142正弦函数、余弦函数的性质(第1课时).ppt

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1、三角函数三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质正弦函数余弦函数的性质（一）（一）1.定义域和值域定义域和值域x22322523yO23225311x22322523yO23225311正弦函数正弦函数sinyx 定义域：定义域：R值域：值域：-1，1余弦函数余弦函数cosyx 定义域：定义域：R值域：值域：-1，1|sin|1|cos|1xx练习练习 P 46 练习练习2(1)2cos3x 2(2)sin0.5x 3cos2x 1 sin0.5x 1,1 周期函数定义：对于函数周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在，如果存在一个一个非零常数非零常数T，使得当，使得当x取定义域内的取定义域

2、内的每每一个值一个值时，都有时，都有f (x+T)=f (x)那么函数那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。叫做这个函数的周期。2.周期性周期性注：注：1、T要是非零常数要是非零常数 2、“每一个值每一个值”只要有一个反例，则只要有一个反例，则f (x)就不为就不为周期函数（如周期函数（如f (x0+t) f (x0)） 3、 周期函数的周期周期函数的周期T往往是多值的（如往往是多值的（如y=sinx 2 ,4 ,-2 ,-4 ,都是周都是周 期）期） 4、周期、周期T中最小的正数叫做中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有的最小正周期（有些

3、周期函数没有最小正周期）些周期函数没有最小正周期）正弦函数是周期函数，正弦函数是周期函数， ，最小，最小正周期是正周期是)0(2kZkk且2余弦函数是周期函数，余弦函数是周期函数， ，最小，最小正周期是正周期是)0(2kZkk且2: :期期例例1 1、求求下下列列函函数数的的周周.,都都指指最最小小正正周周期期若若不不加加特特别别说说明明;,cos3) 1 (Rxxy;,2sin)2(Rxxy;),621sin(2)3(Rxxy)0, 0.(),sin()4(ARxxAy 举例举例3cos(2 )3cosxx 解：（解：（1）自变量自变量x只要并且至少要增加到只要并且至少要增加到x+2 ，函数

4、，函数3cos ,yx xR 的值才能重复出现的值才能重复出现.2 的周期是的周期是所以，函数所以，函数3cos ,yx xR (2)sin(22 )sin2()sin2xxx sin2 ,yx xR 的值才能重复出现的值才能重复出现.，自变量自变量x只要并且至少要增加到只要并且至少要增加到x+ ，函数，函数 的周期是的周期是所以，函数所以，函数2sin,yx xR 111(3)2sin(2 )2sin ()2sin()262626xxx 自变量自变量x只要并且至少要增加到只要并且至少要增加到x+ ，函数，函数的值才能重复出现的值才能重复出现.12sin()26yx 12sin(),26yxx

5、R 所以所以,函数函数 的周期是的周期是)0, 0.(),cos()0, 0.(),sin( ARxxAyARxxAy思考思考(4) 2|T 例 求下列函数的周期：(1)y=3cosx, xR;1(3)2sin(),26yxxR (2)y=sin2x, xR;cos(2 )cos ,xx解解:(1)cosx是以是以2为周期的周期函数为周期的周期函数. .3cos ,yx xR 的的周周期期为为2 23cos(2 )3cos ,xx这里的周期指的这里的周期指的是是最小正周期最小正周期!sin(2 )sin(22 )xxsin(2 )sin 2()xxsin2yx 的周期为的周期为. . (3)1

6、12sin()2sin(2)2626xx 12sin()26yx 的周期为的周期为112sin()2sin(4)2626xx 另解另解例例 求下列函数的周期：求下列函数的周期：1(3)2sin(),26yxxR (2)y=sin2x,xR;R;(1)y=3cosx,xR;R;解解:(2)一般地，函数一般地，函数y=Asin(x+y=Asin(x+) ) (A(A0 0， 0 0) )的最小正周期是多少的最小正周期是多少? ? 2 T 由上例知函数由上例知函数y=3cosxy=3cosx的周期的周期 T= 2T= 2； 函数函数y=sin2xy=sin2x的周期的周期 T=T=； 函数函数y=2

7、sin( - )y=2sin( - )的周期的周期 T=4T=4想一想：以上这些函数的周期与解析式想一想：以上这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？中哪些量有关吗？ 2x6自变量的系数的绝对值T2若若 则则 归纳总结归纳总结一般地，函数一般地，函数 及及 （其中（其中 为常数，且为常数，且 ）的周期是）的周期是cos()yAx, ,A 0,0Asin()yAx2T02T(1)( )sin(2)5f xx1(2) ( )cos()232xf x(1) 求下列函数的最小正周期求下列函数的最小正周期练习：练习：P36 P36 练习练习 1, 21222T422|2T练习练习 已知函数已知函数 的周期

