两边变号两边变号在在则则xxfxf ,)(,(00是是拐拐点点又又xfx,)(0取取得得极极值值在在xxf ,条件条件由可导函数取得极值的由可导函数取得极值的. 0)( xf方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的邻域内二阶可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)(,(,)()1(000即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 例例2 2.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(:

20、D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32( )32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,( 凹凹凸凸区区间间为为方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2 , 0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲线线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosx

21、xy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的的拐拐点点是是连连续续曲曲线线也也可可能能点点不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意: :例例4 4.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx , 0,)0 ,( y内内但但在在;0 ,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0 , 0(3的

22、的拐拐点点是是曲曲线线点点xy 四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1, 2.一、渐近线二、图形描绘的步骤三、作图举例一、渐近线定义定义: :.)(,)(一条渐近线一条渐近线的的就称为曲线就称为曲线那么直线那么直线趋向于零趋向于零的距离的距离到某定直线到某定直线如果点如果点移向无穷点时移向无穷点时沿着曲线沿着曲线上的一动点上的一动点当曲线当曲线xfyLLPPxfy 1.1.铅直渐近线铅直渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 x.)()(lim)(lim000的的一一条条铅铅直直渐渐近近线

23、线就就是是那那么么或或如如果果xfyxxxfxfxxxx 例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :. 3, 2 xx2.2.水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的的一一条条水水平平渐渐近近线线就就是是那那么么为为常常数数或或如如果果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy3.3.斜渐近线斜渐近线.)(),(0)()(lim0)()(lim的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybaxybabaxxfbaxx

24、fxx 斜渐近线求法斜渐近线求法:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的的一一条条斜斜渐渐近近线线就就是是曲曲线线那那么么xfybaxy 注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx ,)(lim,)(lim)2(不不存存在在但但存存在在axxfaxxfxx .)(不不存存在在斜斜渐渐近近线线可可以以断断定定xfy 例例1 1.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(:D )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx,

25、2 2)1()3)(2(2limxxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 .42是是曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线 xy的两条渐近线如图的两条渐近线如图1)3)(2(2)( xxxxf二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步 确确定定函函数数)(xfy 的的定定义义域域,对对函函数数进进行行奇奇偶偶性性、周周期期性性、曲曲线线与与坐坐标标轴轴交交点点等等性性态态的的讨讨论论,求求出出函函数数的的一一阶阶导导数数)(xf和和二二阶阶导导数数)(xf; 求出方程求出方程0)( xf和和0)( xf 在函数定义在函数定

26、义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.第三步第三步 确定在这些部分区间内确定在这些部分区间内)(xf和和)(xf的符的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点凸与拐点（可列表进行讨论） ；可列表进行讨论） ；第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势渐近线以及其他变化趋势;第五步第五步 描描出出与与方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根对

27、对应应的的曲曲线线上上的的点点，有有时时还还需需要要补补充充一一些些点点，再再综综合合前前四四步步讨讨论论的的结结果果画画出出函函数数的的图图形形.并并作作图图。极极值值、拐拐点点、渐渐进进线线，的的增增减减性性、凸凸凹凹性性、 讨讨论论函函数数 xxey 列表列表) ( , ：定定义义域域 解解 )( xeyx yxlim曲线过点曲线过点(0,0) xeyx )(12(1, 2) ( ,) (2 ,00+e exyyy+驻点：驻点：x =1x =210.10. 函数作图函数作图 极大值极大值(拐点拐点)故故 y = 0为水平渐近线为水平渐近线因因图形图形：X0y1渐进线渐进线 ：y = 0(

28、0,0)1,1(e)2, 2(2e2xxey .10. .(x +)e 列表列表 ：定定义义域域 y yxlim xxy ) ( ,)21 ( , xyyy . 对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图： xxy xx解解 x所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 x =0=00(拐点拐点)+因因（牛顿三叉戟线）（牛顿三叉戟线） x x ),( 21)21(,00+3极小值极小值+ yxlim11.11.0 .间断点间断点0 xy 3 牛顿三叉戟线牛顿三叉戟线11.11. xxy列表列表 ：定定义义域域 y yxlim xxxy4)()( xyyy . 对函数进行全面讨论并画图：对函数

29、进行全面讨论并画图： )(xx解解所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 y =0=0，因因 +0 )(xxy xx 及及因因 y(x) = y(x)， 图形关于原点对称。图形关于原点对称。1010(拐点拐点)间断点间断点间断点间断点+及及 x =1，x = 1x = 012.12. 0 xy11 )(xxy 12.12.列表列表 ：定定义义域域 y y ) ( ,xyyy 对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图： xx解解, ) , （所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 y = 00最小值最小值+因因 不不 xxyarccos图形关于图形关于y轴对称轴对称. xxxarccosl

30、im x )(f 2)0( f= 2 0 020 x12limx )0(f20 x12limx = 2 不不2)0( f.0 xyarctan2 xxyarccos13.13. 对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图：列表列表 ：定定义义域域 y ,yx1lim xxxy )()() ( ,) ,xyyy+ . 对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图： xxy )(xxx xxxx xx解解) , ）（ (在定义域内在定义域内),yx 1lim所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 y =1及及 x =-1=-110最小值最小值+因因 不不+ 0114.0 xy111渐进

31、线渐进线 y =1(1,0)渐进线渐进线 y =1图形图形:.14.列表列表 ：定定义义域域 y ,xyx1lim xxy2)( xyyy. xx解解故曲线有渐近线故曲线有渐近线 y = =x+ + 和和 y = =x. .因因 +0因因 y(x) = y(x)， 图形关于原点对称。图形关于原点对称。1010(拐点拐点)极大值极大值极小值极小值+）（ , ,x1 00+ . .,xyx )(lim,xyx )(lim对函数进行全面讨论并画图对函数进行全面讨论并画图:y = x 2arctan xx = 015.15.0 xy 11y = x 2arctan x15.15.对函数进行全面讨论并画

32、图对函数进行全面讨论并画图:列表列表 ：定定义义域域 y ykx)(lim xxxy cos)sinsin()2 ( , +xyyy0 xxx cos)sin(sin0 0 解解 )( kx 无实根无实根所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 1极大值极大值因因), (,k 函数是周期函数，函数是周期函数，而且是偶函数。而且是偶函数。周期为周期为2 2 ； x只须讨论只须讨论0) 2( ,0+1极小值极小值 )( kx) (,k .对函数进行全面讨论并画图对函数进行全面讨论并画图:xxy coscos2 ,2 ()2, 0 x = 0, ,16.16., 0 xyxxy coscos2 1 3 2 由对称性由对称性由周期性由周期性16.16.对函数进行全面讨论并画图对函数进行全面讨论并画图:0 xyxxy coscos2 1 3 2 由对称性由对称性由周期性由周期性16.16. -3 对函数进行全面讨论并画图对函数进行全面讨论并画图:73 结束语结束语