最新同济版高等数学第六版课件第八章第七节平面及其方程精品课件.ppt

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1、xyzo0MM 如果一非零向量垂直于一如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的平面，这向量就叫做该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：一、平面的点法式方程n 平面的法向量不唯一平面的法向量不唯一; ;平面的法向量垂直于平面内的任一向量平面的法向量垂直于平面内的任一向量 C z + D = 0 表示表示 A x + D =0 表示表示 B y + D =0 表示表示平行于平行于 xoy 面面 的平面的平面;平行于平行于 yoz 面面 的平面；的平面；平行于平行于 zox 面面 的平面的平面.设平面为设平面为, 0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知, 0 D023

2、6 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解设平面为设平面为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程设平面为设平面为, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc解解由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）,61161cba 化简得化简得令令t

3、cba 61161ttt61161611 ,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程为所求平面方程为,61ta ,1tb ,61tc 代入体积式代入体积式定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角为两平面的夹角. ., 0:11111 DzCyBxA , 0:22222 DzCyBxA ,1111CBAn ,2222CBAn 三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平

4、面位置特征：两平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 21122n1n2n1n例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos )2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两

5、平面平行但不重合两平面平行但不重合01224, 012)2( zyxzyx)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合. .02224, 012)3( zyxzyx ),(1111zyxP 1PNn0P 解解01PrjPPdn nnPP 01222101010)()()(CBAzzCyyBxxA 222101010)()()(CBAzzCyyBxxA 222000CBADzCyBxAd 0111 DzCyBxA(点到平面的距离公式点到平面的距离公式)平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位

6、置的方程）两平面的夹角两平面的夹角. .点到平面的距离公式点到平面的距离公式. .点法式方程点法式方程. .一般方程一般方程. .截距式方程截距式方程. . （注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）四、小结思考题思考题思考题解答思考题解答,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk,1453212 kk.270 k练练 习习 题题6 6、 平平面面0522 zyx与与xoy面面的的夹夹角角余余弦弦为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，与与yoz面面的的夹夹角角余余弦弦为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _， 与与zox面面的的夹夹角角的

7、的余余弦弦为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；5、通过、通过),0,0()0,0()0,0,(cba、 _；三点的平面方程三点的平面方程二二、 指指出出下下列列各各平平面面的的特特殊殊位位置置，并并画画出出各各平平面面：1 1、 0632 yx；2 2、 1 zy；3 3、 056 zyx. .三三、 求求过过点点)2,2,2( ,)1,1,1( 和和)2,1,1( 三三点点的的 平平面面方方程程 . .四四、 点点)1,0,1( 且且平平行行于于向向量量 1,1,2 a和和 0,1,1 b的的平平面面方方程程 . .一、一、1 1、(0,0,0)(0,0,0)； 2 2、平行于；、平行于； 3 3、通过；、通过； 4 4、04573 zyx； 5 5、1 czbyax； 6 6、32,32,31 . .二、二、1 1、平行于、平行于轴轴z的平面；的平面； 2 2、平行于、平行于轴轴x的平面；的平面； 3 3、通过原点的平面、通过原点的平面 . .三、三、023 zyx. . 四、四、43 zyx. .五、五、03 yx. . 六、六、33222 zyx. .练习题答案练习题答案32 结束语结束语