8、是的周期是3，且当，且当 时，时， ，求，求( )yf x 0,3x 2( )1f xx(1),(5),(16).fff思考思考： 吗？吗？2(5)5126f 例例2 2 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(xf(x) )满足满足f(xf(x2)2)f(xf(x)=0)=0，试判断，试判断f(xf(x) )是否为周是否为周期函数？期函数？分析由已知有：分析由已知有：f(xf(x2)= -f(x2)= -f(x) ) f(x+4)= f(x+4)= 即即 f(xf(x4)=f(x4)=f(x) )由周期函数的定义知，由周期函数的定义知，f(x)是周期函数是周期函数.f(xf(x) )=

9、-f(x=-f(x)=)=-f(x-f(x2)2)f(xf(x2)+2=2)+2= 如果在周期函数如果在周期函数f(x)的所有周期中的所有周期中存在存在一个最小的正数一个最小的正数, 则这个最小正数叫做则这个最小正数叫做f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期归归 纳纳 整整 理理 1.1.说说周期函数的定义说说周期函数的定义. .3.3.什么叫周期函数的最小正周期？什么叫周期函数的最小正周期？2. 2. 求函数周期的方法：求函数周期的方法： 4. 4.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期定存在最小正周期. . 5. 5

10、.周期函数的周期有许多个，若周期函数的周期有许多个，若T T为周期函数为周期函数f(xf(x) )的周的周期，那么期，那么T T的整数倍也是的整数倍也是f(xf(x) )的周期的周期. . 6. 6.函数函数y=Asin(x+y=Asin(x+) )和和y=Acos(x+y=Acos(x+) (A) (A0)0)的最小的最小 正周期正周期 T=T=2 这个公式，解题时可以直接应用这个公式，解题时可以直接应用( ),0,()( )( )f xxDf xTf xf x 对则称为周期函数。（1）定义法）定义法（2）公式法）公式法（3）图象法）图象法作业：作业：P36P36练习练习 （书）（书） P4

11、6P46：A A组组 3 B3 B组组 3 3 课后思考：课后思考： 如果函数如果函数y=f(xy=f(x) )的周期是的周期是T T，那么函数，那么函数y=f(xy=f(x)的周期是多少？的周期是多少？ 求函数求函数y=|sinx|,xRy=|sinx|,xR的周的周期期 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(xf(x) )满足满足f(xf(x1)=f(x1)=f(x1)1)，且当，且当x0 x0，22时，时，f(xf(x)=x)=x4 4，求求f(10)f(10)的值的值. .正弦函数的图象正弦函数的图象探究探究余弦函数的图象余弦函数的图象问题：它们的图象有何问题：它们的图象有何对

12、称性对称性？x22322523yO23225311x22322523yO232253113.3.奇偶性奇偶性3.3.奇偶性奇偶性(1) ( )sin ,f xx xRxR 任意任意()sin()fxxsin x ( )f x ( )sin ,f xx xR为为奇奇函数函数(2) ( )cos ,f xx xRxR 任意任意()cos()fxxcos x ( )f x ( )cos ,f xx xR为为偶偶函数函数x22322523yO23225311PP正弦函数的图象正弦函数的图象53113,22222x对称轴：对称轴：,2xkkZ (,0),(0,0),( ,0),(2 ,0) 对称中心：对

13、称中心：(,0)kkZ 余弦函数的图象余弦函数的图象,0, 2x 对称轴：对称轴：,xkkZ 35(,0),(,0),(,0),(,0)2222 对称中心：对称中心：(,0)2kkZ PPx22322523yO23225311练习练习 为函数为函数 的一条对称轴的是的一条对称轴的是（ ）sin(2)3yx x22322523yO232253114.3A x 12x .2B x .0D x 解：经验证，当解：经验证，当.12C x 时时232x12x 为对称轴为对称轴例题例题 求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心sin(2)3yx 23zx 解解（1）令）令则则sin(2)sin3

14、yxz sinyz 的对称轴为的对称轴为,2zkkZ 232xk 解得：对称轴为解得：对称轴为,122xkkZ(2)sinyz 的对称中心为的对称中心为(,0) ,kkZ 23xk 对称中心为对称中心为62xk zk (,0) ,Z62kk练习练习 求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心1cos()24yx 四、最最大大值值与与最最小小值值yxo; 1,22, 1,22时取得最小值且仅当当时取得最大值正弦函数当且仅当ZkkxZkkx. 1,2, 1,2时取得最小值当当且仅时取得最大值余弦函数当且仅当ZkkxZkkx: :的的集集合合变变量量及及取取得得最最值值时时自自值值, ,例例2 2、求求下下列列函函数数的的最最x;, 1cos) 1 (Rxxy;,2sin3)2(Rxxyx22322523yO23225311PP正弦函数的图象正弦函数的图象53113,22222x对称轴：对称轴：,2xkkZ (,0),(0,0),( ,0),(2 ,0) 对称中心：对称中心：(,0)kkZ 小结小结余弦函数的图象余弦函数的图象,0, 2x 对称轴：对称轴：,xkkZ 35(,0),(,0),(,0),(,0)2222 对称中心：对称中心：(,0)2kkZ PPx22322523yO23225311